最新数学中考复习专题直角三角形.pdf

格式 专业资料 . 2017-2018 中考数学复习专题 -直角三角形 一选择题（每小题3 分，共计36 分） 1直角三角形的两个锐角平分线的夹角是（） A45°B135°C45° 或 135°D由两个锐角的大小决定 2直角三角形三边的长分别为3、 4、 x，则 x 可能取的值为（） A5 BC 5 或D不能确定 3如图，在ABC 中，ACB=90 ° ，CD 是高， A=30 ° ，AB=4 ，则下列结论中不正确的是（） ABC=2 BBD=1 C AD=3 D CD=2 4将一副三角板按如图所示方式放置，则1 与2 的和是（） A60°B 45°C30°D 25° 第 3 题图第 4 题图第 5 题图 5如图， ABC 中， ACB=90 ° ，沿 CD 折叠 CBD，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处， 若 A=25 ° ，则 BDC 等于（） A44°B 60°C 67°D 70° 6如图，在 ABC 中，BD AC 于点D，点 E 为 AB 的中点，AD=6 ， DE=5 ，则线段BD 的 长为（） A5 B 6 C8 D 10 7如图， ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 上一点，DE AC 于点E， DFBC 于点 F， AC=4 ，则 EF 的最小值是（） A4 B4 C2 D 2 第 6 题图第 7 题图第 8 题图 . 格式 专业资料 . 8如图， ABC 中， AB=AC ，BAC=90 °， P 为 BC 中点， EPF=90 ° ，给出四个结论： B= BAP ； AE=CF ； PE=PF ； S ABC，其中成立的有（ ） 四边形 AEPF= S A4 个B 3 个C 2 个D 1 个 9下列条件： （1）A+B= C，（2）A：B：C=1： 2：3，（3）A=90 ° B，（4） A= B= C 中，其中能确定 ABC 是直角三角形的条件有（）个 A1 B 2 C 3 D 4 10如图，以直角三角形a、b、c 为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方 形，上述四种情况的面积关系满 足S1+S2=S3 图形个数有（） A1 B2 C 3 D 4 11如图， OP=1 ，过点P 作 PP1 OP 且 PP1=1，得 OP1= ；再过点P1 作 P1P2OP1 且 P1P2=1 得 OP 2= ；又过点P2 作 P2P3 OP2 且 P2P3=1，得 OP3=2?依此法继续作下去，得OP2017= ABCD 12如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标 记为S1，以CD 为斜边作等腰直角三角形， 以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，?按照此规律 继 续下去，则 S2016 的值为（） 2013 B （） 2014 C （） 2013 D （） 2014 A （） 第 11 题图第 12 题图 WORD 格式 专业资料 . 格式 专业资料 . 2017-2018 中考数学复习 专题 -直角三角形 题号12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二填空题（每小 题4 分，共计 24 分） 13如图， AOE= BOE=15 °， EF OB， EC OB，若 EC=2 ，则 EF= 14如图， ABC 中， AB=AC ， D 为 AB 中点，E 在 AC 上，且BE AC，若 DE=5 ， AE=8 ，则 BC 的长度为 第 13 题图第 14 题图第 15 题图 15如图，在 ABC 中， AB=AC=10 ， BC=12 ， BD 是高，则BD 的长为 16如图所示的一块地，已知ADC=90 °， AD=12m ，CD=9m ，AB=25m ，BC=20m ，则这块地 的面积为m 2 17如图，长方体的长为15cm ，宽为 10cm ，高为20cm ，点B 距离 C 点 5cm ，一只蚂蚁 如 果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B，徐亚爬行的最短距离是cm 第 16 题图第 17 题图 18观察一下几组勾股数，并寻找 规律： 3， 4， 5； 5， 12， 13； 7， 24， 25； 9， 40， 41；? 请你写出有以上规律的第组勾股数： ，第 n （ n 为正整数） 组勾股数： . 格式 专业资料 . 