高中数学《用构造法求数列的通项公式》教案2北师大版必修5.pdf

- 1 - 用构造法求数列的通项公式 求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列-等差数列·等比数列 可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列， 之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用 例1:（06年福建高考题）数列 nnnn aaaaa则中12, 1, 11 ( ) A n 2 B12 n C12 n D 1 2 n 解法 1：12 1nn aa ) 1(2221 1nnn aaa 又21 1 a 2 1 1 1 n n a a 1 n a是首项为2 公比为 2 的等比数列 12,2221 1n n nn n aa, 所以选 C 解法 2 归纳总结： 若数列 n a满足qpqpaa nn , 1( 1 为常数），则令)( 1nn apa来构 造等比数列，并利用对应项相等求的值，求通项公式。 例 2：数列 n a中， nnn aaaaa23, 3, 1 1221 ，则 n a。 解：)(2 112nnnn aaaa 2 12 aa 1nn aa为首项为2 公比也为2 的等比数列。 1 1 2 n nn aa， （n1） n1 时 12 21 21 1222 )()()( 21 112211 n n nn nnnnn aaaaaaaa - 2 - 显然 n=1 时满足上式 n a12 n 小结：先构造 nn aa 1 等比数列，再用叠加法, 等比数列求和求出通项公式， 例 3：已知数列 n a中) 3( ,32,2, 5 2121 naaaaa nnn 求这个数列的通项公式。 解： 21 32 nnn aaa )(3 211nnnn aaaa 又 121 ,7 nn aaaa形成首项为7，公比为 3 的等比数列， 则 2 1 37 n nn aa 又)3(3 211nnnn aaaa， 133 12 aa， 1 3 nn aa形成了一个首项为13，公比为 1 的等比数列 则 2 1 ) 1()13(3 n nn aa 3 11 ) 1(13374 nn n a 11 ) 1( 4 13 3 4 7nn n a 小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列 的通项公式。 例 4： 设数列 n a的前项和为 n n nn SaS22,若成立， (1) 求证： 1 2 n n na是等比数列。 (2) 求这个数列的通项公式 证明： (1) 当2,) 1(2, 1 111 aababn 又 n n n Sbab)1(2 1 1 1 ) 1(2 n n n Sbab 11 )1(2 n n nn ababab n nn aba2 1 当2b时，有 n nn aa22 1 )2(22) 1(222) 1( 1 1 n n nn n n n nanana - 3 - 又 12 11 1 a 1 2 n n na为首项为1，公比为2 的等比数列， (2) 111 2) 1(,22 n n nn n nana 小结：本题构造非常特殊， 要注意恰当的化简和提取公因式，本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力，同时也彰显 构造思想在高考中的地位和作用。 例 5：数列 n a满足 1 11 232, 3 n nn aaa，则 n a A n n2) 13( B 1 2) 36( n n C 1 2)12( 3 n n D 1 2)23( n n 解：3 22 ,232 1 11 1 n n n nn nn aa aa 2 3 2 , 3 22 1 1 1 aaa n n n n 又 n n a 2 构成了一个首项这 2 3 ，公差为 3 的等差数列， 2 3 33) 1( 2 3 2 nn a n n 11 2)36() 2 3 3(22 nn n nna所以选 B。 小结：构造等比数列，注意形 n n a 2 ，当1nn时，变为 1 1 2 n n a 。 例6： 已 知 函 数)0( ,)2()( 2 xxxf， 又 数 列 n a中2 1 a， 其 前n项 和 为 , n S)(Nn，对所有大于1 的自然数n都有)( 1nn SfS，求数列 n a的通项公式。 解： 2 11 2 )2()(,)2()( nnn SSfSxxf 2,2 11nnnn SSSS 2 11 aS - 4 - n S是首项为2，公差为2的等差数列。 2 2,22) !(2nSnnS nn 。 2n时，24)1(22 22 1 nnnSSa nnn 且当1n时，2142 1 a符合条件 通项公式为24nan 例 7： （2006 山东高考题） 已知2 1 a，点（ 1 , nn aa）在函数xxxf 2 )(的图象上， 其中, 3, 2, 1n求数列 n a 的通项公式。 解：xxxf2)( 2 又),( 1nn aa在函数图象上 nnn aaa2 2 1 22 1 ) 1(121 nnnn aaaa 3lg) 1lg(,2 ) 1lg( ) 1lg( ) 1lg(2) 1lg( 1 1 1 a a a aa n n nn ) 1lg( n a是首项为 3lg公比为 2 的等比数列 1 21 1 3lg3lg2lg n n n a 1 2 31 n n a 13 1 2n n a 小结：前一个题构造出 n S为等差数列，并且利用通项与和的关系来确定数列的通项公式， 后一个题构造1lg n a为等比数列 , 再利用对数性质求解。数列与函数的综合运用是当今高 考的重点与热点，因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有关知识，以它的概念与性质 为纽带，架起函数与数列的桥梁, 揭示它们之间内在联系，从而有效地解决数列问题。 例 8： (2007 天津高考题 ) 已知数列 n a满足 nn nn aaa2)2(, 2 1 11 ，（ * Nn） 其中0，求数列的通项公式 方法指导：将已知条件中的递推关系变形，应用转化成等差数列形式，从而为求 n a的通项 - 5 - 公式提供方便，一切问题可迎刃而解。 解：)0*,( ,2)2( 1 1 Nnaa nn nn 1) 2 () 2 ( 1 1 1nn n n n n aa , 1) 2 () 2 ( 1 1 1n n nn n n aa 。 所以0 2 , 1) 2 () 2 ( 11 1 1a aa n n nn n n 所以 n n n a ) 2 ( 为等差数列，其首项为0，公差为 1； nn n n n n nan a 2) 1(, 1) 2 ( 例 9：数列 n a中，若2 1 a， n n n a a a 31 1 ，则 4 a A 19 2 B 15 16 C 5 8 D 4 3 解：3 1311 , 31 1 1 nn n nn n n aa a aa a a 又 n aa 1 , 2 11 1 是首项为 2 1 公差 3 的等差数列。 56 2 , 2 56 2 5 33)1( 2 11 n a n nn a n n 19 2 546 2 4 a所以选 A 变式题型：数列 n a中， n n n a a aa 31 2 ,2 11 ，求 n a 解： nn n nn n n aa a aa a a 1 2 1 2 3 2 311 , 31 2 1 1 3, 2 3 2 ), 1 ( 2 11 1 则令 nn aa - 6 - 2 5 3 1 ),3 1 ( 2 1 3 1 11 aaa nn 又 3 1 n a 是首项为 2 5 公比为 2 1 的等比数列 11 ) 2 1 ( 2 5 3 1 ,) 2 1 ( 2 5 3 1 n n n n aa 1 ) 2 1 ( 2 5 3 1 n n a 小结 :)( 1nn afa 且为一次分式型或构造出倒数成等差数列或构造出倒数加常数成等 比数列，发散之后，两种构造思想相互联系,相互渗透，最后融合到一起。 总之，构造等差数列或等比数列来求数列的通项公式，是求通项公式的重要方法也是高 考重点考查的思想，当然题是千变万化的，构造方式也会跟着千差万别,要具体问题具体分析， 需要我们反复推敲归纳，从而确定其形式，应该说构造方法的形成是在探索中前进，在前进 中探索。