中考总复习-方程与不等式-难题汇集-里面不等式难题很多2013.4.6.pdf

卓越个性化教案 GFJW0901 学生姓名年级 初三授课时间2013.4.6 教师姓名刘课时2 课题一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程、不等式、函数难题练习 教学目标掌握解方程的基本思路和不等式的性质 重点 方程解法、不等式性质的应用 难点 不等式性质应用 1.知识点 1.1解方程的总体思路：多元消元，高次降次。最终化为一元一次逐步求解。 1.1.1 二元一次方程组和三元一次方程组解法思路：消元法为主，代入法为辅。当然如果要快速解，还需要认真 观察方程组的特点！ 1.1.2 解一元二次方程总体思路：十字相乘法为主，公式法和配方法为辅。总的来说要具体观察方程的结构（即 是 a、/b、/c 的大小）。对于一元高次方程来说，因式分解然后分析各因式，这是最基本的方法。 1.1.3 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）： 定理： 如果一元二次方程 2 0 (0)axbxca定的两个根为 12 ,xx，那么： 1212 , bc xxx x aa 常用变形： 222 121212 ()2xxxxx x， 12 1212 11xx xxx x ， 22 121212 ()()4xxxxx x， 2 121212 |()4xxxxx x， 22 12121212 ()x xxxx xxx， 2 21112 121212 22 212 ()4xxxxxxx x xxx xx x 等 注意：方程和函数密切相关，函数和方程往往可以相互解释一些性质，并且相互对应。 1.2 不等式与不等式组的性质 1） 、不等式：表示不等关系的式子。（表示不等关系的常用符号：，）。 2） 、不等式的性质： （ l）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，如a b， c 为实数acbc （2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，如ab， c0ac bc。 （3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，如ab，c0acbc. 注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性（正数， 零，负数）再确定不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。 3） 、任意两个实数a，b 的大小关系（三种） ： （1）a b 0ab （ 2）a b=0a=b （3）a b0ab 注意：比较实数大小的最基本方法是：作差法和作除法 4） 、 （1）a b0ba （2）ab 0 22 ba 卓越个性化教学讲义 2 1.2.1 求不等式组的解集的方法：若 ab， 当时， xb；（ 同大取大 ）当时， xa；（ 同小取小 ） 当时， axb；（ 大小小大取中间）当时无解，（ 大大小小无解） 2.课堂练习： 1. 解方程组 356 415 xz xz 2 2 2314 mn mn 3. 解方程组 4(1)3(1)2 2 23 xyy xy 4.已知方程组 734 521 xy xym 的解能使等式437xy成立，求 m 的值 5. 已知方程组 45 321 xy xy 和 3 1 axby axby 有相同的解，求 22 2aabb的值 6. 用恰当的方法解下列方程组 （1） 623 1732 yx yx （2） 2 32 2)1(3)1(4 yx yyx 7. （7 分）若0)23 2 yyx（，求yx的值 . 8.（8 分）若yx、的值既满足等式53 yx，又满足等式32yx，求代数式yx3的值 . 9. （8 分）已知方程组 1235 042 yx myx 中的y的值是 x 的值的 3 倍，求 m 的值 . 10. .3342 ,1 2 1 xx xx 5 62x3 卓越个性化教学讲义 3 11. 32 2 ,352 xx xx .6)2(3)3(2 ,1 32 xx xx 12. ).2(28 ,14 2 xx x . 