2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)全解全析版--数学.pdf

第 1 页 Read a，b If abThen ma Else mb End If Print m 绝密 启用前 2011年普通高等学校招生全国统一考试 (江苏卷) 数学试题解析 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共4 页，均为非选择题（第1 题第 20 题，共 20 题） 。本卷满分为160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效。 5如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 http:/www.mathedu.cn 参考公式： （1）样本数据 12 , n x xx的方差 22 1 1 () n i i sxx n ,其中 1 1 n i i xx n （2）直柱体的侧面积Sch，其中c为底面周长，h是高 （3）柱体的体积公式VSh，其中S为底面面积，h是高 I 卷 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应位置上 。 1、已知集合1,1,2,4,1,0,2,AB则_,BA 答案：1， 2 2、函数)12(log)( 5 xxf的单调增区间是_ 答案：+ 1 （，） 2 3、设复数i 满足izi23) 1(（i 是虚数单位） ，则z的实部是 _ 答案： 1 4、根据如图所示的伪代码，当输入ba,分别为 2，3 时，最后输出的m 的值是 _ 答案： 3 5、 从 1， 2，3，4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是_ 第 2 页 2 答案： 1 3 6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差_ 2 s 解析：可以先把这组数都减去6 再求方差， 16 5 7、已知,2) 4 tan(x则 x x 2tan tan 的值为 _ 解析： 2 2 tan()1 1tantan1tan4 4 tantan(), 2tan 443 tan229 tan()1 41tan x xxx xx x x x x （） 8、在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数 x xf 2 )(的图象交于P、Q 两 点，则线段PQ 长的最小值是 _ 解析： 4，设交点为 2 ( ,)x x ， 2 (,)x x ，则 22 4 (2 )( )4PQx x 9、函数,(),sin()(wAwxAxf是常数，)0, 0 wA的部分图象如图所示，则 _)0(f 解析：由图可知： 7 2,2, 41234 T A 2 2, 33 kk 26 (0)2sin() 32 fk 3 12 7 10、已知 21,e e是夹角为 3 2 的两个单位向量，,2 2121 eekbeea若0ba，则 k 的值为 解析：由0ba 得： k=2 11、已知实数0a，函数 1,2 1,2 )( xax xax xf，若)1 ()1(afaf，则a 的值为 _ 解析： 3 0,2212 , 2 aaaaa a， 3 0,1222, 4 aaaaa a 12、在平面直角坐标系xOy中，已知点P 是函数)0()(xexf x 的图象上的动点，该图象 在 P 处的切线l交 y 轴于点 M，过点 P作l的垂线交y 轴于点 N，设线段 MN 的中点的纵坐标 第 3 页 为 t，则 t 的最大值是 _ 解析：设 0 0 (,), x P x e则 000 00 :(),(0,(1) xxx lyeexxMx e，过点 P 作l的垂线 0000 00 (),(0,) xxxx yeexxNex e， 000000 000 11 (1)() 22 xxxxxx txeex eexee 00 ' 0 1 ()(1) 2 xx teex，所以， t 在(0,1)上单调增，在(1,)单调减， max 11 () 2 te e 。 13、设 721 1aaa，其中 7531 ,aaaa成公比为q 的等比数列， 642 ,aaa成公差为 1 的等差数列，则q 的最小值是 _ 解析：由题意： 23 1212121 112aaa qaa qaa q， 2 2222 1,12aqaaqa 3 2 23qa， 而 21222 1 ,1 ,1 ,2aaa aa的最小值分别为1，2，3； 3 min 3q。 14、设集合,)2( 2 |),( 222 Ryxmyx m yxA, , 122|),(RyxmyxmyxB, 若,BA则实数 m 的取值范围是 _ 解析：当0m时，集合 A 是以（ 2，0）为圆心，以m为半径的圆，集合B 是在两条平行线 之间， 2212 (12)0 22 m mm，因为,BA此时无解；当 0m时， 集合 A 是以（ 2，0）为圆心，以 2 m 和m为半径的圆环，集合B 是在两条平行线之间，必 有 2 21 2 2 2 2 m m m m 21 21 2 m.又因为 2 m1 ,21 22 mm 二、解答题：本大题共6小题，共90 分。请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 15、 （本小题满分14 分）在 ABC 中，角 A、B、C 所对应的边为cba, （1）若,cos2) 6 sin(AA求 A 的值； （2）若cbA3, 3 1 cos，求Csin的值 . 第 4 页 xx EF AB DC 解析：（1）sin()2cos,sin3 cos, 63 AAAAA （2） 2222 1 cos,3 ,2cos8,2 2 3 AbcabcbcAcac 由正弦定理得： 22 sinsin cc AC ，而 222 sin1cos, 3 AA 1 sin 3 C。 （也可以先推 出直角三角形） 16、 （本小题满分14 分）如图，在四棱锥ABCDP中，平面 PAD 平面 ABCD ， AB=AD ，BAD=60°， E、F 分别是 AP、 AD 的中点 求证：（1）直线 EF平面 PCD； （2）平面 BEF平面 PAD 解析：（1）因为 E、F 分别是 AP、AD 的中点， ,EFPD又,P DPCD EPCD面面 直线 EF平面 PCD （2） AB=AD,BAD=60 ,F 是 AD 的中点，,BFAD 又平面 PAD 平面 ABCD ，PADABCDAD,面面BFPAD面 所以，平面BEF平面 PAD 。 17、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分 所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P， 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在 AB 上是被切去的等腰 直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm （1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm 2 ）最大，试问x 应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V（cm 3 ）最大，试问x 应取何值？并 求出此时包装盒的高与底面边长的比值。 P 解析： （1） 2222 604(602 )2408Sxxxx（00，求证： PAPB 解析：（1）M(-2,0),N(0,2),M 、N 的中点坐标为(-1, 2 2 ),所以 2 2 k （2）由 22 2 24 yx xy 得 2 424 (,),(,) 3 333 PA， 2 (,0) 3 C，AC 方程： 2 3 422 333 x y 即： 2 3 yx 所以点 P 到直线 AB 的距离 242 2 2333 32 d （3）法一：由题意设 0000110 (,),(,),(,),(,0)P xyAxyB xyC x则， A、C、B 三点共线， 0101 10010 , 2 yyyy xxxxx 又因为点P、B 在椭圆上， 2222 0011 1,1 4242 xyxy ，两式相减得： 01 01 2() PB xx k yy 0011001 0011001 ()() 1 2()()() PAPB yxxyyxx kk xyyxxyy PAPB 法二：设 112200111 (,),(,),A,BN(x ,y ),P(- ,),C(-,0)A xyB xyxyx中点则, A、C、B 三点共线， 2211 21211 , 2 AB yyyy k xxxxx 又因为点A、B 在椭圆上 , 2222 2211 1,1 4242 xyxy ,两式相减得： 0 0 1 2 AB y xk , 01 01 1 21 2 ONPAAB AB yy kkk xxk ,ONPBPAPB 19、（本小题满分 16分） 已知 a， b是实数，函数,)(,)( 23 bxxxgaxxxf)(xf和)(xg M P A x y B C 第 6 页 是)(),(xgxf的导函数，若0)()(xgxf在区间 I 上恒成立， 则称)(xf和)(xg在区间 I 上 单调性一致 （1）设0a，若函数)(xf和)(xg在区间), 1上单调性一致,求实数 b 的取值范围； （2）设, 0a且ba，若函数)(xf和)(xg在以 a， b 为端点的开区间上单调性一致，求|a-b| 的最大值。 解 析 ：（ 1 ） 因 为 函 数)(xf和)(xg在 区 间), 1上 单 调 性 一 致 ， 所 以 ， '' 1,),( )( )0,xfx g x即 1,),x0,x 2 （3+a）(2x+b)0, 1,),0,ax2x+b 即0, 1,),2;axbb2x （ 2） 当ba时 ， 因 为 ， 函 数)(xf和)(xg在 区 间 （ b,a） 上 单 调 性 一 致 ， 所 以 ， '' ( , ),( )( )0,xb afx g x 即( , ),x0,xb a 2 （3+a）(2x+b)0,( , ),20baxb axb， 2 ( , ),3,xb aax 2 3,bab设zab，考虑点 (b,a)的可行域，函数 2 3yx的斜率为 1 的切线的切点 设为 00 (,)xy 则 000 11 61, 612 xxy max 111 () 1266 z； 当0ab时 ， 因 为 ， 函 数)(xf和)(xg在 区 间 （ a, b） 上 单 调 性 一 致 ， 所 以 ， '' ( , ),( )( )0,xa bfx g x 即( , ),x0,xa b 2 （3+a）(2x+b)0,( , ),20bxa bxb， 2 ( , ),3,xa b ax 21 3,0, 3 aaa max 1 (); 3 ba 当0ab时 ， 因 为 ， 函 数)(xf和)(xg在 区 间 （ a, b） 上 单 调 性 一 致 ， 所 以 ， '' ( , ),( )( )0,xa bfx g x 第 7 页 即( , ),(x0,xa b 2 2x+b)（3+a）0,b而 x=0 时，x 2 （3+a）(2x+b)=abk 时，)(2 knknkn SSSS 都成立。 （1）设 M= 1 ，2 2 a，求 5 a的值； （2）设 M= 3，4 ，求数列 n a的通项公式。 