圆的一般方程更新.ppt
4.1.2 圆的一般方程,圆的标准方程:,(x-a)2+(y-b)2=r2,特征：,直接看出圆心与半径,复习,x2 y 2DxEyF0,由于a, b, r均为常数,结论：任何一个圆方程可以写成下面形式,动动手,1.是不是任何一个形如 x2 y 2DxEyF0 方程表示的曲线是圆呢？,思考,2.下列方程表示什么图形？ （1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x-4y+5 =0； （3）x2+y2-2x+4y+6=0.,配方可得：,把方程：x2 y 2DxEyF0,(1) 当D2+E2-4F0时,表示以（ ） 为圆心，以( ) 为半径的圆.,(2) 当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解x=-D/2 y=-E/2，表示一个点（ ）.,动动脑,(3) 当D2+E2-4F0时,方程无实数解,所以不表示任何图形.,所以形如x2 y 2DxEyF0 （D2+E2-4F0）可表示圆的方程,圆的一般方程：,x2 y 2DxEyF0,圆的一般方程与标准方程的关系：,(D2+E2-4F0),（1）a=-D/2，b=-E/2，r=,没有xy这样的二次项,（2）标准方程易于看出圆心与半径,一般方程突出形式上的特点：,x2与y2系数相同并且不等于0；,判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径,(1) x2+y2-2x+4y-4=0,(2) 2x2+2y2-12x+4y=0,(3) x2+2y2-6x+4y-1=0,(4) x2+y2-12x+6y+50=0,(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0,是,圆心（1，-2）半径3,是,圆心（3，-1）半径,不是,不是,不是,练习,已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于 2. x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程的充要条件是,练习,圆x2+y2+8x-10y+F=0 与x轴相切,则这个圆截y轴所得的弦长是 4. 点A(3,5) 是圆 x2+y2-4x-8y-80=0 的一条弦的中点,则这条弦所在的直线方程是,练习,举例,例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.,几何方法,方法一：,圆心：两条弦的中垂线的交点,半径：圆心到圆上一点,因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上,待定系数法,方法二：,举例,例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.,举例,例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.,解：设所求圆的一般方程为：,因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则,即（x-4）2+（y+3）2=25,待定系数法,方法三：,小结,(特殊情况时,可借助图象求解更简单),注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:,若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.,若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.,几何方法,求圆心坐标 （两条直线的交点）（常用弦的中垂线）,求半径 （圆心到圆上一点的距离）,写出圆的标准方程,待定系数法,列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组,解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程）,小结求圆的方程,例2. 已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.,举例,直接法,例3、由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B， 则动点P的轨迹方程为,举例,举例,例4. 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.,解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标为（x0,y0）,由于B点坐标为（4，3），M为AB的中点，所以,整理得,又因为点A在圆上运动，所以A点坐标满足 方程，又有（x0+1）2+y02=4,所以（2x-4+1）2+(2y-3)2=4,整理得,所以，点的轨迹是以（ ）为圆心，为半径的圆,相关点法,相关点法步骤：,例5.已知：一个圆的直径的两端点是A(x1，y1) 、B(x2，y2). 证明：圆的方程是 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0, C, P,解法一：,求圆心、求半径,解法二：,直接法,P点满足PAPB,即,举例,1定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。,求轨迹方程的常用方法 ：,2.直接法：如果动点P的运动规律满足的等量关系易于建立，则可以用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。（有时要借助相关图形的几何性质）,3.相关点法：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。,4.交轨消去参数法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。,1. 本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为,(用配方法求解),3. 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?,2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系,一般方程,标准方程(圆心,半径),小结,P124 习题A组 6 P124 习题B组 1,作业,知识沿深，能力突破,1、一个圆过A(4,2)、B(1，3)两点，且在坐标轴上的四个截距之和为14，求此圆的方程。,2、如图，等腰梯形ABCD底边长分别为6和4，高为3，求这个等腰梯形的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径长。,