三解答题（共7 小题，共计60 分） 19（8 分）如图，在 ABCC 中， ACB=90 ° ，CD AB，AF 是角平分线，交CD 于点 E 求证： 1= 2 20（8 分）已知：如图，在ABC 中， C=90 ° ，B=30 ° ，AB 的垂直平分线交BC 于 D，垂 足为E， BD=4cm 求 AC 的长 21（8 分）如图，在四边形ABCD 中， ABC= ADC=90 ° ，M 、 N 分别是AC、 BD 的中点， 求证：（1） MD=MB ； （2） MN 平分 DMB . 格式 专业资料 . 22（8 分）如图，已知长方形ABCD 中 AB=8cm ， BC=10cm ，在边CD 上取一点E，将 ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F，求CE 的长 23 （ 8 分）如图，已知 ABC 中， ABAC ，BE、CF 都是 ABC 的高， P 是 BE 上一点且BP=AC ， Q 是 CF 延长线上一点且CQ=AB ，连接AP、 AQ、QP，判断 APQ 的形状 . 格式 专业资料 . 24（10 分）如图： ABC 中，BAC=90 °， AB=AC ，点D 是斜边BC 的中点 （1）如图1，若 E、F 分别是AB、AC 上的点，且AE=CF 求证： AED CFD ；DEF 为等腰直角三角形 （2）如图2，点F、 E 分别D 在 CA、 AB 的延长线上，且AE=CF ，猜想 DEF 是否为等腰直 角三角形？如果是请给出证明 25（10 分）已知 MAN ，AC 平分MAN （1）在图1 中，若 MAN=12 °0 ，ABC= ADC=9 °0 ，求证：AB+AD=AC ； （2）在图2 中，若 MAN=12 °0 ，ABC+ ADC=18 °0 ，则（ 1）中的结论是否仍然成立？若 成立，请给出证明；若不成立，请说 明理由 . 格式 专业资料 . 中考专题-直角三角形 参考答案与试题解析 一选择题（共12 小题） 1直角三角形的两个锐角平分线的夹角是（） A45°B135° C45° 或 135° D由两个锐角的大小决定 【解答】 解：如图， ACB=9 °0，OA、OB 分别平分 BAC 和ABC， OA、OB 分别平分 BAC 和ABC， OAB= BAC，OBA= ABC， OAB+OBA= （BAC+ABC） ， C=90° ， BAC+ABC=9 °0， OAB+OBA=4 °5， AOB=18 °045° =135° ， 直角三角形的两个锐角平分线的夹角是135° 或 45° 故选 C 2直角三角形三边的长分别为3、4、x，则 x 可能取的值为（） A5 BC 5 或D不能确定 【解答】 解：当 x 为斜边时， x= =5； 当 4 为斜边时，x= = . 格式 专业资料 . x 的值为 5 或； 故选： C 3如图，在 ABC 中，ACB=90 ° ，CD 是高，A=30° ，AB=4，则下列结论中不 正确的是（） ABC=2 BBD=1 CAD=3 DCD=2 【解答】 解：ACB=9°0，A=30° ， BC= AB=2， CDAB， CDAB，即 CD2， 则 CD=2 错误， 故选： D 4将一副三角板按如图所示方式放置，则1 与2 的和是（） A60°B45°C 30°D25° 【解答】 解：图中是一副直角三角板， B=ACB=4 °5，BAC=EDF=90 ° ，E=30° ，F=60° ， BCA+BAC=4 °5+90° =135° EDF=90 ° ， DCA+DAC=9 °0， 1+ 2=（BCA+ BAC）（ DCA+DAC）=135° 90° =45° 故选 B . 格式 专业资料 . 5如图， ABC 中，ACB=90 ° ，沿 CD 折叠CBD，使点 B 恰好落在AC 边上的 点 E 处，若 A=25° ，则BDC 等于（） A44°B60°C 67°D70° 【解答】 解：ABC 中，ACB=9 °0，A=25° ， B=90° A=65° ， 由折叠的性质可得： CED= B=65° ，BDC=EDC， ADE=CEDA=40° ， BDC= （180° ADE）=70° 故选 D 6如图，在 ABC 中，BDAC 于点 D，点 E 为 AB 的中点， AD=6，DE=5，则线 段 BD 的长为（） A5 B6 C 8 D10 【解答】 解：BDAC 于 D，点 E 为 AB 的中点， AB=2DE=2 ×5=10， 在 RtABD 中， BD= =8 . 格式 专业资料 . 