数学培优竞赛新方法(九年级)-第4讲-一元二次方程的应用.pdf

第 4 讲一元二次方程的应用 在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、 探索者，而在青少年的精神世界中，这种需要特别强烈。 苏霍姆林斯基 知识纵横 方程是刻画现实问题的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表。许多数学 问题可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质而获解。 一元二次方程的应用有以下几个方面： (1) 求代数式的值； (2)列二次方程解应用题； (3)解相关几何问题。 例题求解 【例 1】 在平面直角坐标系中有点)2,2(A、)2,3(B，C 是坐标轴上一点。若ABC是直 角三角形，则满足条件的点C 的坐标是 _。 （山东省竞赛题） 思路点拨C 点可在x轴也可能在y轴，又 ABCRt 直角顶点未确定，故解本例的关键是 分类讨论。 【例 2】 已知实数 x、 y满足 3 24 24 xx ，3 24 yy ，则 y x 4 4 4 的值为（） 。 A7 B 2 131 C 2 137 D5 （全国初中数学竞赛题） 思路点拨分别解关于 x 2 2 、 y 2 的方程。 【例 3】 在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块高墙（墙长15cm ）的空地上修 建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围城（如图所示）。 若花园的 BC 边长为 x（m） ，花园的面积为y（m2） （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）满足条件的花园面积能达到200m 2吗？若能，求出此时 x 的值，若不能，说明理由； （3）根据（ 1）中求得的函数关系式，判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是 多少？ （青岛市中考题） 【例 4】已知：如图，在Rt ABC 中，C=90 °， AC=4cm ，BC=3cm ，点 P 由 B 出发 沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为1cm/s ，点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点C 匀速运动， 速度 2m/s ，连接 PQ 。若运动时间为t（s） （2t2) ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时， PQ BC ？ （2）设AQP 的面积为y（cm 2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式； （3）如图，连接PC ，并把PQC沿 QC 翻折，得到四边形PQP C，并且存在某一时刻 t，使四边形PQP C 为菱形，求此时 AQP的面积 . （青岛市中考题） 思路点拨对于（ 3） ，先求出 PQ 平分 Rt ACB 周长时 t 值，再看求出t 的值是否满足由面 积关系建立的方程。 例 4 图 【例 5】 如图，在平面直角坐标系中，直线1xy与3 4 3 xy交于点A，分别交x 轴于点 B 和点 C，点 D 是直线 AC 上的一个动点。 （ 1）求点 A、B、C 的坐标； （ 2）当CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标。 分析对于（ 2） ，利用“腰相等”建立方程，解题的关键是分情况讨论状况。 （太原市中考题） 巧定价格 【例 6】 某公司投资新建了一商场，共有商铺30 间。据预测，当每年的年租金定为10 万 元时，当全部租出。每间的年租金每增加5000 元，少租出商铺1 间。该公司要为租出的商 铺每间每年交各种费用1 万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000 元。 （1） 当每间商铺的年租金定位13 万元，能租出多少间？ （2） 当每间商铺的年租金定位多少万元时，该公司的年收益（收益+租金 -各种费用）为 275 万元？ （绍兴市中考题） 学力训练 基础夯实 1.某药品经过两次降价，每瓶零售价由100 元降为 81 元，已知两次降价的百分率相同，那 么两次降价的百分率为_。 （大连市中考题） 2.庆“五一”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45 场比赛，这次有_支队参加比赛。 （鄂州市中考题） 3.假如一人患红眼病，经过两轮传染共有144 人患了红眼病， 按这样的传播速度，若有两人 患了红眼病，经过第一轮传染后患红眼病的人数共有_人。 4已知线段AB 的长为 a，以 AB 为边在 AB 的下方作正方形ACDB 取 AB 边上一点E， 以 AE 为边在 AB 的上方作正方形AENM 过 E 作 EF 丄 CD， 垂足为 F 点 若正方形AENM 与四边形 EFDB 的面积相等，則AE 的长为 _ （2011 年潍坊市中考题） (第 4 题） 5.图是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图铺成了一个2× 2 的近似正方形， 其中完 整菱形共有5 个；若铺成3× 3 的近似正方形图案，其中完整的菱形有13 个；铺成4× 4 的近似正方形图案，其中完整的菱形有25 个；如此下去，可铺成一个n× n 的近似正方形 图案当得到完整的菱形共181 个时， n 的值为（） A. 7 B.8 C.9 D.10 （2011 ?荆州市中考题） 6.