圆锥曲线-------尖子生必备。.pdf
圆锥曲线基础训练题集 第 1 页 共 102 页 椭圆基础训练题 1 已知椭圆长半轴与短半轴之比是5： 3， 焦距是 8， 焦点在 x 轴上，则此椭圆的标准方程是（） （A） 5 x 2 3 y 2 1（B） 25 x 2 9 y 2 1 （C） 3 x 2 5 y 2 1 （D） 9 x 2 25 y 2 1 2椭圆 5 x 2 4 y 2 1 的两条准线间的距离是（） （A）52（B）10 （C）15 （ D） 3 50 3以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（） （A） 2 1 （B） 2 2 （C） 2 3 （D） 3 3 4 椭圆 25 x 2 9 y 2 1 上有一点P，它到右准线的距离是 4 9 ，那么 P 点到左准线的距离是（）。 （A） 5 9 （B） 5 16 （C） 4 41 （D） 5 41 5已知椭圆x 22y2m，则下列与 m 无关的是（） （A）焦点坐标（B）准线方程（ C）焦距（D）离心率 6椭圆 mx 2y21 的离心率是 2 3 ，则它的长半轴的长是（） （A）1 （B）1 或 2 （C）2 （D） 2 1 或 1 7椭圆的中心为O，左焦点为F1，P 是椭圆上一点，已知 PF1O 为正三角形，则 P 点到右准 线的距离与长半轴的长之比是（） （A）31 （B）33（C）3（D）1 8若椭圆 m y 12m3 x 22 =1 的准线平行于y 轴，则 m 的取值范围是。 9椭圆的长半轴是短半轴的3 倍，过左焦点倾斜角为30°的弦长为2 则此椭圆的标准方程 是。 10. 椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于 椭圆的焦距，又已知直线2xy4=0 被此椭圆所截得的弦长为 3 54 ，求此椭圆的方程。 11证明：椭圆上任意一点到中心的距离的平方与到两焦点距离的乘积之和为一定值。 12. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e= 3 2 ，长轴长为6，那么椭圆的方程是（）。 （A） 36 x 2 + 20 y 2 =1 （B） 36 x 2 + 20 y 2 =1 或 20 x 2 + 36 y 2 =1 圆锥曲线基础训练题集 第 2 页 共 102 页 （C） 9 x 2 + 5 y 2 =1 （D） 9 x 2 + 5 y 2 =1 或 5 x 2 + 9 y 2 =1 13. 椭圆 25x 216y2=1 的焦点坐标是（ ）。 （A）(±3, 0) （B）(± 3 1 , 0) （C）(± 20 3 , 0) （D）(0, ± 20 3 ) 14. 椭圆 4x 2y2=4 的准线方程是（ ）。 （A）y=3 3 4 x（B） x=3 3 4 y（C）y=3 3 4 （D）x=3 3 4 15. 椭圆 2 2 a x 2 2 b y =1 (ab0)上任意一点到两个焦点的距离分别为d1,d2,焦距为 2c， 若 d1, 2c, d2, 成等差数列则椭圆的离心率为（）。 （A） 1 2 （B） 2 2 （C） 3 2 （D） 3 4 16. 曲线 25 x 2 9 y 2 =1 与曲线 k25 x 2 k9 y 2 =1 (k 2 1 且 m0 （D）m0 36. 与椭圆 2 x 2 5 y 2 =1 共焦点，且经过点P（ 2 3 , 1）的椭圆方程是（）。 （A）x 2 4 y 2 =1 （B） 2 x 2 8 y5 2 =1 （C） 4 x 2 y2=1 （D） 4 x 2 7 y 2 =1 37. 到定点 (7, 0)和定直线x=7 7 16 的距离之比为 4 7 的动点轨迹方程是（）。 （A） 9 x 2 16 y 2 =1 （B） 16 x 2 9 y 2 =1 （C） 8 x 2 y 2=1 （ D） x 2 8 y 2 =1 38. 直线 y=kx2 和椭圆 4 x 2 y 2=1 有且仅有一个公共点，则 k 等于（）。 （A） 3 2 （B）± 3 2 （C） 3 4 （D）± 3 4 39. 过椭圆 x 2 9 y2=1 的一个焦点且倾角为 6 的直线交椭圆于M、N 两点，则 MN等于（）。 （A）8 （ B）4 （C）2 （D）1 40. 如果椭圆 25 x 2 9 y 2 =1 上有一点P，它到左准线的距离为2.5，那么 P 点到右焦点的距离与 到左焦点的距离之比是（）。 （A）3 : 1 （B）4 : 1 （C）15 : 2 （D）5 : 1 41. 如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两条准线的距离与焦距的比是（）。 （A）4 : 1 （B）9 : 1 （C）12 : 1 （D）18 : 1 42. 已知椭圆的两个焦点是F1(2, 0)和 F2(2, 0)，两条准线间的距离等于13，则此椭圆的方程 是。 43. 方程 4x 2my2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，且离心率e= 2 3 , 则 m= 。 44. 椭圆 6 x 2 2 y 2 =1 上一点 P 到左准线的距离等于2，则 P 点到右焦点的距离是。 45. 已 知 直 线y=x m与 椭 圆 16 x 2 9 y 2 =1有 两 个 不 同 的 交 点 ， 则m 的 取 值 范 围 是。 圆锥曲线基础训练题集 第 5 页 共 102 页 46. 椭圆 2 2 m x 2 2 )1m( y =1 的准线平行于x 轴，则 m 的取值范围是。 47. 椭圆 8k x 2 9 y 2 =1 的离心率e= 2 1 , 则 k 的值是。 48. 如果椭圆 25 x 2 9 y 2 =1 上一点 A 到左焦点的距离是4，那么A 到椭圆两条准线的距离分别 是。 49. 如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x 轴上， 且 ac=3, 那么椭圆的方程是。 50. 已知过定点A(4, 0)且平行于y 轴的直线l, 定点 F(1, 0), 设动点 P(x, y)到定点 F 的距离与它 到定直线l的距离之比为1:2，则 P 点的轨迹方程是。 51. 在椭圆 20 x 2 56 y 2 =1 上求一点P，使 P 点和两个焦点的连线互相垂直。 52. 直线l过点 M(1, 1), 与椭圆 16 x 2 4 y 2 =1 交于 P,Q 两点， 已知线段 PQ 的中点横坐标为 2 1 , 求 直线l的方程。 53. 直线 x=3 和椭圆 x 2+9y2=45 交于 M,N 两点，求过 M,N 两点且与直线 x2y+11=0 相切的圆的 方程。 54. 短轴长为5，离心率为 3 2 的椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过 F1作直线交椭圆于A，B 两点，则 ABF2的周长为（）。 （A）24 （B）12 （C）6 （D）3 55. 设 A(2, 3)，椭圆 3x 24y2 =48 的右焦点是F，点 P 在椭圆上移动，当|AP|2|PF|取最 小值时 P 点的坐标是（）。 （A）(0, 23) （ B）(0, 23) （ C）(23, 3) （D）(23, 3) 双曲线基础训练题 1平面F1(5， 0)和 F2(5，0)，动点 P 满足条件 |PF1|PF2|6，则动点P 的 轨迹方程是（）。 （A） 16 x 2 9 y 2 1 (x 4) （ B） 9 x 2 16 y 2 1(x 3) （C） 16 x 2 9 y 2 1 (x4) （D） 9 x 2 16 y 2 1 (x3) 圆锥曲线基础训练题集 第 6 页 共 102 页 2双曲线 36 x 2 49 y 2 1 的渐近线方程是( ) （A） 36 x ± 49 y 0 （B） 36 y ± 49 x 0 （C） 6 x ± 7 y 0 （D） 7 x ± 6 y 0 3双曲线 5 x 2 4 y 2 1 与 5 x 2 4 y 2 k 始终有相同的（） （A）焦点（ B）准线（ C）渐近线（D）离心率 4直线 yx3与曲线 4 y 4 xx 2 =1 的交点的个数是（） （A）0 个（ B）1 个（C）2 个（D） 3个 5双曲线 x 2 ay21 的焦点坐标是（ ） （A）(a1, 0) , (a1, 0) （B） (a1, 0), (a1, 0) （C）（ a a1 , 0）,（ a a1 , 0）（D）( a a1 , 0), ( a a1 , 0) 6一个动圆与两个圆x 2y2=1 和 x2y28x12=0 都外切，则动圆圆心的轨迹是（ ） （A）圆（B）椭圆(C)双曲线的一支(D) 抛物线 7设双曲线1 b y a x 2 2 2 2 (ba0)的半焦距为c，直线 l 过(a, 0)、(0, b)两点，已知原点到直线l 的距离是 4 3 c，则双曲线的离心率是（） （A）2 （ B）3（C）2（D） 3 32 8若双曲线x 2y2=1 右支上一点 P(a, b)到直线 y=x 的距离是 2，则 ab 的值为（ ）。 （A） 2 1 （B） 2 1 （C） 2 1 或 2 1 （ D）2 或 2 9双曲线 9 x 2 7 y 2 1 的离心率是。 