故选 C 7如图， ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边 AB 上一点， DEAC 于点 E， DFBC 于点 F，AC=4，则 EF 的最小值是（） A4 B4 C 2 D2 【解答】 解：连接DC DEAC，DFBC， DEC=DFC=C=90° ； 又ACB=9°0， 四边形 ECFD 是矩形， EF=DC ， 当 DC 最小时， EF 也最小， 即当 CDAB 时，PC 最小， AC=BC= ，4 AB=4 ， AC?BC= AB?DC ， DC=2 线段 EF 长的最小值为2 ； 故选 C 8如图， ABC 中，AB=AC ，BAC=90 ° ，P 为 BC 中点，EPF=90 ° ，给出四个 . 格式 专业资料 . 结论： B= BAP；AE=CF；PE=PF ；S四边形AEPF= SABC，其中成立的有（ ） A4 个 B3 个 C 2 个 D1 个 【解答】 解：AB=AC ， BAC=9 °0， P 为 BC 中点， 正确； B= PAC=4 °5 BPE+ EPA=90 ° ， EPA+ APF=90 ° BPE= APF，又 AP 为公共边， PBEPAF， BE=AF ，又 AB=AC ， AE=CF ， 正确； 中，PBE PAF，PE=PF ， 正确， PFCPEA， PBEPAF， 也正确 所以 都正确，故选 A 9下列条件：（ 1）A+ B= C，（2） A： B： C=1：2：3，（3） A=90° B， （ 4） A= B= C 中，其中能确定 ABC 是直角三角形的条件有（） 个 A1 B2 C 3 D4 【解答】 解：A 是，因为根据三角形内角和定理可求出C=90° ，所以是直角三 角形； B 是，因为根据三角形内角和定理可求出三个角分 别为30°， 60°， 90° ，所以是直 角三角形； C 是，因为由题意得 C=90° ，所以是直角三角形； D 是，因为根据三角形内角和定理可求出C=90° ，所以是直角三角形 故选D 10如图，以直角三角形a、b、c 为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三 角形和正方形，上述四种情况的面积关系满 足 S1+S2=S3 图形个数有（） . 格式 专业资料 . A1 B2 C 3 D4 【解答】 解：（1）S1= a 2，S 2= b 2，S 3= c2， a 2+b2=c2， a2+ b 2= c 2， S1+S2=S3 （2） S 1= a 2，S 2= b 2，S 3= c 2， a 2+b2=c2， a2+ b2= c2， S1+S2=S3 （3） S1= a 2，S 2= b 2，S 3= c2， a 2+b2=c2， a2+ b 2= c2， S1+S2=S3 （4） S1=a 2，S 2=b2，S3=c 2， a 2+b2=c2， S1+S2=S3 综上，可得 面积关系满足S1+S2=S3 图形有 4 个 . 格式 专业资料 . 故选： D 11如图， OP=1，过点P 作 PP1 OP 且 PP1=1，得 OP1= ；再过点 P1 作 P1P2 OP1 且 P1P2=1，得 OP2= ；又过点P2 作 P2P3 OP2 且 P2P3=1，得 OP3=2? 依此法 继续作下去，得OP2017=（） ABCD 【解答】 解：OP=1，OP1= ，OP2= ，OP3= =2， OP4= = ， ? ， OP2017= 故选： D 12如图，正方形ABCD 的边长为 2，其面积 标记为S1，以 CD 为斜边作等腰直 角三角形， 以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S2，? 按照此规律继续下去，则 S2016 的值为（） 2013 B （） 2014 C （） 2013 D （） 2014 A （） 【解答】 解：在图中标上字 母 E，如图所示 正方形ABCD 的边长为 2，CDE 为等腰直角三角形， DE2+CE 2=CD2，DE=CE ， S2+S2=S1 2=4，S 2= S1=2，S3= S2=1，S4= S3= ，? ， 观察，发现 规律： S1=2 WORD 格式 专业资料 . 格式 专业资料 . Sn= 当 n=2016 时，S2016= = 故选 C 二填空题（共6 小题） 13如图， AOE=BOE=15 ° ，EFOB，ECOB，若 EC=2，则 EF= 4 【解答】 解：作 EG OA 于 G，如图所示： EFOB，AOE=BOE=1 °5 OEF=COE=1 °5，EG=CE= ，2 AOE=1°5， EFG=1°5+1 5° =30° ， EF=2EG= 4 故答案为： 4 14如图， ABC 中，AB=AC ，D 为 AB 中点， E 在 AC 上，且 BEAC，若 DE=5 ， AE=8，则 BC 的长度为2 . 格式 专业资料 . 