2 3 4512xxx 13. .1)3(2 2 1 , 3 12 2 33 xx x xx 2 4 , 2 5 5 ,13 x x x x xx 14.解不等式组 .3273 ,4536 ,7342 xx xx xx 15.若 m、n 为有理数，解关于x 的不等式 (m 21)xn 16.已知关于x，y 的方程组 134 ,123 pyx pyx 的解满足xy，求 p 的取值范围 17.已知方程组 myx myx 12 ,312 的解满足xy0，求 m 的取值范围 18.适当选择a 的取值范围，使1.7xa 的整数解： (1) x 只有一个整数解； (2) x 一个整数解也没有 卓越个性化教学讲义 4 19.当 3 10 )3(2 k k时，求关于x 的不等式kx xk 4 )5( 的解集 20.已知 A2x 2 3x2，B2x24x5，试比较 A 与 B 的大小 21.（类型相同）当k 取何值时，方程组 52 ,53 yx kyx 的解 x，y 都是负数 22.（类型相同）已知 122 ,42 kyx kyx 中的 x，y 满足 0yx1，求 k 的取值范围 23.已知 a 是自然数，关于x 的不等式组 02 ,43 x ax 的解集是x2，求 a 的值 24.关于 x 的不等式组 123 ,0 x ax 的整数解共有5 个，求 a 的取值范围 25.（类型相同） k 取哪些整数时，关于x 的方程 5x416kx 的根大于 2 且小于 10? 26.（类型相同）已知关于x，y 的方程组 34 ,72 myx myx 的解为正数，求m 的取值范围 27.若关于 x 的不等式组 ax x x x 3 22 ,3 2 15 只有 4 个整数解，求a 的取值范围 卓越个性化教学讲义 5 28、解方程 (1)3x 27x O ； (2) 2x(x3) 6(x 3) （因式分解法） （3）9)12( 2 x（直接开平方法）（4）8y 22=4y（配方法） (5)2x 27x 70； （6） （x2） （x5）=2 29、关于 x 的一元二次方程mx 2-(3m-1)x+2m-1=0, 其根的判别式的值为1, 求 m的值及该方程的根. 30、已知方程5x2+mx10=0 的一根是 5，求方程的另一根及m的值。 31、在解一元二次方程时, 粗心的甲、乙两位同学分别抄错了同一道题, 甲抄错了常数项, 得到的两根分别是8 和 2; 乙抄错了一次项系数, 得到的两根分别是-9和-1. 你能找出正确的原方程吗?若能 , 请你用配方法求出这个方程 的根 . 32、已知 a b, 且满足 2 a-3a+1=0, 2 b-3b+1=0 求 1 1 1 1 22 ba 的值 33、已知关于x 的方程 x 2-2(m+1)x+m2=0. (1)当 m取什么值时 , 原方程没有实数根. (2)对 m选取一个合适的非零整数, 使原方程有两个实数根, 并求这两个实数根的平方和. 34、已知 关于 x 的方程 m 2 x(2m1)x+m-2=0(m0) 求证： 这个方程有两个不相等的实数根如果这个方程 的两个实数根分别是 1 x 和 2 x, 且（ 1 x 3） （ 2 x 3）=5m,求 m的值。 卓越个性化教学讲义 6 35、已知：关于x 的方程 2 x（ m-2）x 4 2 m =0, 求证，无论m取什么值，方程总有两个不等实根， 若这个方程的两实根是 1 x 和 2 x ，且满足 1 x= 2 x+2，求 m的值及 1 x 和 2 x 。 36、已知关于x 的一元二次方程02 2 1 2 22 kkxx 求证：不论k 为何值，方程总有两个不相等的实根 设 21,x x是方程两根，且522 211 2 1 xxkxx, 求 k 的值 37、关于 x 的方程 4 2 m 2 x+（8m+1）x+4=0 有两个不相等的实数根， 若所给方程的两实数根的倒数和不小于-2 ，求 m的取值范围 m为何值时，方程的两根之比为1：4。 38、已知关于x 的方程x 2-2(m+1)x+m2-2m-3=0的两个不相等实数根中有一个根为 0, 是否存在实数k, 使关 于 x 的方程 x 2-(k-m)x-k-m2+5m-2=0的两个实数根 x1,x2之差的绝对值为1?若存在 , 求出 k 的值 ; 若不存在 , 请说明理由 . 3.作业： (最后部分是有答案的) 3.1 不等式难题 1. 