高中数学备课精选第二章《数列求和》例题解析新人教B版必修5.pdf

- 1 - 专题研究：数列的求和·例题解析 【例 1】求下列数列的前n 项和 Sn： (1) (2) 1 3 (3)1111 1 1 2 2 1 4 3 1 8 1 2 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 2 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 23456212 1 ， ,， ,； ， ,， ,； ， ,， ,， , ()n n nn n 解 (1)S= 1 1 2 = (123n) n 2 1 4 3 1 8 1 2 1 2 1 4 1 8 1 2 , , () () n n n = n(n + 1) 2 = 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 () () n n n n (2)S= 1 3 = ( 1 3 + 1 3 + 1 3 ) + ( 2 3 + 2 3 + 2 3 ) n 32n -1242n 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 234212 , , nn = 1 3 ()() () 1 1 3 1 1 3 2 3 1 1 3 1 1 3 5 8 1 1 3 2 2 22 2 2 nn n (3) 先对通项求和 a= 1 S= (222)(1+ 1 4 + 1 2 ) n nn-1 1 2 1 4 1 2 2 1 2 1 2 11 , , nn = 2n(1+ 1 4 + 1 2 ) = 2n2 n -1 , 1 2 1 2 1n - 2 - 【例 2】求和： (1) 1 1 + 1 23 + 1 34 + (2) 1 1 (3) 1 2 ··· , ··· , ··· , 2 1 1 5 1 37 1 59 1 2123 5 1 58 1 811 1 3132 n n nn nn () ()() ()() 解 (1) 1 n(n + 1) 11 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 11 1 nn S nn n ,()()()() 1 1 1 1 n n n (2) 1 (2n1)(2n+ 3) S= n 1 4 1 21 1 23 1 4 1 1 5 1 3 1 7 1 5 1 9 1 23 1 21 1 21 1 23 () nn n nnn , = 1 4 1 1 3 1 21 1 23 45 3 2123 () ()() nn nn nn (3) 1 (3n1)(3n + 2) S= 1 3 n 1 3 1 31 1 32 1 2 1 5 1 5 1 8 1 8 1 11 1 31 1 32 () ()()()() nn nn , = 1 3 () 1 2 1 32 64 n n n 【例 3】求下面数列的前n项和： 1147(3n2)， ,， , 111 21 aaa n - 3 - 分 析将 数 列 中 的 每 一 项 拆 成 两 个 数 ， 一 个 数 组 成 以为 公 比 的 等 1 a 比数列 ，另一个数组成以3n2 为通项的等差数列，分别求和后再合并 解设数列的通项为an，前 n 项和为 Sn 则 , , a= 1 a (3n2) S=147(3n2) nn1 n ()1 111 21 aaa n 当时 ， · 当时 ， a = 1S= n a1S= 1 1 a 1 1 a n n n () ()() 132 2 3 2 132 2 131 2 2 1 nnnn nna aa nn n nn 说明等比数列的求和问题，分q=1 与 q1 两种情况讨论 【 例 4】a =k (kN *) aaa k 设 ,， 则 数 列，12 357 222 123 , 的前n 项之和是 ABCD 6 1 3 1 6161 2 n n n n n n n n ()() 解b b= n n 设 数 列， ,， 的 通 项 为 则 357 21 123aaa n a n 又 , a= 12n=n(n1)(2n1) b= 6 n(n + 1) = 6( 1 n 1 n + 1) n 222 n 1 6 数列 b n的前 n 项和 Sn=b1b2, bn = 6 = 6 = 6n n + 1 (A) ()() () 1 1 2 1 3 11 2 1 3 11 1 1 1 1 , 选 nnn n - 4 - 【例 5】求在区间 a ，b(b a，a，b N)上分母是3 的不可约分数之和 解 法 一ab3 a1a2b1 区 间，上 分 母 为的 所 有 分 数 是， ， ,，它 是 以 为 首 项 ， 以为 公 差 的 等 差 数 列 3 3 31 3 32 3 34 3 35 3 32 3 31 3 3 3 3 3 1 3 aaa aabbb a 项 数 为， 其 和3b3a1S = 1 2 (3b3a1)(ab) 其中，可约分数是a，a1，a2，, ， b 其 和S= 1 2 (ba1)(ab) 故不可约分数之和为 SS= 1 2 (ab)(3b3a1)(ba1) =b2 a2 解法二 , S = 3a + 1 3 + 3a + 2 3 + 3a + 4 3 + 3a + 5 3 + 3b2 3 + 3b1 3 , 而 又 