10已知方程 k3 x 2 + k2 y 2 =1 表示双曲线，则k 的取值范围是。 11若双曲线 2 2 2 2 k4 y k9 x =1 与圆 x 2y2=1 没有公共点， 则实数 k 的取值范围是 。 12. 双曲线的轴在坐标轴上，虚半轴的长为1，离心率为 2 5 ，求经过点 (0, 3)且与双曲线相切的 直线方程。 圆锥曲线基础训练题集 第 7 页 共 102 页 13经过点 (0, 1)的直线 l 与圆 x 2 y2=r2 相切，与双曲线x2 2y2=r2有两个交点，判断l 能否过 双曲线的右焦点？试求出此时l 的方程；如果不能，请说明理由。 14. 双曲线的两个焦点分别是F1（0， 2）， F2（0，2），点 P（1，0）到此双曲线上的点的 最近距离为 2 5 ，M 是双曲线上的一点，已知F1MF260°，求 F1MF2的面积。 15. 曲线 3sin2 x 2 + 2sin y 2 =1 所表示的图形是（）。 （A）焦点在 x 轴上的椭圆（B）焦点在y 轴上的双曲线 （C）焦点在x 轴上的双曲线（ D）焦点在y 轴上的椭圆 16. 双曲线 4x 2 9 y 2 =1 的渐近线方程是（）。 （A）y=± 3 2 x（B）y=± 6 1 x（C）y=± 2 3 x（D）y=±6x 17. 若双曲线与椭圆x 24y2=64 共焦点，它的一条渐近线方程是 x3y=0，则此双曲线的标 准方程只能是（）。 （A） 36 x 2 12 y 2 =1（B） 36 y 2 12 x 2 =1 （C） 36 x 2 12 y 2 =±1 （D） 36 y 2 12 x 2 =±1 18. 双曲线的两准线之间的距离是 5 32 ，实轴长是8，则此双曲线的标准方程只能是（）。 （A） 16 x 2 9 y 2 =1 （B） 9 x 2 16 y 2 =1 与 9 y 2 16 x 2 =1 （C） 16 y 2 9 x 2 =1 （D） 16 x 2 9 y 2 =1 与 16 y 2 9 x 2 =1 19. 双曲线 16 x 2 25 y 2 =1 的两条渐近线所夹的锐角是（）。 （A）arctg 4 5 （ B） arctg 4 5 （C）2 ar ctg 4 5 （D） 2arctg 4 5 20. 若双曲线的两条准线间的距离等于它的半焦距，则双曲线的离心率为（）。 （A）2（B）2 （C）1 （ D）22 21. 以 F(2, 0)为一个焦点，渐近线是y=±3x 的双曲线方程是（）。 （A）x 2 3 y 2 =1 （B） 3 x 2 y2=1 （ C） 2 x 2 3 y 2 =1 （D） 3 x 2 2 y 2 =1 22. 方程 m3 x 2 2m y 2 =1 表示双曲线，则m 的取值范围是（）。 （A）m3 （C）m3 （ D） 25 （D）m5 43. 设 F1和 F2是双曲线 4 x 2 y2=1 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且满足F1PF290°， 则 F1PF2的面积是（）。 （A）1 （ B） 2 5 （C）2 （ D）5 44. 已知双曲线的两个焦点是椭圆 10 x 2 32 y5 2 =1 的两个顶点，双曲线的两条准线分别通过椭圆 的两个焦点，则此双曲线的方程是（）。 （A） 6 x 2 4 y 2 =1 （B） 4 x 2 6 y 2 =1 （C） 5 x 2 3 y 2 =1 （D） 3 x 2 5 y 2 =1 45. 已知 |0)上求一点 N， （I）使它到点M(0, ka) (k0，k为定值 )的距离最小； （II） 当 a 变化时，求N 点的轨迹。 14. 抛物线 y 2=10x 的焦点到准线的距离是（ ）。 （A）2.5 （B）5 （C）7.5 （D）10 15. 过点 F(0, 3)且和直线y3=0 相切的动圆圆心的轨迹方程是（）。 （A）y 2=12x （B） y2=12x （ C）x2=12y （D）x2=12y 16. 已知点 P(4, m)是抛物线y 2=2px (p0)上一点， F 是抛物线焦点，且 PF 5，则抛物线方 程是（）。 （A）y 2=x （ B）y2=4x （C） y2=2x （D）y2=8x 17. 动点 P 到直线 x4=0 的距离比到定点M(2, 0)的距离大2，则点 P 的轨迹是（）。 （A）直线（B）圆（C）抛物线（D）双曲线 圆锥曲线基础训练题集 第 12 页 共 102 页 18. 抛物线 y= 8 x 2 的准线方程是（）。 （A）y= 32 1 （B）y=2 （C）y= 4 1 （D）y=4 19. 