当 b7 的整数 m的值有 _个 10. 不等式组 23 23 x x 的解集中的整数解的和是_ 11. 已知 2x y0，且 x 5y，则 x 的取值范围是_ 12. 已知关于x 的不等式kx20 （k 0） 的解集是x 3， 则直线 y kx 2 与 x?轴的交点是 _ 。 13. 已知一次函数y=（a+5）x+3 经过第一，二，三象限，则a 的取值范围是_ 14. 已知点 M （1-a ，a+2）在第二象限，则a 的取值范围是 _ 15. 设 a -1 有 5 个整数解，则a 的取范围是 _ 18. 若不等式 5231 xa xx 的解集为x4，则 a 的取值范围是_ 19. 如果关于x 的不等式（ 2ab）x+a5b0 的解为 x10 7 ，求关于x 的不等式axb 的解集 20. 已知方程组 22 12 yx myx 的解x、y满足x+y0，求m的取值范围 21. 若关于 x 的方程52)4(3ax的解大于关于x 的方程 3 )43( 4 ) 14(xaxa 的解，求a 的取值范围 22. 若不等式组 ax ax 无解，那么不等式 1 1 ax ax 有没有解？若有解，请求出不等式组的解集；若没有请说 明理由？ 3.2 方程应用题： 1. 今秋，某市白玉村水果喜获丰收，果农王灿收获枇杷20 吨，桃子12 吨现计划租用甲、乙两种货车共8 辆将 这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4 吨和桃子 1 吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2 吨 （1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？ （2）若甲种货车每辆要付运输费300 元，乙种货车每辆要付运输费240 元，则果农王灿应选择哪种方案，使运 卓越个性化教学讲义 8 输费最少？最少运费是多少？ 2. 某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100 只，付款总额不得超过11 815 元已知两种球厂 家的批发价和商场的零售价如右表，试解答下列问题： （1）该采购员最多可购进篮球多少只？ （2）若该商场把这100 只球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于2580 元，则采购员至少要购篮球多 少只，该商场最多可盈利多少元？ 3. 某食品厂生产的一种巧克力糖每千克成本为24 元，其销售方案有如下两种： 方案一：若直接给本厂设在某市门市部销售，则每千克售价为32 元，但门市部每月需上缴有关费用2400 元； 方案二：若直接批发给本地超市销售，则出厂价为每千克28 元若每月只能按一种方案销售，且每种方案都能 按月销售完当月产品，设该厂每月的销售量为xkg （1）你若是厂长，应如何选择销售方案，可使工厂当月所获利润更大？ （2）厂长看到会计送来的第一季度销售量与利润关系的报表后（下表），发现该表填写的销售量与实际有不符之 处，请找出不符之处，并计算第一季度的实际销量总量 一月二月三月 销售量（ kg）550 600 1400 利润（元）2000 2400 5600 3.3 一元二次方程根与系数关系练习： 1.已知 x1、 x2是一元二次方程 0m31x22x 2 的两个实数根， 且 x1、 x2满足不等式0)(2 2121 xxxx， 求实数 m 的取值范围。 品名厂家批发价（元/ 只）商场零售价（元/ 只） 篮球130 160 排球100 120 卓越个性化教学讲义 9 2.已知实数a、b 满足等式 012,012 22 bbaa，求 b a a b 的值。 3若 ab1, 且有05201190920115 22 bbaa，求 b a 的值。 4. 已知关于x 的方程01 4 1 )1( 22 kxkx的两根是一个矩形两邻边的长。 （1）k 为何值时，方程有两个实数根；（2）呈矩形的对角线长为5时，求 k. 5. 已知关于x 的一元二次方程0142 2 mxx有两个非零实数根。 （1）求 m的取值范围； （2）两个非零实数根能否同为正数或同为负数？若能，请求出相应的m的取值范围，若不能，请说明理由。 