有 , S=(a)(a)(a)(a)(b)(b) S=(b)(b)(b)(b)(a) (a) 1 3 2 3 4 3 5 3 2 3 1 3 1 3 2 3 4 3 5 3 2 3 1 3 两式相加： 2S=(ab) (ab) , (a b) 其个数为以3 为分母的分数个数减去可约分数个数 即 3(b a) 1(ba1)= 2(b a) 2S=2(b a)(a b) S=b 2a2 【例 6】求下列数列的前n项和 Sn： (1)a ，2a2，3a3，, ， nan，, ，(a 0、 1) ； (2)1 ，4，9，, ，n2，, ； (3)1 ，3x，5x 2，, ， (2n 1)x n-1 ，, ， (x 1) (4) 1 2 2 4 3 82 ， ,， , n n - 5 - 解 (1)S n=a2a23a3, nan a 0 aS n=a2 2a33a 4, (n 1)a nnan+1 SnaSn=aa2a3, annan+1 a 1 () () () () 1 1 1 1 1 1 1 2 1 a S aa a na S aa a na a n n n n nn (2)S n=14 9, n2 (a1) 3a3=3a23a1 2 313=3×123×11 3323=3×223×21 4333=3×323×31 , n3(n 1) 3=3(n 1)2 3(n1) 1 ( n1) 3n3=3n23n1 把上列几个等式的左右两边分别相加，得 (n 1) 313=3(1222, n2) 3(1 2, n) n = 3(123n)n 2222 , 31 2 n n() 1 222 32, n2 =(n1)1n =n3n3nn 3 32 1 3 31 2 1 3 31 2 n n n n () () =n(2n3n1) =n(n1)(2n1) 2 1 6 1 6 - 6 - (3) S n=13x5x 27x3, (2n1)x n-1 xS n=x3x25x3, (2n 3)x n-1 (2n1)x n 两式相减，得 (1 x)Sn=1 2x(1 xx2, xn-2) (2n 1)x n = 1(2n1)x = (2n1)x S= (2n1)x n n +1 n n+1 21 1 211 1 211 1 1 2 x x x nxx x nxx x n n n () ()() ()() () (4) S= 1 2 n , , 2 2 3 22 1 2 1 2 2 2 3 22 23 2341 n S n n nn 两式相减，得 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 1 2 1 1 2 1 1 2 2 231 1 S n n nnn n n , () 1 1 22 1 22 1 1 nn nn n n S= 2 n 说明求形如 a n·bn的数列的前 n 项和，若其中 a n 成等差数列， bn 成等 比数列， 则可采用推导等比数列求和公式的方法，即错位相减法， 此方法体现了化归 思想 【 例 7】anSS= nnn 设 等 差 数 列的 前项 和 为， 且，() an1 2 2 nN*，若 bn=( 1) n·Sn，求数列 b n的前 n 项和 Tn 分析求b n 的前 n 项和，应从通项 bn入手，关键在于求a n的前 n 项和 Sn， 而由已知只需求a n的 通项 an 即可 - 7 - 解 法 一 aS= n = 1a= ( a 2 )a= 1 nn 1 1 2 1 是 等 差 数 列 ， 当时 ，解 得 () a n 1 2 1 2 当时 ，解 得或 当时 ， 由， 解 得或 n = 2aa= ( a )a= 3a=1 n = 3aaa= ( a )a= 3a= 5a= 12 2 2 22 123 3 2 233 1 2 1 2 3，由 a2=1，解得 a3=1 又， ，舍S=0 a=1a=3a= 1() n233 () an1 2 2 即 a1=1，a2=3，a3=5， d=2 an=12(n 1)=2n 1 Sn=135, (2n 1)=n 2 bn=( 1) n·Sn=(1)n·n2 Tn= 12223242, ( 1) n·n2 当 n 为偶数时，即n=2k，kN* Tn=( 1222) ( 3242) , (2k 1) 2(2k)2 =37, (4k 1) = 3 + (4k1)k 2 = (2k1)k = · n n()1 2 当 n 为奇数时，即n=2k1，kN* Tn= 12223242, (2k 1) 2 =12223242, (2k 1) 2(2k)2(2k)2 =(2k 1)k (2k) 2 =k(2k 1) - 8 - = T= (1)nN * nS= (a+ a)n 2 a n n n 1n n · 也 可 利 用 等 差 数 列 的 前项 和 公 式 · ， 求 n n n n () () 1 2 1 2 解 法 二n = 1a= ( a ) a= 1 S= n(a+ a) 1 1 2 1 n 1n 取， 则 又可 得 ： · 1 2 2 1 2 1 2 2 () () ana nn a n 1 an=2n1 以下同解法一 说明本题以“等差数列”这一已知条件为线索，运用方程思想，求数列a n 的通项 an，在求数列 b n的前 n 项和中， 通过化简、 变形把一般数列的求和问题转化 为等差数列的求和问题由于( 1) n 的作用，在变形中对n 须分两种情况讨论