2013年河南省中考数学试题(含答案).pdf

2013 年河南省初中学业水平暨高级中等学校招生考试试卷 数学 注意事项： 1.本试卷共8 页，三个大题，满分120 分，考试时间100 分钟，请用蓝、黑色水笔或圆珠 笔直接答在试卷上。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 参考公式：二次函数图像 2 (0)yaxbxc a的顶点坐标为 2 4 (,) 24 bacb aa 一、选择题（每小题3 分，共 24 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的， 将正确答案的代号字母填在题后括号内。 1、-2 的相反数是【】 （A）2 (B)2(C) 1 2 (D) 1 2 【解析】根据相反数的定义可知：-2 的相反数为2 【答案】 A 2、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】 【解析】轴对称是指在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全 重合，这样的图形叫做轴对称图形。 中心对称图形是指平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180° 后，能与自身重 合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称。 结合定义可知，答案是D 题号 一二三 总分 18 915 16 17 18 19 20 21 22 23 【答案】 D 3、方程(2)(3)0xx的解是【】 （A）2x（B）3x（C） 12 2,3xx（D） 12 2,3xx 【解析】由题可知：20x或者30x，可以得到： 12 2,3xx 【答案】 D 4、在一次体育测试中，小芳所在小组8 个人的成绩分别是：46，47， 48，48，49，49， 49， 50.则这 8 个人体育成绩的中位数是【】 （A） 47 （B）48 （C）48.5 （D）49 【解析】 中位数是将数据按照从小到大的顺序排列，其中间的一个数或中间两个数的平均数 就是这组数的中位数。本题的8 个数据已经按照从小到大的顺序排 列了，其中间的两个数是48 和 49，它们的平均数是48.5。因此中 位数是 48.5 【答案】 C 5、如图是正方形的一种张开图，其中每个面上都标有一个数字。那么在原正方形中，与 数字“ 2”相对的面上的数字是【】 （A）1 （B）4 （C）5 （D）6 【解析】将正方形重新还原后可知：“2”与“ 4”对应，“3”与“ 5”对应，“1”与“ 6”对 应。 【答案】 B 6、不等式组 2 21 x x 的最小整数解为【】 （A） -1 （B） 0 （C）1 （D）2 【解析】不等式组的解集为12x，其中整数有0,1,2。最小的是0 【答案】 B 7、如图，CD 是O的直径， 弦ABCD于点 G，直线EF与O 相切与点 D，则下列结论中不一定正确的是【】 （A）AGBG（B）ABEF （C）AD BC （D）ABCADC 【解析】由垂径定理可知：（ A）一定正确。由题可知：EFCD，又因为ABCD，所 以ABEF，即（ B）一定正确。因为ABCADC和所对的弧是劣弧 AC，根据同弧 所对的圆周角相等可知（D）一定正确。 【答案】 C 8、在二次函数 2 21yxx的图像中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是【】 （A）1x（B）1x（C）1x（D）1x 【解析】 二次函数 2 21yxx的开口向下， 所以在对称轴的左侧y随x的增大而增大， 二次函数 2 21yxx的对称轴是 2 1 22( 1) b x a ，所以，1x 【答案】 A 二、填空题（每小题3 分，共 21 分） 9、计算：34 【解析】原式=321 【答案】 1 10 、 将 一 副 直 角 三 角 板ABC和DEF如 图 放 置 （ 其 中 60 ,45AF） ，使点E落在AC边上，且EDBC，则 CEF的度数为 【解析】有图形可知：30 ,45ACBDEF。因为EDBC， 所以30DECACB,453015CEFDEFDEC 【答案】 15 11、化简： 11 (1)xx x 【解析】原式= (1)11 (1)(1)1 xx x xx xx 【答案】 1 1x 12、已知扇形的半径为4 ，圆心角为120°，则此扇形的弧长是 【解析】有扇形的弧长公式 180 n r l可得：弧长 12048 1801803 n r l 【答案】 8 3 13、现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字-1，-2，3， 4。把卡片背面朝上洗匀， 然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是 【解析】任意抽取两张，数字之积一共有2，-3，-4，-6， -8， 12 六种情况，其中积为负 数的有 -3，-4，-6，-8 四种情况，所以概率为 4 6 ，即 2 3 【答案】 2 3 14、如图，抛物线的顶点为( 2,2),P与y轴交于点(0,3)A，若 平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点 '(2, 2) P，点A的对应 点为 ' A，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为 【解析】阴影部分''PAA P可认为是一个平行四边形， 22 '2( 2)( 22)42PP 过A作'ABPP ,则 23 2 sin 453 22 ABOA 阴影部分 ''PAA P 的面积为 3 2 '4212 2 SPPAB 【答案】 12 15、如图， 矩形ABCD中，3,4ABBC,点E是BC边 上一点，连接AE，把B沿AE折叠，使点B落在点'B处， 当'CEB为直角三角形时，BE的长为 【解析】 当'90EB C时，由题可知：'90ABEAB E,即：,',A B C在同一直线上， 'B落在对角线AC上，此时，设BEx，则'B Ex，4,''2CEx B CACAB， 在'Rt B EC中，解得 3 2 x 当'90B CE时，即'B落在CD上，'3ABAB，此时在'RtADB中， 斜边'AB大于直角边AD，因此这种情况不成立。 