高中数学2.2.1《等差数列》练习新人教B版必修5.pdf

爱心用心专心- 1 - 等差数列·例题解析 【例 1】在 100 以内有多少个能被7 个整除的自然数？ 解100 以内能被7 整除的自然数构成一个等差数列，其中a1=7，d7，an 98 代入 ana1(n1)d 中，有 987(n1)·7 解得 n14 答100 以内有 14 个能被 7 整除 的自然数 【例 2】在 1 与 7 之间顺次插入三个数a，b，b 使这五个数成等差数列，求 此数列 解设这五个数组成的等差数列为 an 由已知： a1 1，a57 7 1(5 1)d 解出 d 2 所求数列为：1，1，3，5，7 【例3】53 1 2 2在等差数列，的相邻两项之间 1 2 插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项 解d =3 1 2 (5)d= d = 3 4 原数列的公差，所以新数列的公差 ，期通项为 3 2 1 2 ann n n 5 3 4 1 3 4 23 4 23 4 () 即 a = 3 4 n 【例 4】在1000，2000内能被 3 整除且被4 除余 1 的整数共有多少个？ 解设 an=3n，bm4m3， n，mN 令，则为使为整数，令，a= b3n4m3nnm3k nm 43 3 m 得 n4k1(kN)，得 an，b m中相同的项构成的数列 cn的通项cn12n 3(nN) 则在 1000，2000内cn的项为 84· 123， 85·123， 166·123 爱心用心专心- 2 - n 166 841=83 共有 83 个数 【例 5】三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数 解设三个数分别为xd，x，xd 则 (xd)x(xd) = 15 (xd)x(xd)= 83 222 解得 x5，d± 2 所求三个数为3、5、7 或 7、5、3 说明注意学习本题对三个成等差数列的数的设法 【例 6】已知 a、b、c 成 等差数列，求证：bc，ca，ab 也成等差数列 证a、b、 c 成等差数列 2b=ac (bc)(ab)a2bc a(a c) c 2(ac) b c、ca、ab 成等差数列 说明如果 a、 b、c 成等差数列，常化成2bac的形式去运用；反之，如果 求证 a、b、c 成等差数列，常改证2b=ac本例的意图即在让读者体会这一点 【例7】abab若、成等差数列，且 ，求证：、 、 、不 111 abc c 可能是等差数列 分析直接证明a、b、c 不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难运用， 这时往往用反证法 证假设 a、b、c 是等差数列，则2b=a c 又、成等差数列， ，即 111 211 abc bac 2acb(ac) 2ac b(ac)=2b2， b2ac 又a、b、c 不为 0， a、b、c 为等比数列， 又a、b、c 为等差数列， a、 b、c 为常数列，与ab 矛盾， 假设是错误的 a、b、c 不可能成等差数列 【例 8】解答下列各题： (1)已知等差数列 an，an0，公差 d0，求证： 对任意kN，关于 x的方程 akx22ak+1xak+20 有一公共根； 爱心用心专心- 3 - 若方程的另一根为，求证数列是等差数列； 在中，已知三边、 、 成等差数列，求证：、 、也成等差数列 x (2)ABCabc k cot cotcot 1 1 2 22 x A BC k 分析与解答 (1)akx22ak+1xak+20 an为等差数列， 2ak+1akak+2 akx2(akak+2)xak+20 (akxak+2)(x 1)=0，ak0 或 x1xk a a x a a a aa a d k k k k k k kk k 2 2 2 1 1 1 1 2 an为等差数列， d 为 不 等于零的常数 方程有一公共根，数列是等差数列1 1 1xk (2)由条件得2b=ac 4RsinB2RsinA2RsinC，2sinBsinA sinC 4sin B 2 cos B 2 = 2sin A + C 2 cos AC 2 ABC sin A +C 2 = cos B 2 2sin B 2 = cos A 2 C 分析至此，变形目标需明确，即要证 2cot B 2 = cot A 2 cot C 2 由于目 标是半角的余切形式，一般把切向弦转化，故有 爱心用心专心- 4 - cotcot cos sin cos sin sin sinsin sin (coscos) () cos sinsin cot AC A A C C AC AC AC ACAC B BB B 22 2 2 2 2 2 22 2 1 222 2 2 2 2 2 2 2 将条件代入 、成等差数列cot A 2 cot B 2 cot C 2 【例 9】若正数 a1，a 2，a3， an+1 成等差数列，求证： 111 1223111 aaaaaa n aa nnn 分析 1 1 1 1 1 aa aa aa aa d nn nn nn nn 证明设该数列的公差为d，则 a1a2=a2a3 anan+1=d a1an+1=nd 左式 d = a = a 1 1 a n a aa aa aa aa aa n nn nn 1 2 12 23 23 1 1 aa d aa aa n n aa n n n n 11 11 11 11 右式 原等式成立 【例 10】设 x y，且两数列x，a1，a2，a3， y 和 b1，x， 爱心用心专心- 5 - bbyb 234 ， ，均为等差数列，求 bb aa 43 21 分析 解 d = yx 51 (1) = yx 52 (2) 可采用 由 aa mn aa bb mn 21 43 32 64 (2)(1)÷，得 bb aa 43 21 8 3