6、已知关于x 的方程 06)32( 22 mxmx 的两根 21, x x 的积是两根和的两倍。 求 m 的值；求作以 21 1 , 1 xx 为两根的一元二次方程. 7、已知方程x2+mx+12=0 的两实根是x1 和 x2，方程 x2mx+n=0 的两实根是x1+7 和 x2+7， 求 m 和 n 的值。 3.4 二次函数难题练习：（另外纸张写答案） 1如图， 在直角坐标系xoy 中，抛物线 y=x 2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（其中 A 在原点左侧， B 在原点右侧） ， C 为抛物线上一点，且直线AC 的解析式为y=mx+2m （m 0） ， CAB=45° ，tan COB=2 （1）求 A、C 的坐标； （2）求直线AC 和抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否存在点D，使得四边形ABCD 为梯形？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理 由 卓越个性化教学讲义 10 2 （2006?达州）如图，抛物线y=x2+bx+2 交 x 轴于 A、B 两点（点B 在点 A 的左侧），交 y 轴于点 C，其对 称轴为 x=，O 为坐标原点 （1）求 A、 B、C 三点的坐标； （2）求证：ACB 是直角； （3）抛物线上是否存在点P，使得APB 为锐角？若存在，求出点P 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理 由 3 （2012?赤峰）如图，抛物线y=x 2bx5 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点C，点 C 与点 F 关于抛物线的对称轴对称，直线AF 交 y 轴于点 E， |OC|：|OA|=5：1 （1）求抛物线的解析式； （2）求直线AF 的解析式； （3）在直线AF 上是否存在点P，使 CFP 是直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由 4 （2008?濮阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交于点C，且当 x=O 和 x=4 时，y 的值相等直线y=4x 16 与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这条抛 物线的顶点M （1）求这条抛物线的解析式； （2）P 为线段 OM 上一点，过点P作 PQ x 轴于点 Q若点 P 在线段 OM 上运动（点P 不与点 O 重合，但可以 与点 M 重合） ，设 OQ 的长为 t，四边形PQCO 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围； （3）随着点P 的运动，四边形PQCO 的面积 S 有最大值吗？如果S 有最大值，请求出S 的最大值，并指出点Q 的具体位置和四边形PQCO 的特殊形状；如果S 没有最大值，请简要说明理由； （4）随着点P 的运动，是否存在t 的某个值，能满足PO=OC？如果存在，请求出t 的值 卓越个性化教学讲义 11 5如图，已知 ABC 内接于半径为4 的 0，过 0 作 BC 的垂线，垂足为F，且交0于 P、Q 两点 OD、OE 的长 分别是抛物线y=x 2+2mx+m29 与 x 轴的两个交点的横坐标 （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在直线l，使它经过抛物线与x 轴的交点，并且原点到直线l 的距离是 2？如果存在，请求出直线l 的解析式；如果不存在，请说明理由 6 （2004?哈尔滨）已知：抛物线y=x 2（ m+3）x+m2 12 与 x 轴交于 A（x 1，0） 、 B（x2， 0）两点，且 x1 0，x20，抛物线与y 轴交于点 C，OB=2OA （1）求抛物线的解析式； （2）在 x 轴上，点 A 的左侧，求一点E，使 ECO 与 CAO 相似，并说明直线EC 经过（ 1）中抛物线的顶点D； （3）过（ 2）中的点E 的直线 y=x+b 与（ 1）中的抛物线相交于M、N 两点，分别过M、 N 作 x 轴的垂线，垂 足为 M 、N ，点 P 为线段 MN 上一点， 点 P 的横坐标为t，过点 P 作平行于 y 轴的直线交（ 1）中所求抛物线于 点 Q是否存在t 值，使 S梯形MM'N'N：S QMN=35：12？