当'90B EC时，即'B落在AD上，此时四边形'ABEB是正方形，所以 3,ABBE 【答案】 3 3 2 或 三、解答题（本大题共8 个小题，满分75 分） 16、 （8 分）先化简，再求值： 2 (2)(21)(21)4 (1)xxxx x，其中2x 【解答】原式 222 222 2 (44)(41)(44 ) 444144 3 xxxxx xxxxx x 当2x时，原式 = 2 235 17、从 2013 年 1 月 7 日起，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气。某市记者为了了 解“雾霾天气的主要成因”，随机调查了该市部分市民，并对调 查结果进行整理，绘制了如下尚不完整的统计图表 组别观点频数（人数） A 大气气压低，空气不流动80 B 地面灰尘大，空气湿度低m C 汽车尾气排放n D 工厂造成的污染120 E 其他60 请根据图表中提供的信息解答下列问题： （ 1） 填空：m，n， 扇形统计图中E组所占的百分比为%。 （ 2）若该市人口约有100 万人，请你估计其中持D 组“观点”的市民人数 （ 3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人， 则此人持C 组“观点” 的概率是多少？ 【解析】（1）由 A 组的频数和A 组在扇形图中所占的百分比可以得出调查的总人数： 8 02 0 %4 0 0 40010%40m，400804012060100n E组所占百分比是604000.1515% （ 2 ） 由 题 可 知 ： D组 “ 观 点 ” 的 人 数 在 调 查 人 数 中 所 占 的 百 分 比 为 1204000.330% 10030%30（万人） （3）持 C 组“观点”的概率为 1001 4004 【答案】（1）40；100； 15% （ 2）30 万人（ 3） 1 4 18、 （9 分）如图，在等边三角形ABC中，6BCcm,射线AGBC，点E从点A出发 沿射线AG以1/cm s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线 BC以2/cms的速度运动，设运动时间为( )t s （ 1） 连 接EF， 当EF经 过AC边 的 中 点D时 ， 求 证 ： ADECDF 证明：AGBC EADACB D是AC边的中点 ADCD 又ADECDF ADECDF （ 2）填空： 当t为s 时，四边形ACFE是菱形； 当t为s 时，以,A F C E为顶点的四边形是直角梯形。 【解析】当四边形ACFE是菱形时，AEACCFEF 由题意可知：,26AEt CFt，6t 若四边形ACFE是直角梯形，此时EFAG 过C作CMAG于 M，3AG，可以得到AECFAM， 即(26)3tt，3t， 此时，CF与重合，不符合题意，舍去。 若四边形若四边形AFCE是直角梯形，此时AFBC， ABC 是等边三角形，F是 BC 中点， 2 3t ，得到 3 2 t 经检验，符合题意。 【答案】6t 3 2 t 19、 （9 分）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大 坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162 米增加到176.6 米，以抬高蓄水位，如图是某 一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角68BAE ，新坝 体的高为DE，背水坡坡角60DCE。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度 AC. (结果精确到0.1 米，参考数据：sin680.93,cos680.37,tan682.50, 31.73） 【解答】 在 RtBAE 中，68BAE ，BE=162 米 162 64.80 tan2.50 BE AE BAE （米） 在 RtDEC 中，60DCE，DE=176.6 米 176.6 102.08 tan 3 DE CE DCE （米） 102.0864.8037.2837.3ACCEAE（米） 即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为 37.3 米 20、 （9 分）如图，矩形OABC的顶点,A C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2,3)。双 曲线(0) k yx x 的图像经过BC的中点D，且与AB交于点 E，连接DE。 （1）求k的值及点E的坐标； （2）若点F是边上一点，且FBCDEB，求直线FB的解 析式 【解答】（1）在矩形OABC中， B 点坐标为(2,3)，BC边中点D的坐标为（ 1,3） 又双曲线 k y x 的图像经过点(1,3)D 3 1 k ，3k E点在AB上，E点的横坐标为2. 又 3 y x 经过点E, E点纵坐标为 3 2 ，E点纵坐标为 3 (2,) 2 （2）由（ 1）得， 3 1,2 2 BDBEBC, FBC DEB， BDBE CFCB ，即 3 1 2 2CF 。 