若 P1(x1 ,y1), P2(x2, y2)是抛物线y 2=2px (p0)上不同的两点，则“ y1y2=p 2”是“直线 P1P2 过抛物线焦点F”的（）条件。 （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充要条件（D）不充分不必要条件 20. “直线l平行于抛物线的对称轴”是“直线l与抛物线仅有一个交点”的（）条件。 （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充要条件（D）不充分不必要条件 21. 抛物线的焦点在x 轴上，准线方程是x= 4 1 ，则抛物线的标准方程是（）。 （A）y 2=x （ B）y2=x （C）y2= 2 x （D）y 2= 2 x 22. 已知抛物线的顶点为(1, 1)，准线方程为xy=0,则其焦点坐标为（）。 （A）( 2 1 , 2 1 ) （B）( 2 1 , 2 1 ) （C）( 2 1 , 2 1 ) （D）( 2 1 , 2 1 ) 23. 经过抛物线y 2=2px (p0)的焦点作一条直线 l交抛物线于A(x1 ,y1)、B(x2, y2)，则 21 21 xx yy 的值 为（）。 （A）4 （ B） 4 （ C）p 2 （D） p 2 24. 抛物线 x 2=4y 上一点 P 到焦点 F 的距离为 3，则 P 点的纵坐标为（）。 （A）3 （ B）2 （C） 2 5 （D） 2 25. 不论 取任何实数，方程2x 2cosy2=1 所表示的曲线一定不是（ ）。 （A）椭圆（B）双曲线（C）抛物线（ D）圆 26. 过抛物线 y 2=4x 的顶点 O 作互相垂直的两弦 OM、 ON， 则 M、 N 的横坐标 x1与 x2之积为 （ ） 。 （A）4 （ B）16 （C）32 （D）64 27. 若抛物线y 2=2px 上横坐标为 6 的点的焦半径为10，则顶点到准线的距离为（）。 （A）1 （ B）2 （C）4 （D）8 28. 如果抛物线的顶点为原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x4y12=0 上，那么抛物线的方 程是（）。 （A）y 2=16x （B）y2 =12x （ C）y 2=16x （D）y2=12x 29. 圆心在抛物线y 2=2x 上，且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）。 （A）(x 2 1 ) 2(y1)2= 2 3 （B）(x 2 1 ) 2(y1)2 = 4 1 圆锥曲线基础训练题集 第 13 页 共 102 页 （C）(x 2 1 ) 2(y1)2= 4 1 （ D）(x 2 1 ) 2 (y1)2=1 30. 过抛物线y 2=4x 的焦点， 作直线与抛物线相交于两点 P 和 Q，那么弦 PQ 中点的轨迹方程是 （）。 （A）y 2=2x1 （B）y2=2x1 （C）y2=2x2 （D）y2=2x2 31. 与圆 (x1) 2y2 =1 外切且与y 轴相切的动圆的圆心轨迹方程为（）。 （A）y 2=4x (x0) （C）y 2=4x (x0) （D）y 2=2x 1 (x0)的焦点为 F，以 F 为圆心，p 为直径作圆， 则圆与抛物线的公共点（）。 （A）只有 (0, 0) （B）有 3 个，且横坐标都小于 2 p （C）有 3 个，且只有2 点的横坐标小于 2 p （D）以上 3 种情况均有可能 34.已 知 点 ( 2, 3) 与 抛 物 线y 2=2px (p0) 的 焦 点 的 距 离 是5 ， 则 抛 物 线 的 方 程 是。 35. 已 知 圆 (x 3) 2 y 2=16 与 抛 物 线y 2=2px (p0) 的 准 线 相 切 ， 则 抛 物 线 的 方 程 是。 36. 点P 在抛物线y 2=x 上运动，点 Q 与点P 关于点 (1, 1)对称，则点Q 的轨迹方程 是。 37. 若抛物线的顶点是双曲线x 2 3 y 2 =1 的中心，且准线与双曲线的右准线重合，则抛物线的 焦点坐标为。 38. 已知点 P 是抛物线y 2=16x 上的一点，它到对称轴的距离为 12，则 |PF|。 39. 抛物线 y 2=4x 上的点 P 到焦点的距离为 5，则 P 点的坐标为。 40. 抛物线 y 2=4x 与椭圆 x22y2=20 的公共弦长是 。 41. 抛物线 y 2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴，且 |AB|4 3，则焦点到AB 的距离为。 42. 设抛物线y=ax 2 (a0)和直线 y=kxb (k0)有两个交点， 其横坐标分别为x1, x2， 而直线 y=kx b (k0)与 x轴的交点横坐标为x3，则 x1, x2, x3之间的关系是。 