若存在，求出满足条件的t 值；若不存在，请说明理由 7 （2011?沈阳）如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（ A 点在 B 点左侧），与 y 轴交于点 C（0， 3） ，对称轴是直线x=1，直线 BC 与抛物线的对称轴交于点D （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式； 卓越个性化教学讲义 12 （3）点 E 为 y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点 F，交抛物线于P、Q 两点，且点P 在第三象限 当线段 PQ=AB 时，求 tan CED 的值； 当以点 C、D、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答 8已知，如图，抛物线y=x2+bx+3 与 x 轴的正半轴交于A、B 两点（ A 在 B 的左侧），且与 y 轴交于点C，O 为坐标原点，OB=4 （1）直接写出点B，C 的坐标及b 的值； （2）过射线CB 上一点 N，作 MN OC 分别交抛物线、x 轴于 M、 T 两点，设点N 的横坐标为t 当 0t4 时，求线段MN 的最大值； 以点 N 为圆心， NM 为半径作N，当点 B 恰好在N 上时，求此时点M 的坐标 9如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点的横坐标分别是 1，3 （点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点M 在直线 y=3x 7 上 （1）求抛物线的解析式； （2）P 为线段 BM 上一点，过点P 向 x 轴引垂线，垂足为Q若点 P 在线段 BM 上运动（点P 不与点 B、M 重 合） ，设 OQ 的长为 t，四边形 PQAC 的面积为S求 S 与 t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围； （3）在线段BM 上是否存在点N，使 NMC 为等腰三角形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理 由 3.4 二次函数难题参考答案： 卓越个性化教学讲义 13 1.解答：解： （1）直线 AC：y=mx+2m （m 0）中， 当 y=0 时， mx+2m=0 ，m（x+2）=0， m 0， x=2； 故 A（ 2，0） ； 过 C 作 CM x 轴于 M； Rt CAM 中，CAB=45 ° ，则 CM=AM ； Rt COM 中， tan COM=2 ，则 CM=2OM ， 故 CM=2OM=2AM ； OA=2 ，则 OM=2， CM=4 ，C（2，4） ， A（ 2，0） ， C（2，4） （2）将点 C 坐标代入直线AC 的解析式中，有： 2m+2m=4 ，m=1， 直线 AC：y=x+2 ； 将 A、C 的坐标代入抛物线的解析式中，有： ， 解得； 抛物线： y=x 2+x2； 故直线 AC 和抛物线的解析式分别为：y=x+2 ，y=x 2+x2 （3）存在满足条件的点D，其坐标为（3，4）或（ 5， 28） ； 理由：假设存在符合条件的点D，则有： CD AB，由于AB CD ，此时四边形ABCD 是梯形； 易知抛物线的对称性为：x=； 由于此时CD x 轴， 故 C、D 关于直线x=对称， 已知 C（2，4） ， 故 D（ 3，4） ； AD BC，显然BC AD ，此时四边形ABCD 是梯形； 易知 B（1，0） ，用待定系数法可求得： 直线 BC：y=4x 4； 由于 AD BC，可设直线AD 的解析式为y=4x+h ， 则有： 4× （ 2） +h=0， 即 h=8； 直线 AD ：y=4x+8； 联立抛物线的解析式可得： ， 解得（舍去）， 故 D（5，28） ； 卓越个性化教学讲义 14 综上所述，存在符合条件的D 点，且坐标为：D（ 3，4）或（ 5，28） 2. 