中考辅助线之三角形中的辅助线.pdf
中考数学三角形中的辅助线问题 第一节等腰三角形中常用的辅助线 解题方法技巧 1。遇等腰三角形常作底边高（或作底边中线或顶角平分线） 例 1 文文和彬彬在证明“有两个角相等是等腰三角形”这一命题时， 画出图形， 写出“已 知” “求证”（如图所示） ，他们对各自所作的辅助线描述如下： 文文：过点A 做 BC的中垂线AD，垂足为D 彬彬：作ABC的角平分线AD 数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的做法是正确的，而文文的做法需要订 正。 ” （1）请你改正文文的辅助线做法 （2）根据彬彬的辅助线做法，完成证明过程 2.常延长一腰至等长，构造直角三角形解题（或过角顶点作底边的垂线） 如图，在ABC中， AB=AC, 如延长 BA至点 D,使 AB=AD, 连接 CD 有 AB=AD=AC, 即,BAC BA D CAC D. 又因为180BA C BAC DA D C, 即22180A C BAC D, 所以90A C BA C D,即9 0B C D 例 2 如图，已知AD/BC,AB=AD+BC,E为 DC的中点 求证：AB EC B E 3.遇等腰可平移腰 如图，在 A BC中， AB=AC,D点在 AC上，过点 D 作 DE/AB,则,D E CB 又,BC 则D ECC，所以 DE=CD. 例 3 已知：如图，在 A B C 中， AB=AC,D点在 AB 上， E 在 AC 延长线上，且BD=CE, 连接 DE交 BC于点 F.求证： DF=EF. 练习 1.已知等边三角形纸片ABC的边长为8， D 为 AB 边上的点，过点D 作 DG/BC 交 AC于点 G, D EB C于点 E,过点 G 作G FB C于点 F, 把三角形纸片ABC分别沿 DG,DE,GF按图所示 方法折叠，点A,B,C分别落在点A,B,C 处，若点 A,B.C 在矩形 DEFG内或其边上，且互不重 合，此时我们称 '''AB C （即图中阴影部分）为“重叠三角形” （1）若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1 的等边 三角形），点 A,B,C,D恰好落在网格中格点上，如图所示，请直接写出此时重叠三角形A B C 的面积。 （2）实验探究，设AD 的长为 m,若重叠三角形A BC 存在，试用含m 的代数式表示重叠三 角形 A B C 的面积，并写出m 的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用） 2.已知，如图， AB=AC, 90B A C,AD=AC, AEB D交 BC于点 E. 求证：A D BC D E 第二节直角三角形中常用的辅助线 解题方法技巧 1.遇直角作斜边高 如图，作 Rt A B C 斜边上的高CD, 可以得到 A C DA B C 例 1 已知，如图， BC是O 的直径， BA切 O 于 B,AC交 O 于 D,且 CD-=4，BC=5.求 AB 的长。 2.遇直角化等高 （1）作直角三角形斜边上中线 作 Rt AB C 斜边上的中线CD,如图，则 A C D 与 BC D均为等腰三角形。 （2）加倍一直角边 如图， 在 RtA B C中，90A C B,若延长 BC至点 D,使 CD=CB, 连接 AD,则有 AB=AD.(也可 延长 AC至等长，如图，延长AC至 E,使 CE=AC, 连接 BE,则A BE为等腰三角形) 例 2 已知：如图，在A B C中， AB=2AC, C DC A,AD=BD. 求证： AD 平分B AC 3.利用垂直，构造直角三角形 例 3 如图， AC=BD, ,A DACB DB C 求证： AD=BC 练习 1.如图， CD是 RtA BC 斜边 AB 上的高，将 BC D沿 CD折叠， B 点恰好落在AB的中点 E 处，则A等于（） .2 5A. 3 0B. 4 5C. 6 0D 2.如图，AB C 的边 BC 在直线 l 上， A CB C且 AC=BC, E F P的边 FP也在直线l 上， 边 EF与边 AC重合，且EF=FP (1)在图中，请你通过观察，测量，猜想并写出AB与 AP所满足的数量关系和位置关系 （2）将E F P沿直线 l 向左平移到图示位置时，EP交 AC于点 Q,连接 AP ,BQ.猜想并写出BQ 与 AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想 （3） 将EF P沿直线 l向左平移到图示位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接 AP ,BQ。 你认为图中所猜想的BQ 与 AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明：若不 成立，请说明理由。 (3 题图 ) 3.如图，在锐角A B C 中， BE,CF是高，在BE,CF或其延长线上分别截取CP=AB,BQ=AC, 分别 过 P ,Q 作 ,P MBCQ NB C,M,N 是垂足，求证 ;PM+QN=BC. 第三节全等三角形中常用的辅助线 解题方法技巧 1.构造中心对称型全等三角形 一个三角形绕着某一点旋转 180 得到的三角形与原三角形是一对中心对称型全等三角形。 中心对称型全等三角形的基本图形有 这些基本图形的对应边平行且相等或在同一直线上。在证题中常见的是基本图形（1） ，他的 特点是对顶角的两边对应相等，故在证题时有对顶角时常构造中心对称型全等三角形，构造
