k5第二轮专题训练(10)数列的综合运用.pdf
知识就是力量 1 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 06 届数学(第 二 轮)专 题 训 练 第十讲 : 数列的综合运用 学校学号班级姓名 知能目标 1. 进一步理解等差数列和等比数列的概念和性质. 2. 能熟练应用等差数列与等比数列的通项公式, 中项公式 ,前 n 项和公式 , 强化综合运用这些 公式解题的能力. 3. 在解数列综合题的实际中加深对基础知识, 基本技能和基本数学思想方法的认识, 沟通各 类知识的联系, 形成完整的知识网络, 提高分析问题和解决问题的能力. 综合脉络 1. 揭示数列本质 数列与函数的关系数列是一类特殊的函数. 从函数的观点看, 对于一个定义域为正整 数集N (或它的有限子集n, 4, 3, 2, 1)的函数来说 , 数列就是这个函数当自变量从小到 大依次取值时对应的一列函数值. 等差数列与函数的关系公差0d时, nn S,a分别是 n的一次函数和二次函数. 反过来 , 如果 n a是 n 的一次函数 , 那么a n 一定是公差不为0 的等差数列 ; 如果 n S是 n 的二次函数且 常数项为0, 那么a n 一定是公差不为0 的等差数列 . 通项 n a与前 n 项和 n S之间的关系 : . )2n(SS ) 1n(S a 1nn 1 n 2. 分析高考趋势 数列是初等数学与高等数学衔接和联系最密切的内容之一, 是进一步学习高等数学的基 础, 数列的题目形态多变, 蕴含丰富的数学思想和数学方法, 是高考的热点之一. 在近几年新 教材的高考试题中, 对数列的考查多以解答题的形式出现, 数列与函数 , 数列与不等式等的综 合知识 , 在知识的交汇点处设计题目, 成为高考对能力和素质考查的重要方面. 在数列方面的 考查 , 对能力方面的要求, 呈现越来越高的趋势, 对知识考查的同时, 伴随着对数学思想方法 的考查 . 在近几年新教材的高考试题中, 数列约占9左右 , 考查的内容主要有: 等差数 列、等比数列的基本知识(定义、通项公式、前n 项和公式 ); 等差数列、等比数列与其他 知识点的综合运用, 及应用数列知识解决实际问题; 函数和方程的思想, 化归思想 , 分类 讨论思想 , 待定系数法等. ( 一) 典型例题讲解: 例 1. 已知2) 1 (f, 2 1)n(f 2 )1n(f)Nn(, 求)101(f的值 . 知识就是力量 2 例 2.已知数列1aa 1n 中，且,) 1(aa k 1k2k2 ,3aa k k21k2 其中, 3, 2, 1k (1) 求 53 a,a; (2) 求a n 的通项公式 . 例 3. 在公差不为零的等差数列a n 及等比数列b n 中, 已知 a11, 且 a1b1, a2b2, a8b3. (1)求数列a n 的公差 d 和b n 的公比 q ; (2)是否存在常数a、b 使得对于一切自然数n, 都有bbloga nan 成立 , 若存在 , 求 出 a、b 的值 , 若不存在 , 说明理由 . 知识就是力量 3 ( 二) 专题测试与练习: 一. 选择题 1. 数列a n 的通项公式为 1nn 1 an, 若a n 前 n项和为 24, 则 n 为( ) A. 25 B. 576 C. 624 D. 625 2. 设数列a n 是递增等差数列, 前三项的和为12, 前三项的积为48, 则它的首项是( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 3. 设)Nn( n2 1 3n 1 2n 1 1n 1 )n(f, 那么)n(f) 1n( f等于( ) A. 1n2 1 B. 2n2 1 C. 2n2 1 1n2 1 D. 2n2 1 1n2 1 4. 若数列a n 前 8 项的值各异 , 且 n8n aa 对任意 Nn都成立 , 则下列数列中可取遍 a n 前 8项值的数列为( ) A. a 1k3 B. a 1k2 C. a 1k4 D. a 1k6 5. 已知数列a n , 那么 “ 对任意的Nn, 点)a,n(P nn 都在直线1x2y上” 是“a n 为等差数列 ” 的( ) A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 根据市场调查结果, 预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量 n S(万件 )近似 地满足)12, 2, 1n)(5nn21( 90 n S 2 n . 按此预测 , 在本年度内 , 需求量超过1.5 万件的月份是( ) A. 5 月、 6 月B. 6 月、 7 月C. 7 月、 8 月D. 8 月、 9 月 二. 填空题 7. 数列)21(1)421()221( 1n 前 n 项和为 _ _. 8. 设a n 是首项为 1 的正项数列 , 且0aanaa) 1n( n1n 2 n 2 1n ), 3 ,2, 1n(, 则它的 通项公式是 n a_ _ . 