43. 若 AB 为抛物线y 2=2px (p0)的焦点弦， l是抛物线的准线，则以 AB 为直径的圆与l的公共 点的个数是。 44. 已知抛物线y 2=6x 过点 P(4, 2)的弦的两个端点作点 P 被平分，求这条弦所在直线方程。 45. 抛物线 y=ax 2 (a0)的焦点弦，且 A1, B1分别为 A, B 在准线上的射影，则 A1FB1 等于（）。 （A）90°（B）60°（C）45°（D）30° 51. 抛物线 y 2=8x 中，以 (1, 1)为中点的弦的方程是（ ）。 （A）x4y 3=0 （B） x4y3=0 （ C）4xy3=0 （D）4x y3=0 52. 点 M 到直线 y5=0 的距离跟它到点F(0, 4)的距离之差等于1，则点 M 的轨迹是（）。 （A）直线（B）抛物线（C）双曲线（ D）椭圆 53. 以抛物线x=5y 2 与圆 x2y22x=0 的交点为顶点的多边形面积为（）。 （A） 5 9 （B） 5 27 （C） 25 9 （D） 25 27 54. 抛物线 y=4x 2 的准线方程是（）。 （A）x=1 （B）y=1 （C）x= 16 1 （D）y= 16 1 55. 动点 P(x, y)与两个定点 (1, 0), (1, 0)的连线的斜率之积为a，则 P 点的轨迹一定不是 （）。 （A）圆（ B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线 56. 过抛物线y 2=8x 上一点 P(2, 4)与抛物线仅有一个公共点的直线有（ ）。 （A）1 条（B）2 条（C） 3 条（D）1 条或 3 条 57. 已知抛物线x 2=4y 的焦点 F 和点 A(1, 8)，点 P 为抛物线上一点，则 |PA|PF|的最小值为 （）。 （A）16 （ B）6 （C）12 （D）9 58. 抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且点(5, 25)在抛物线上，则抛物线的方程为 （）。 （A）y 2=4x （B）x 2= 5y（C）y 2=4x 或 x2= 2 55 y （D）x 2=4y 59. 已知双曲线y 2x2=1 与抛物线 y 2=(k1)x 有两个不同的交点， 则实数 k 的取值范围为 （ ） 。 圆锥曲线基础训练题集 第 15 页 共 102 页 （A）k= 1或 3 （B） k=1 或 k=3 （C） 13 60. 若动圆与定圆 (x2) 2y2=4 相外切，且与直线 x=2 相切，则动圆的圆心轨迹方程为（）。 （A）y 2=12(x1) （B）y 2=12(x1) （C）y 2 =8x（D）y 2=8x 61. 抛物线 y 2=2px 的内接 AOB 的重心恰是抛物线的焦点，则 AB 所在的直线方程是（）。 （A）x=2p（B）x= 4 3 p（C）x=3p（D）x=4p 62. 若 AB 为抛物线y 2=2px (p0)的动弦，且 |AB|=a (ap)，则 AB 的中点 M 到 y 轴的最近距离 是（）。 （A） 2 1 a（B） 2 1 p（C） 2 1 a 2 1 p（D） 2 1 a 2 1 p 63. PQ 为经过抛物线y 2 =2px (p0)的焦点的任意一条弦，MN 为 PQ 在准线上的射影，PQ 绕准 线旋转一周所得的旋转面面积为S1， 以 MN 为直径的球面面积为S2， 则下列结论正确的是 （） 。 （A）S1S2（D）不确定 64. 抛物线 y=4x 2 上的点到直线y=4x 5 的最近距离是。 65. 抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且焦点在直线x y2=0 上，则抛物线的方程 是。 66. 抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，且被直线y=2x1 截得的弦长为15，则抛物线的 方程为。 67. 抛物线 y 2=2x与圆 (xa)2y2=4 有且仅有两个公共点， 则 a的取值范围是 。 68. 过抛物线y 2=2px (p0)的对称轴上一点 C(p, 0)引一条直线与抛物线交于A、B 两点且 A 点的 纵坐标为 2 1 p，则 B 点的纵坐标为。 69. 直线 x 2y2=0 与抛物线x=2y 2 交于 A、B 两点， F 是抛物线的焦点，则ABF 的面积 为。 70. 顶 点 在 坐 标 原 点 ， 焦 点 为 曲 线y=2 1x 与 坐 标 轴 的 交 点 的 抛 物 线 方 程 是。 71. 