解 析 ：（1 ） 111211 1,1,2(),2() nnnnnn knSSSSSSSS即 ： 21 2 nnn aaa 所以， n1 时， n a成等差，而2 2 a， 2321135 3,2()7,4,8;SSSSSaa （2）由题意： 333444 3,2(),(1);4,2(),(2) nnnnnn nSSSSnSSSS， 42135314 4,2(),(3);5,2(),(4); nnnnnn nSSSSnSSSS 当5n时，由（ 1） （2）得： 434 2,(5) nn aaa 由（ 3） （4）得： 524 2,(6) nn aaa 由（ 1） （3）得： 421 2,(7); nnn aaa 由（ 2） （4）得： 531 2,(8); nnn aaa 由（ 7） （8）知： 412 , nnn aaa 成等差， 513 , nnn aaa 成等差；设公差分别为： 12 ,d d 由（5）（6）得： 532442421541 222,(9);222,(10); nnnnnn aadaadaadaad 由（ 9） （10）得： 54214122321 ,2,; nnnn aaddaddaadda(2) n n成 等差，设公差为d, 在（ 1） （2）中分别取n=4,n=5 得： 12122 2+6a152(255 ),452;adaadad即 第 8 页 12122 28282(279 ),351aadaadad即 2 3,2,21. n adan 数学 II（附加题） 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1、本试卷共 2页，均为解答题（第 21 题第 23题） 。本卷满分为 40 分，考试时间为30 分钟。考试结 束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效。 5如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 htt 21.【选做题】本题包 括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答 ， 若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A选修 4-1：几何证明选讲（本小题满分10 分） 如图，圆 1 O与圆 2 O内切于点A，其半径分别为 1 r与 212 ()rrr， 圆 1 O的弦AB交圆 2 O于点C（ 1 O不在AB上） ， 求证：:ABAC为定值。 证明：由弦切角定理可得 11 21 2 , O BrAB AO CAO B ACO Cr B选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分10 分） 已知矩阵 11 2 1 A ，向量 1 2 ，求向量，使得 2 A 设 x y ， 由 2 A得： 321 432 x y ， 32111 , 43222 xyx xyy C选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10 分） 在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆 5cos 3sin x y （为参数）的右焦点且与直线 42 3 xt yt （t为参数）平行的直线的普通方程。 21-A第图 第 9 页 解析：椭圆的普通方程为 22 1, 259 xy 右焦点为（ 4，0） ，直线 42 3 xt yt （t为参数）的 普通方程为22yx，斜率为： 1 2 ；所求直线方程为： 1 (4),240 2 yxxy即 D选修 4-5：不等式选讲（本小题满分10 分） 解不等式：|21|3xx 解析：原不等式等价于： 4 3213,2 3 xxxx，解集为 4 ( 2,) 3 【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分.请在答题卡指定区域内 作答，解答时 应写出 文字说明、证明过程或演算步骤。http:/www.mathedu.cn 22. （本小题满分10 分） 如图，在正四棱柱 1111 ABCD ABC D中， 1 2,1AAAB， 点N是BC的中点，点M在 1 CC 上，设二面角 1 ADNM的大小为。 （1）当 0 90时，求AM的长； （2）当 6 cos 6 时，求CM的长。 解析：以D 为原点， DA 为 x 轴正半轴， DC 为 y 轴正半轴， DD1为 z 建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),A 1(1,0,2),N( 1 2 ,1,0),C(0,1,0) ) ，设 M(0 面 MDN 的法向量 1111 (,)nx y z ， 1 1 (1,0,2),(,1,0),(0,1, ) 2 DADNDMz 设面 A1DN 的法向量为 000 (,)nxyz ，则 00 1 00 20 0,0, 1 0 2 xz DA nDN n xy 取 000 2,1,1,xyz则即(2, 1, 1)n (1)由题意： 11 11111 111 1 0 2 0,0,00 20 xy DN nDM nnnyzz xyz 取 111 1 2,1,5,; 5 xyzz则 22第题图 第 10 页 222 151 (1 0)(01)(0) 55 AM （2）由题意： 1 11 1 6 0,0, 6 nn DNnDM n n n 即 11 11 2 1111 111 1 0 2 0 34420 xy yzz xx yx zy z 取 111 1 2,1,2,; 2 xyzz则 1 . 2 CM 23 （本小题满分10 分） 设整数4n，( , )P a b是平面直角坐标系xOy中的点，其中,1,2,3, ,a bnab （1）记 n A为满足3ab的点P的个数，求 n A； （2）记 n B为满足 1 () 3 ab是整数的点P的个数，求 n B 解析：（ 1）因为满足3ab,1,2,3, ,a bnab的每一组解构成一个点P,所以 3 n An。 （2）设 * 1 () 3 abkN，则 1 3 ,031,0, 3 n abkknk 对每一个k 对应的解数为：n-3k,解数一共有： 13 123(3) 2 n nn (2)(3) 2 n nn B