【解答】 解：BEAC， AEB=90 ° ， D 为 AB 中点， AB=2DE=2 ×5=10， AE=8， BE= =6 BC= = =2 ， 故答案为： 2 15如图，在 ABC 中，AB=AC=10 ，BC=12 ，BD 是高，则BD 的长为9.6 【解答】 解：设 AD=x， 由勾股定理得，AB 2AD2=BC2CD2， 即 102x2=12 2（10 x）2， 解得， x=2.8， BD= =9.6， 故答案为： 9.6 16如图所示的一块地，已知ADC=90 ° ，AD=12m ，CD=9m ，AB=25m ，BC=20m ， 则这块地的面积为96 m 2 . 格式 专业资料 . 【解答】 解：如图，连接AC 在ACD 中，AD=12m ，CD=9m ，ADC=9 °0， AC=15m ， 又AC 2+B C2=152+202=252=AB2， ABC 是直角三角形， 这块地的面积=ABC 的面积 ACD 的面积 = ×15×20×9×12=96 （平 方米） 故答案为： 96 17如图，长方体的长为15cm，宽为 10cm，高为 20cm，点 B 距离 C 点 5cm， 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点 B，徐亚爬行的最短距离是25 cm 【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个 长方形，如第1 个图： 长方体的宽为10，高为 20，点 B 离点 C 的距离是5， BD=CD+BC=10+5=15，AD=20 ， 在直角三角形ABD 中，根据勾股定理得： AB= ； . 格式 专业资料 . 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第 2 个图： 长方体的宽为10，高为 20，点 B 离点 C 的距离是5， BD=CD+BC=20+5=25，AD=10 ， 在直角三角形ABD 中，根据勾股定理得： AB= ； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第 3 个图： 长方体的宽为10，高为 20，点 B 离点 C 的距离是5， AC=CD+AD=20+10=30， 在直角三角形ABC 中，根据勾股定理得： AB= ； 255 ， 蚂蚁爬行的最短距离是25 故答案为： 25 . 格式 专业资料 . 18观察一下几组勾股数，并寻找规律： 3， 4，5； 5， 12，13； 7， 24，25； 9， 40，41；? 请你写出有以上规律的第组勾股数：11， 60，61 ， 第 n（n 为正整数）组勾股数：2n +1，2n（n+1），2n（n+1）+1 【解答】 解：3=2× 1+1，4=2× 1× （ 1 +1），5=2× 1× （1+1）+1， 5=2× 2+1，12=2× 2× （2 +1），13=2× 2× （ 2+1）+1， 7=2× 3+1，24=2× 3× （3 +1），25=2× 3× （ 3+1）+1，? ， 第 n 组勾股数为： 2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1， 第组勾股数为2× 5+1=11，2× 5× （ 5+1）=60，2× 5× （ 5+1） +1=61，即 11，60，61 故答案为： 11，60，61；2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1 三解答题（共 7 小题） 19如图，在 ABCC 中， ACB=90 °， CD AB，AF 是角平分线， 交 CD 于点 E求 证：1= 2 【解答】 证明： AF 是角平分线， CAF= BAF， ACB=9°0，CD AB， CAF+ 2=90° ， BAF+ AED=9°0， 2= AED， 1= AED， . 格式 专业资料 . 1= 2 20已知：如图，在 ABC 中，C=90 ° ，B=30° ，AB 的垂直平分线交BC 于 D， 垂足为 E，BD=4cm 求 AC 的长 【解答】 解： 连接 AD， ED 是 AB 的垂直平分线， DB=DA=4cm ， B=30° ， ADC=2B=60° ， DAC=3°0， DC=2， 在ABC 中，C=90° 由勾股定理得：AC=2 cm 21如图，在四边形ABCD 中， ABC=ADC=90 ° ，M、N 分别是 AC、BD 的中点， 求证： （1） MD=MB ； （2） MN 平分DMB . 格式 专业资料 . 