抛物线方程为Ax 2By=0 (AB0)，则焦点坐标为 。 72. 如果抛物线y 2=px (p0)和圆 (x2)2y2=3 在 x 轴上方相交于 A、B 两点， 且弦 AB 的中点 M 在直线 y=x 上，求抛物线的方程。 73. 抛物线 x 2=4y 上有一点 Q 到焦点的距离为3，那么 Q 点的纵坐标是（）。 （A） 2 （B）2 （ C）4 （D）1 圆锥曲线基础训练题集 第 16 页 共 102 页 攻克圆锥曲线解答题的策略 摘要: 为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题，提高成绩，战胜高考，可 从四个方面着手：知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。 关键词：知识储备方法储备思维训练强化训练 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 倾斜角与斜率tan,0,)k 点到直线的距离 00 22 AxByC d AB 夹角公式： 21 21 tan 1 kk k k （3）弦长公式 直线ykxb上两点 1122 (,),(,)A x yB xy间的距离： 2 12 1ABkxx 22 1212 (1)()4kxxx x或 122 1 1AByy k （4）两条直线的位置关系 1212 llk k=-1 212121 /bbkkll且 2、圆锥曲线方程及性质 (1) 、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程： 22 1(0,0) xy mnmn mn 且 距离式方程： 2222 ()()2xcyxcya 参数方程：cos ,sinxayb (2) 、双曲线的方程的形式有两种 圆锥曲线基础训练题集 第 17 页 共 102 页 标准方程： 22 1(0) xy m n mn 距离式方程： 2222 |()()|2xcyxcya (3) 、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ 22 22 2 bb p aa 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4) 、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如 ： 已 知 21 FF 、是 椭 圆1 34 22 yx 的 两 个 焦 点 ， 平 面 内 一 个 动 点 M 满 足 2 21 MFMF则动点 M的轨迹是（） A、双曲线； B、双曲线的一支； C、两条射线； D、一条射线 (5) 、焦点三角形面积公式： 12 2 tan 2 F PF Pb在椭圆上时，S 12 2 cot 2 F PF Pb在双曲线上时，S （其中 222 12 121212 12 |4 ,cos,|cos | | PFPFc F PFPFPFPFPF PFPF ） (6) 、记住焦半径公式： （1） 00 ;xaexaey椭圆焦点在轴上时为焦点在 y轴上时为， 可简记为“左加右减，上加下减”。 （2） 0 |xe xa双曲线焦点在轴上时为 （3） 11 |,| 22 pp xxy抛物线焦点在轴上时为焦点在 y轴上时为 (6) 、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设 11, y xA、 22, y xB，baM,为椭圆1 34 22 yx 的弦 AB中点则有 1 34 2 1 2 1 yx ，1 34 2 2 2 2 yx ；两式相减得0 34 2 2 2 1 2 2 2 1 yyxx 圆锥曲线基础训练题集 第 18 页 共 102 页 34 21212121yyyyxxxx AB k= b a 4 3 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程， 并且与曲线的方程联立， 消去一个未知数， 得到一个二次方程， 使用判别式0 ，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点 1122 (,),(,)A xyB xy，将这两点代入曲线方程得到 12 两个式子，然后 1 -2 ，整 体消元，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个， 比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则 寻找坐标之间的关系， 根与系数的关系结合消元处理。 