4 3 CF， 5 3 OF，即点F的坐标为 5 (0,) 3 设直线FB的解析式为 1 yk xb，而直线FB经过 5 (2,3),(0,) 3 BF 1 32 5 3 kb b ，解得 1 2 3 5 3 k b 直线FB的解析式为 25 33 yx 21、 （10 分）某文具商店销售功能相同的两种品牌的计算器，购买2 个 A 品牌和 3 个 B 品 牌的计算器共需156 元；购买3个 A 品牌和 1 个 B 品牌的计算器共需122 元。 （1）求这两种品牌计算器的单价； （2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A 品牌计算 器按原价的八折销售，B 品牌计算器5 个以上超出部分按原价的七折销售。设购买个A 品 牌的计算器需要元，购买个B 品牌的计算器需要元，分别求出关于的函数关系式 （3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5 个， 购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由。 【解答】（1）设A品牌计算机的单价为x元，B品牌计算机的单价为y元，则由题意可知： 2315630 312232 xyx xyy 即A，B两种品牌计算机的单价为30 元， 32 元 （2）由题意可知： 1 0.8 30yx，即 1 24yx 当05x时， 2 32yx 当5x时， 2 32532(5)0.7yx，即 2 22.448yx （3）当购买数量超过5 个时， 2 22.448yx。 当 12 yy时，2422.448,30xxx 即当购买数量超过5 个而不足30 个时，购买A品牌的计算机更合算 当 12 yy时，2422.448,30xxx 即当购买数量为30 个时，购买两种品牌的计算机花费相同。 当 12 yy时，2422.448,30xxx 即当购买数量超过30 个时，购买B品牌的计算机更合算 22、 （ 10 分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中 90 ,30CBE. （1）操作发现 如图 2，固定ABC，使DEC绕点C旋转。 当点D恰好落在AB边上时，填空： 线段DE与AC的位置关系是； 设BDC的面积为 1 S，AEC的面积为 2 S。 则 1 S与 2 S的数量关系是。 【解析】由旋转可知：AC=DC ， 90 ,30CBE，60AD ADC是等边三角形，60ACD, 又60CDE DEAC 过 D作 DN AC交 AC于点 N，过 E作 EM AC交 AC延长线于M ，过 C作 CF AB 交 AB于点 F。 由可知： ADC是等边三角形 ,DEAC， DN=CF,DN=EM CF=EM 90 ,30CB，2ABAC, 又ADAC BDAC 1 1 2 SCF BD 2 1 2 SA CE M 1 S= 2 S （2）猜想论证 当DEC绕点C旋转到图3 所示的位置时，小明猜想（1） 中 1 S与 2 S的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC 中,BC CE边上的高，请你证明小明的猜想。 【证明】90 ,180DCEACBDCMACE 又180 ,ACNACEACNDCM 又90 ,CNACMDACCD ANC DMC AN=DM 又 CE=CB, 12 SS （3）拓展探究 已 知60ABC， 点D是 其 角 平 分 线 上 一 点 ， 4BDCD ，OE AB 交BC于点 E（如图 4） ，若在射线BA 上存在点F，使 DCFBDC SS,请直接写出 相应的BF的长 【解析】如图所示，作 1 DFBC交BA于点 1 F,作 2 DFBD交BA于点 2 F。 按照（ 1） （2）求解的方法可以计算出 1 4 3 3 BF 2 8 3 3 BF 23、 （ 11 分）如图，抛物线 2 yxbxc与直线 1 2 2 yx交于,C D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为 7 (3,) 2 。点P是y轴右侧 的抛物线上一动点，过点P作PEx轴于点E，交CD于点F. （1）求抛物线的解析式； （2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以 ,O C P F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。 （3）若存在点P，使45PCF，请直接写出 相应的点P的坐标 【解答】（1）直线 1 2 2 yx经过点C,(0, 2)C 抛物线 2 yxbxc经过点(0, 2)C，D 7 (3,) 2 2 27 27 33 2 2 c b bc c 抛物线的解析式为 27 2 2 yxx （2）点P的横坐标为m且在抛物线上 271 (,2),(,2) 22 P mmmF mm PFCO，当PFCO时，以,O C P F为顶点的四边形是平行四边形 当03m时， 2271 2(2)3 22 PFmmmmm 2 32mm，解得： 12 1,2mm 即当1m或2时，四边形OCPF是平行四边形 当3m时， 2217 (2)(2)3 22 PFmmmmm 2 32mm，解得： 12 317317 , 22 mm（舍去） 即当 1 317 2 m时，四边形OCFP是平行四边形 （3）如图，当点P在CD上方且45PCF时， 作,PMCD CNPF,则 PMF CNF，2 1 2 PMCNm MFFN m 2PMCMCF 555 555 222 PFFMCFCNCNm 又 2 3PFmm 2 5 3 2 mmm 解得： 1 1 2 m， 2 0m（舍去） 1 7 (,) 2 2 P。 同理可以求得：另外一点为 23 13 (,) 618 P