【解答】 证明：（1） ，ABC= ADC=9 °0，M 是 AC 的中点， BM= AC，DM= AC， MD=MB ； （2）MD=MB ，N 是 BD 的中点， MN 平分DMB（等腰三角形三线合一） 22如图，已知长方 形ABCD 中 AB=8cm ，BC=10cm ，在边CD 上取一点E，将 ADE 折叠使点D 恰好落在 BC 边上的点F，求 CE 的长 【解答】 解： 四边形ABCD 是矩形， AD=BC=10cm ，CD=AB=8cm ， 根据题意得：Rt ADE Rt AFE， AFE=90 °， AF=10cm ，EF=DE ， 设CE=xcm ，则DE=EF=C D CE=8 x， 在 Rt ABF 中由勾股定理得：AB 2+BF2=AF2， 即 8 2+BF2=102， BF=6cm ， CF=BC BF=106=4（cm） ， 在 Rt ECF 中由勾股定理可得：EF 2=CE2+CF2， 即（ 8x） 2=x2+42， . 格式 专业资料 . 6416x+x2=x 2+1 6， x=3（cm） ， 即 CE=3cm 23如图，已知 ABC 中， AB AC，BE、CF 都是ABC 的高， P 是 BE 上一点且 BP=AC ，Q 是 CF 延长线上一点且CQ=AB ，连接AP、AQ、QP，判断APQ 的形状 【解答】 解：APQ 是等腰直角三角形 BE、CF 都是ABC 的高， 1+ BAE=90 ° ，2+ CAF=90 ° （同角（可等角）的余角相等） 1= 2 又 AC=BP ，CQ=AB ， 在ACQ 和 PBA 中 ， ACQPBA AQ=AP ， CAQ= BPA= 3+90° QAP= CAQ 3=90° AQ AP APQ 是等腰直角三角形 . 格式 专业资料 . 24如图： ABC 中，BAC=90 °， AB=AC ，点 D 是斜边BC 的中点 （1）如图 1，若 E、F 分别是 AB、AC 上的点，且 AE=CF 求证：AEDCFD； DEF 为等腰直角三角形 （2）如图2，点 F、E 分别 D 在 CA、AB 的延长线上，且AE=CF ，猜想DEF 是 否为等腰直角三角形？如果是请给出证明 【解答】（1）证明： BAC=9°0，AB=AC ，D 为 BC 中点， BAD= DAC= B= C=45°， AD=BD=DC ， 在AED 和 CFD 中， ， AEDCFD（SAS） ； AEDCFD， DE=DF ， ADE= CDF， 又 CDF+ ADF=90 °， DEF 为等腰直角三角形； （2）DEF 为等腰直角三角形， 理由： BAC=9°0 AB=AC，D 为 BC 中点 BAD= DAC= B= C=45°， AD=BD=DC ， 在AED 和 CFD 中， . 格式 专业资料 . ， AEDCFD（SAS） ； DE=DF ADE= CDF， 又 CDF ADF=90 °， DEF 为等腰直角三角形 25已知 MAN，AC 平分MAN （1）在图1 中，若 MAN=12 °0 ， ABC= ADC=9 °0，求证： AB+AD=AC； （2）在图2 中，若 MAN=12 °0 ， ABC+ ADC=18 °0，则（ 1）中的结论是否 仍 然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说 明理由 【解答】（1）证明： MAN=12 °0 ，AC 平分MAN， CAD= CAB=6 °0 又ABC= ADC=9 °0， AD= AC， AB= AC， AB+AD=AC （2）解：结论仍成立理由如下： 作 CE AM、 CF AN 于 E、F则CED= CFB=90 °， AC 平分MAN， CE=CF . 格式 专业资料 . ABC+ ADC=18 °0，ADC+ CDE=18 °0 CDE= ABC， 在CDE 和CBF 中， ， CDECBF（AAS） ， DE=BF MAN=12 °0 ，AC 平分MAN， MAC= NAC=6 °0， ECA= FCA=30 °， 在 Rt ACE 与 Rt ACF 中，则有 AE= AC，AF= AC， 则 AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+DE=AE+AF= AC+ AC=AC AD+AB=AC . WORD 格式 专业资料 . ABC+ ADC=18 °0，ADC+ CDE=18 °0 CDE= ABC， 在CDE 和CBF 中， ， CDECBF（AAS） ， DE=BF MAN=12 °0 ，AC 平分MAN， MAC= NAC=6 °0， ECA= FCA=30 °， 在 Rt ACE 与 Rt ACF 中，则有 AE= AC，AF= AC， 则 AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+DE=AE+AF= AC+ AC=AC AD+AB=AC .