一旦设直线为ykxb， 就意味着 k 存在。 例 1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆8054 22 yx上，且点 A是椭圆短轴的一个端点 （点 A在 y 轴正半轴上） . （1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程 ; （2）若角 A为 0 90，AD垂直 BC于 D，试求点D的轨迹方程 . 分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直 线BC的 方 程。 第 二 问 抓 住角A为 0 90可 得 出AB AC ， 从而 得 016)(14 212121 yyyyxx，然后利用联立消元法及交轨法求出点 D的轨迹方程； 解： （1） 设 B （ 1 x, 1 y） ,C( 2 x, 2 y),中点为 ( 00, y x),F(2,0)则有1 1620 , 1 1620 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx 两式作差有0 16 )( 20 )( 21212121 yyyyxxxx 0 45 00 kyx (1) F(2,0) 为三角形重心，所以由2 3 21 xx ，得3 0 x，由0 3 4 21 yy 得2 0 y，代入 （1）得 5 6 k 直线 BC的方程为02856yx 2) 由 AB AC得016)(14 212121 yyyyxx（2） 圆锥曲线基础训练题集 第 19 页 共 102 页 设直线 BC方程为8054, 22 yxbkxy代入，得080510)54( 222 bbkxxk 2 21 54 10 k kb xx， 2 2 21 54 805 k b xx 2 22 21 2 21 54 804 , 54 8 k kb yy k k yy代入（ 2）式得 0 54 16329 2 2 k bb ，解得)(4 舍b或 9 4 b 直线过定点（0，) 9 4 ，设 D（x,y ），则1 4 9 4 x y x y ，即0163299 22 yxy 所以所求点D的轨迹方程是)4() 9 20 () 9 16 ( 222 yyx。 4、设而不求法 例 2、如图，已知梯形 ABCD 中CDAB2，点 E分有向线段AC所成的比 为，双曲线过 C、D、E三点，且以 A、B为焦点当 4 3 3 2 时，求双曲 线离心率e的取值范围。 分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、 运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy，如图，若 设 Ch c , 2 ，代 入1 2 2 2 2 b y a x ， 求得h， 进 而求 得, EE xy再 代入 1 2 2 2 2 b y a x ，建立目标函数( , , ,)0f a b c，整理( ,)0f e，此运算量可见是难上 加难. 我们对 h可采取设而不求的解题策略, 建立目标函数( , , ,)0f a b c，整理( ,)0f e, 化繁为简 . 解法一：如图，以 AB为垂直平分线为y轴，直线 AB为x轴，建立直角坐标系 xOy，则 CD y轴因为双曲线经过点C、D，且以 A、B为焦点，由双曲线的对称性 知 C 、D关于y轴对称 圆锥曲线基础训练题集 第 20 页 共 102 页 依题意，记A0, c，Ch c , 2 ，E 00, y x，其中| 2 1 ABc为双 曲线的半焦距，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得 12 2 1 2 0 c c c x， 1 0 h y 设双曲线的方程为1 2 2 2 2 b y a x ，则离心率 a c e 由点 C 、E在双曲线上，将点C、E的坐标和 a c e代入双曲线方程得 1 4 2 22 b he ， 1 11 2 4 2 22 b he 由式得1 4 2 2 2 e b h ， 将式代入式，整理得 2144 4 2 e ， 故 1 3 1 2 e 由题设 4 3 3 2 得， 4 3 2 3 1 3 2 2 e 解得107e 所以双曲线的离心率的取值范围为10,7 分析：考虑,AEAC为焦半径 , 可用焦半径公式 , ,AEAC用,E C的横坐标表示， 回避 h的计算 , 达到设而不求的解题策略 解法二：建系同解法一，, EC AEaexACaex， 圆锥曲线基础训练题集 第 21 页 共 102 页 2 2 121 E c c c x， 又 1 AE AC ， 代 入 整 理 1 3 1 2 e ，由 题 设 4 3 3 2 得， 4 3 2 3 1 3 2 2 e 解得107e 所以双曲线的离心率的取值范围为10,7 5、判别式法 例 3 已知双曲线 1 22 : 22 xy C ，直线 l 过点0 ,2A，斜率为 k ，当10k时， 双曲线的上支上有且仅有一点B到直线 l 的距离为2，试求 k 的值及此时点 B的坐 标。 