解答： （1）解： D=A、 B、C 三点的坐标分别为（4，O） ， （ 1，O） ， （O，2） （2）证明： BOC COA ， BC0= CAO （3）解：设抛物线的对称轴交x 轴于 M 点，则 M 为 AB 的中点， 且其坐标为（，0） ， BCA=90° ， B、 C、A 三点都在以BA 为直径的0M 上， 又抛物线y=+2 和 M 都关于直线x=对称 c 点关于 x=的对称点D 必在抛物线上，也在 M 上 连接 CD，交直线x=交于 N 点，易知N 点坐标为（，2） ，而 N 为 CD 的中点， D 点坐标为（ 3，2） ， （7 分） 作出 M，则M 将抛物线分成BC 段、 CD 段、 DA 段及 x 轴下方的部分（如图1 所示） 设点 P（x，y）是抛物线上任意一点， 当 P 点在 CD 段（不包括C、D 两点）及在x 轴下方的部分时，P 点均在M 外 当 P 点在M 外时，不失一般性，令P 点在 CD 段， 连接 BP交 OM 于 Q 点，连接 AQ、AP（如图 2） ，则： BQA 是 PAQ 的外角 APQ AQB 又 AB 是 M 的直径AQB90° ， APB90° ， 故当 P 点在 OM 外时， P 点对线段 BA 所张的角为锐角，即APB 为锐角 即当 x 1 或 0x3 或 x4 时，APB 为锐角 故抛物线上存在点P，当点 P 的横坐标x 满足 x 1 或 Ox3 或 x4 时，APB 为锐角（10 分） 3. 卓越个性化教学讲义 15 解答：解： （1） y=x 2 bx5， |OC|=5， |OC|：|OA|=5：1， |OA|=1， 即 A（ 1，0） ， （2 分） 把 A（ 1，0）代入 y=x 2bx5 得 （ 1） 2+b5=0， 解得 b=4， 抛物线的解析式为y=x 24x5； （4 分） （2） 点 C 与点 F 关于对称轴对称，C（0， 5） ，设 F（x0， 5） ， x024x05=5， 解得 x0=0（舍去），或 x0=4， F（4， 5） ， （6 分） 对称轴为x=2， 设直线 AF 的解析式为y=kx+b ， 把 F（4， 5） ，A（ 1，0） ，代入 y=kx+b ， 得， 解得， 所以，直线FA 的解析式为y=x1； （8 分） （3）存在 （9 分） 理由如下：当 FCP=90° 时，点 P 与点 E重合， 点 E 是直线 y=x1 与 y 轴的交点， E（0， 1） ， P（0， 1） ， （10 分） 当 CF 是斜边时，过点C 作 CP AF 于点 P（ x1， x11） ， ECF=90° ，E（0， 1） ，C（0， 5） ，F（4， 5） ， CE=CF， EP=PF， CP=PF， 点 P 在抛物线的对称轴上， （11 分） x1=2， 把 x1=2 代入 y=x 1，得 y=3， P（2， 3） ， 综上所述，直线AF 上存在点P（0， 1）或（ 2， 3）使 CFP 是直角三角形 （12 分） 卓越个性化教学讲义 16 4. 解： （1） 当 x=0 和 x=4 时，y 的值相等， c=16a+4b+c ， （1 分） b=4a， x=2 将 x=3 代入 y=4x16，得 y=4， 将 x=2 代入 y=4x16，得 y=8 （2 分） 设抛物线的解析式为y=a（x2） 28 将点（ 3， 4）代入，得4=a（ x2）2 8， 解得 a=4 抛物线 y=4（x2） 28，即 y=4x216x+8 （3 分） （2）设直线OM 的解析式为y=kx ，将点 M（2， 8）代入，得k=4， y=4x （4 分） 则点 P（t， 4t） ，PQ=4t，而 OC=8，OQ=t S=S COQ+S OPQ= × 8× t+× t× 4t=2t 2+4t（5 分） t 的取值范围为：0t 2（6 分） （3）随着点P 的运动，四边形PQCO 的面积 S 有最大值 从图象可看出，随着点P由 OM 运动， COQ 的面积与 OPQ 的面积在不断增大， 即 S 不断变大，显然当点P 运动到点M 时，S 值最大（ 7 分） 此时 t=2 时，点 Q 在线段 AB 的中点上（ 8 分） 因而 S= × 2× 8+× 2× 8=16 当 t=2 时， OC=MQ=8 ，OC MQ， 四边形 PQCO 是平行四边形 （9 分） （4）随着点P 的运动，存在t=，能满足PO=OC（10 分） 设点 P（t， 4t） ，PQ=4T，OQ=t 由勾股定理，得OP2=（4t）2+t2=17t2 PO=OC， 17t 2=82，t 1= 2，t2=（不合题意） 当 t=时， PO=OC （11 分） 卓越个性化教学讲义 17 5.