9. 已知一个等比数列首项为1, 项数是偶数 , 其奇数项之和为85, 偶数项之和为170, 求这个 数列的公比, 项数为. 10. 在各项均为正数的等比数列a n 中, 若, 9aa 65 则 1032313 alogalogalog 知识就是力量 4 . 三. 解答题 11. 数列a n 的前 n 项和为 n S, 且1a1, ,S 3 1 a n1n , 3 ,2, 1n求 (1) 2 a, 3 a, 4 a的值及数列a n 的通项公式 ; (2) n242 aaa的值 . 12. 有穷数列a n 的前 n 项和 S n2n2n, 现从中抽取某一项(不是首项和末项)后, 余下项的 平均值是 79. (1)求数列a n 的通项 ; (2)求数列a n 的项数及抽取的项数. 13. 已知等比数列a n 共有 m 项)3m(, 且各项均为正数, 1a1 , 1 a 2 a7a3. (1) 求数列a n 的通项 n a; (2) 若数列b n 是等差数列 , 且 11 ab, mm ab, 判断数列a n 前 m 项的和 m S与数列 2 1 b n 的前 m 项和 m T的大小并加以证明. 知识就是力量 5 数列的综合运用解答 ( 一) 典型例题 例 1. 解：, 2 1 ) 1n(2)n(f , 2 1 )n(f) 1n(f2) 1(f故.52)101(f 例 2. 解：(1) 0) 1(aa 12 , , 33aa 23 , 4) 1(aa 2 34 ,133aa 2 45 所以 , .13a,3a 53 (2),3) 1(a3aa kk 1k2 k k21k2 所以,) 1(3aa kk 1k21k2 同理,)1(3aa 1kk 3k21k2 ,).1(3aa 13 所以 )aa( 1k21k2 )aa( 3k21k2 )aa( 13 ),1()1() 1()333( 1kk1kk 由此得,1) 1( 2 1 ) 13( 2 3 aa kk 11k2 于是. 1) 1( 2 1 2 3 a k 1k 1k2 1) 1( 2 1 2 3 )1(1) 1( 2 1 2 3 ) 1(aa k k k1k k k 1k2k2 a n 的通项公式为: 当 n 为奇数时 , ; 1 2 1 ) 1( 2 3 a 2 1n 2 1n n 当 n 为偶数时 , .1 2 1 ) 1( 2 3 a 2 n 2 n n 例 3. 解： (1) 0d 1q qbd7a,qbda. 1ab 2 111111 或 5d 6q . .1q. 0d取 5d 6q . (2) .6b, 4n5a 1n nn 假设存在 , 则有b6log)1n(4n5b6log4n5 a 1n a . 1b 6a 46logb 56log 6logb6logn4n5 5 a a aa 存在 1b 6a 5 , 使bbloga nan 成立 . ( 二) 专题测试与练习 一. 选择题 题号1 2 3 4 5 6 答案C B D A B C 二. 填空题 7. 2n2S 1n n ; 8. ; n 1 9. 2 , 8 ; 10. 10 . 知识就是力量 6 三. 解答题 11. 解: (1) 由,S 3 1 a, 1a n1n1 , 3, 2, 1n得 , 3 1 a 3 1 S 3 1 a 112 , 9 4 )aa( 3 1 S 3 1 a 2123 , 27 16 )aaa( 3 1 S 3 1 a 32134 由)2n(a 3 1 )SS( 3 1 aa n1nnn1n , 得),2n(a 3 4 a n1n 又 3 1 a2, 所以),2n() 3 4 ( 3 1 a 2n n 数列a n 的通项公式为 )2n( ,) 3 4 ( 3 1 ) 1n( , 1 a 2n n ; (2)由(1)可知 n242 a,a,a是首项为 3 1 , 公比为 2 ) 3 4 (项数为 n 的等比数列 , .1) 3 4 ( 7 3 ) 3 4 (1 ) 3 4 (1 3 1 aaa n2 2 n2 n242 12. (1) . 3Sa, 1a4aSSa 11n1nnn . 1n4an (2) 设抽去是第k 项则有 : 79 1n aaaaa n1k1k21 , 79n79aaaaa n1k1k21 移项得 : 79 n aa79aaa n1k1k21 , 所以抽去的是79, .20k791k479ak 13. 解: (1) 设等比数列a n 的公比为q, 则,7qq1 2 2q或3q, a n 的各项均为正数, 2q. 所以 n a 1n 2. (2) 由 n a 1n 2得12S m m . 数列b n 是等差数列 , , 1ab 11 1m mm 2ab, 而 m T) 2 1 b() 2 1 b() 2 1 b() 2 1 b( n321 ,2mm 2 2 2 m m 2 21 2 2 m )bbbb( 2m 1m1m n321 .12)4m() 12(2mST 2mm2m mm 当3m时, 3333 ST, 1ST. 当4m时, mm ST.