分析 1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合 必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图， 不难想到：过点B 作与l平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式 是所构造方程的判别式0. 由此出发，可设计如下解题思路： 10)2(:kxkyl kkkxyl22 2 2: ' 的值解得 k 解题过程略 . 分析 2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓 “有且仅有一点B到直线 l 的距离为2”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计 出如下解题思路： 把直线 l 的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式 0 直线 l 在 l 的上方且到直线l 的距离为2 转化为一元二次方程根的问题 求解 问题 关于 x 的方程102 1 22 2 2 k k kxkx 有唯一 圆锥曲线基础训练题集 第 22 页 共 102 页 简解：设点)2,( 2 xxM为双曲线 C上支上任一点，则点M到直线 l 的距离为： 2 1 22 2 2 k kxkx 10k 于是，问题即可转化为如上关于x的方程 . 由于10k，所以kxxx 2 2，从而有 .2222 22 kxkxkxkx 于是关于 x的方程 )1(222 22 kkxkx 02) 1(2 ,)2) 1(2(2 2 22 2 2 kxkk kxkkx .02) 1(2 ,022)1(22)1(221 2 2 2222 kxkk kkxkkkxk 由10k可知： 方程022)1(22) 1(221 2 2222 kkxkkkxk的二根同正， 故 02) 1(2 2 kxkk恒成立，于是等价于 022) 1(22)1(221 2 2222 kkxkkkxk. 由如上关于 x的方程有唯一解，得其判别式0，就可解得 5 52 k. 点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整 体思维的优越性 . 例 4 已知椭圆 C:xy 22 28和点 P（4，1），过 P作直线交椭圆于A、B两点， 在线段 AB上取点 Q ，使 AP PB AQ QB ，求动点 Q的轨迹所在曲线的方程 . 圆锥曲线基础训练题集 第 23 页 共 102 页 分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入 手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后 想方设法将点 Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的. 由于点),(yxQ的变化是由直线 AB的变化引起的，自然可选择直线 AB的斜率 k 作 为参数，如何将yx,与 k 联系起来？一方面利用点Q在直线 AB上；另一方面就是运 用题目条件： AP PB AQ QB 来转化 . 由 A、 B、 P、 Q四点共线，不难得到 )(8 2)(4 BA BABA xx xxxx x ， 要建立 x与 k的关系，只需将直线 AB的方程代入椭圆 C的方程，利用韦达定理即可 . 通过这样的分析，可以看出， 虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题， 已经做到心中有数 . 在得到kfx之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得 到关于yx,的方程 （不含 k） ， 则可由1)4(xky解得 4 1 x y k， 直接代入kfx 即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。 简解：设),(),(, 2211 yxQyxByxA，则由 QB AQ P