解答：解： （1）如图，连接BO， OQ BC 与 F， =， BAC= BOQ， BOD=180 ° BOQ， EAD=180 ° BAC ， BOD=EAD ， 又 BDO= EDA （对顶角相等） ， BOD EAD， =， AD ?BD=OD ?DE， 根据相交弦定理AD ?BD=DQ?DP， OD?DE=DQ?DP， 圆的半径为4， OD（OEOD）=（ 4+OD） （4OD） ， 整理得， OD?OE=16， 令 y=0，则 x 2+2mx+m2 9=0， OD、OE 是抛物线与x 轴的交点的横坐标， OD?OE=m 29， m 29=16， 解得 m=± 5， 线段 OD、OE 的长度都是正数， =m0， 解得 m 0， m=5， 抛物线解析式为y=x 210x+16； （2）存在 理由如下：令y=0，则 x210x+16=0， 解得 x1=2，x2=8， 所以，抛物线与x 轴的交点坐标为（2，0） ， （8，0） ， 当直线 l 经过点（ 2，0）时，直线l 平行于 y 轴时，原点到直线l 的距离为 2， 所以，直线l 的解析式为x=2； 当直线 l 经过点（ 8，0）时，如图，设点L（8，0） ， 过点 O 作 OM l 与点 M，过点 M 作 MN x 轴于点 N，则 OM=2 ， OML= MNO=90 ° ， MON= LOM ， OMN OLM ， 卓越个性化教学讲义 18 =， 即=， 解得 ON=， 在 Rt OMN 中， MN=， 设直线 l 的解析式为y=kx+b ， 当点 M 在 x 轴上方时，点M 的坐标为（，） ， 则， 解得， 此时直线l 的解析式为y=x+， 当点 M 在 x 轴下方时，点M 的坐标为（，） ， 则， 解得， 此时直线l 的解析式为y=x， 综上所述，存在直线l：x=2 或 y=x+或 y=x使原点到l 的距离为2 卓越个性化教学讲义 19 6. 解答：解： （1） x10，x20 OA=x 1，OB=x2 x1，x2是方程 x2（ m+3）x+m212=0 的两个实数根 x1+x2=2（m+3） ，x1?x2=2（m212） x2=2x1 联立 ， ， 整理得： m 2+8m+16=0， 解得 m=4 抛物线的解析式为y=x 2+x+4 ； （2）设点 E（x，0） ，则 OE=x ECO 与 CAO 相似， ，x=8 点 E（ 8， 0） 设过 E、C 两点的直线解析式为y=k x+b ， 则有：， 解得 直线 EC 的解析式为y=x+4 抛物线的顶点D（1，） ，当 x=1 时， y= 点 D 在直线 EC 上； （3）存在 t 值，使 S梯形MM' N'N：S QMN=35：12 E（ 8，0） ， × （ 8）+b=0， b=2，y=x+2 x=4（y2） y=4（y2） 2+4（y2） +4， 整理得 8y235y+6=0 ， 设 M（ xm，ym） MM =ym，NN =yn， 卓越个性化教学讲义 20 ym，yn是方程 8y2 35y+6=0 的两个实数根，ym+yn= S梯形= （ym+yn） （xnxm） 点 P 在直线 y=x+2 上，点 Q 在（ 1）中抛物线上， 点 P（t，t+2） 、点 Q（t，t2+t+4） PQ=t2+t+4t2=t2t+2， 分别过 M、N 作直线 PQ 的垂线，垂足为G、H，则 GM=t xm， NH=xnt S QMN=S QMP+S QNP=PQ（xnxm） S梯形MM'N'N：S QMN=35：12， =， 整理得： 2t23t2=0， 解得 t=， t=2 因此当 t=或 t=2 时，S梯形MM'N'N：S QMN=35：12 7. 