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10 元，每天可售出500 千克经市 场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1 元，日销售量将减少20 千克现该 商场要保证每天盈利6 000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （海口市中考题） 7.如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120 米，下底长180 米，上下底相距80 米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽 度相等设甬道的宽为x 米 （1）用含 x 的式子表示横向甬道的面积； （2）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6 米如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的 宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02 万元，那 么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用为239 万元？ （南宁中考题） 第 7 题 8.如图，在平面直角坐标中， 四边形 OABC 是等腰梯形， CB OA， OA=7 ， AB=4 ， COA=60 °， 点 P 为 x 轴上的一个动点，但是点P 不与点 0、点 A 重合连接CP，D 点是线段AB 上一 点，连接 PD （1）求点 B 的坐标； （2）当CPD= OAB ，且，求这时点P 的坐标 （广东省中考题） 能力拓展 9.过点 P（-1,3 ）作直线，使它与两坐标轴围城的三角形面积为5，这样的直线可以作_ 条。 （全国初中数学联赛题） 10.参加会议的成员都互相握过手，其中某人与他的一些老朋友握过第二次手。若这次会议 握手的总数是159 次，那么参加会议的成员有_人，其中，第二次握手共有_次。 （第 19 届江苏省竞赛题） 第 8 题 11.如图，直线 bxy 3 3 与 y 轴交于点A，与双曲线 x k y在第一象限内交于点B、C 两点，且4ACAB，则k=_. (武汉市中考题） 12.如图，正方形A1B1P1P2的顶点 P1、P2在反比例函数 x y 2 )0(x的图象上，顶点A1、 B1分别在 x 轴、 y轴的正半轴上， 再在其右侧作正方形P2P3A2B2， 顶点 P3在反比例函数 x y 2 (x0）的图象上，顶点A2在 x 轴的正半轴上，则点P3的坐标为 _。 （2011 年宁波市中考题） 13.一个三角形的边长分别为a， a，b，另一个三角形的边长分别为b，b，a，其中 ab， 若两个三角形的最小内角相等， b a 的值等于（） A. 2 31 B. 2 51 C. 2 32 D. 2 52 第 11 题 第 12 题 14.如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a=1，则这个正方形的面积 为（） 。 （山东省竞赛题） A. 2 537 B. 2 53 C. 2 51 D. 2 21 15.（2006 ?无锡）如图， 在等腰梯形ABCD 中，AB DC，AB=8cm ，CD=2cm ，AD=6cm 点 P 从点 A 出发， 以 2cm/s 的速度沿AB 向终点 B 运动； 点 Q 从点 C 出发， 以 1cm/s 的速度 沿 CD、DA 向终点 A 运动（ P、Q 两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止）设 P、Q 同时出发并运动了t 秒 （1）当 PQ 将梯形 ABCD 分成两个直角梯形时，求t 的值； （2）试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ 的面积是梯形ABCD 面积的一半？若存在， 求出这样的t 的值；若不存在，请说明理由 （无锡市中考题） 第 15 题 16.某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍长元旦时，该宿舍里的每位学生互 赠一张贺卡， 并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠舍长一 张贺卡，这样共用去了51 张贺卡问这间宿舍里住有多少位学生 （山东省竞赛题） 17.如图 ,已知直线)1()1(kkxky(k1) 与双曲线y=6/x在第一象限和第三象限分别 交于点 A（ 11, y x）和点 B（ 22, y x） ，分别由A、B 向 x 轴引垂线，垂足为M、N，当四边 形 AMBN 的面积取得最小值时，求k 的值。 （世界数学团体锦标赛试题） 第 17 题 18.如图，在 ABC 中， AB=AC=10cm ，BD AC 于点 D，且 BD=8cm 点 M 从点 A 出发， 沿 AC 的方向匀速运动，速度为2cm/ 秒；同时直线PQ 由点 B 出发，沿BA 的方向匀速运 动，速度为 1cm/ 秒， ，运动过程中始终保持PQ AC，直线 PQ 交 AB 于点 P、交 BC 于点 Q、 交 BD 于点 F连接 PM，设运动时间为t 秒（ 0t5） （1）当 t 为何值时， PM BC ？ （2）设四边形PQCM 的面积为ycm 2，求 y 与 t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使 ABCPQCM SS 16 9 四边形 ？若存在，求出t 的值；若不存在，说 明理由； （4）是否存在某一时刻t，使四边形PQCM 成为等腰梯形？若存在，求出此时t 的值；若 不存在，说明理由 （2011 青岛市中考题） 第 18 题 19.求所有满足下列条件的四位数 abcd ， abcd = 2 cdab，其中，数码c 可以为 0。 （ “新知杯”上海市竞赛题）