解答：解： （1） 抛物线的对称轴为直线x=1， b=2 抛物线与y 轴交于点C（0， 3） ， c=3， 卓越个性化教学讲义 21 抛物线的函数表达式为y=x 22x3； （2） 抛物线与x 轴交于 A、B 两点， 当 y=0 时， x22x3=0 x1=1，x2=3 A 点在 B 点左侧， A（ 1，0） ， B（ 3，0） 设过点 B（3，0） 、 C（0， 3）的直线的函数表达式为y=kx+m ， 则， 直线 BC 的函数表达式为y=x3； （3） AB=4 ，PQ=AB， PQ=3 PQ y 轴 PQ x 轴， 则由抛物线的对称性可得PM=， 对称轴是x=1， P 到 y 轴的距离是， 点 P 的横坐标为， P（，） F（0，） ， FC=3OF=3= PQ 垂直平分CE 于点 F， CE=2FC= 点 D 在直线 BC 上， 当 x=1 时， y=2，则 D（1， 2） ， 过点 D 作 DG CE 于点 G， DG=1，CG=1， GE=CECG= 1= 在 Rt EGD 中， tan CED= P1（1， 2） ，P2（1，） 设 OE=a，则 GE=2a， 当 CE 为斜边时，则DG 2=CG?GE，即 1=（OCOG）?（2a） ， 1=1× （2a） ， 卓越个性化教学讲义 22 a=1， CE=2， OF=OE+EF=2 F、P 的纵坐标为2， 把 y=2，代入抛物线的函数表达式为y=x22x3 得： x=1+或 1 点 P 在第三象限 P1（1， 2） ， 当 CD 为斜边时， DE CE， OE=2，CE=1， OF=2.5， P 和 F 的纵坐标为：， 把 y=，代入抛物线的函数表达式为y=x 22x3 得： x=1 ，或 1+， 点 P 在第三象限 P2（1，） 综上所述：满足条件为P1（1， 2） ，P2（1，） 8. 解答： 解： （1）点 B（4，0） ，C（0，3） ，b=， （2） 如图所示，设过点B（4，0） ，C（0，3）的直线CB 的解析式为： y=kx+m ， （k 0） ， ， 解得：， 直线 CB 的解析式为：y=x+3， MN OC， 依据题意得出：N（ t，t+3） ，则 M（t，t2t+3） ， 当 0t4 时，点 M 在点 N 的下方， MN= （t+3）（t2t+3） ， 卓越个性化教学讲义 23 =t2+2t， =（t2）2+2， 当 t=2 时， MN 有最大值2； 依据题意得出： 当 MN=BN 时，点 B 恰好在N 上， 由于 t=0， （点 M，N 重合） ， t=4（点 M，N 和 B 重合）均不符合题意，故舍去， a）当 0t4 时，如图，由 得： MN=t2+2t， 又 MN OCOC OB， MN OB，垂足为T（t，0） ， cos NBT=， （I） 即=， 此时点 N 在点 T 的上方，点T 在点 B 的左边 TB=4t， 代入（ I）式得： NB=（4t） ， 由（4t）=t2+2t， 整理可得： 2t 213t+20=0 ， 解得： t1=4（不合题意舍去） ， t2= ， 故此时点M 的坐标是（，） ； b）当 t 4 时，如图所示，点M 在点 N 的上方， MN=t22t， 此时点 N 在点 T 的下方，点T 在点 B 的右边， TB=t 4， 代入（ I）式，可得：NB=（t4） ， 由（t 4）=t22t， 整理可得： 2t 213t+20=0 ， 解得： t1=4（不合题意舍去） ， t2= （不合题意舍去） 综上所述：符合题意的点M 的坐标为（，） 卓越个性化教学讲义 24 9.解答：解： （1）由题意可知：抛物线的对称轴为x=1 当 x=1 时， y=3x7=4， 因此抛物线的顶点M 的坐标为（ 1， 4） 过 A（ 1，0） ， B（3，0） 设抛物线的解析式为y=a（x1） 2 4， 则有： a（31） 24=0，a=1 则抛物线的解析式为：y=x 22x3 （2）根据（ 1）的抛物线可知：A（ 1，0） 、 B（3，0） 、C（0， 3） ； 易知直线BM 的解析式为y=2x6； 当 x=t 时， y=2t6； PQ=62t； S四边形PQAC=S梯形QPCO+S AOC= × （3+62t）× t+× 3，即 S四边形PQAC=t2+t+（ 1t3） （3）假设存在这样的点N，使 NMC 为等腰三角形 点 N 在 BM 上， 设 N 点坐标为（m， 2m6） ， 则 CM 2=12+12=2， CN2=m2+3 （6 2m） 2， 或 CN2=m2+ （6 2m） 3 2 MN 2=（m1）2+4 （ 62m）2 NMC 为等腰三