高中数学导数知识点归纳总结及例题.pdf

导数 考试内容： 导数的背影导数的概念多项式函数的导数利用导数研究函数的单调性和极值函数的 最大值和最小值考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景 （ 2）理解导数的几何意 义（3）掌握函数，y=c(c 为常数 )、y=xn(n N+)的导数公式，会求多项式函数的导数（ 4） 理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大 值、极小值及闭区间上的最大值和最小值（5）会利用导数求某些简单实际问 题的 最大 值 和最小值 §14. 导数知识要 点 导数的概念导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数 导 数 导数的运算 导数的运算法 则 函数的单调性 导数的应 用函数的极值 函数的最值 1. 导数（导函数的简称）的定义：设x0 是函数y f (x) 定义域的一点，如果自变量x 在x0 处 有 增 量x ，则 函 数值y 也 引 起 相应的 增 量y f (x 0 x) f (x0 ) ； 比 值 y ( 0 ) ( 0 ) 称为函数y f (x) 在点 f x x f x x x x 到x0 x 之间的平均变化率；如果极限 0 lim x 0 y x lim x 0 f ( x 0 x) x f ( x 0 ) 存在， 则称函数y f (x) 在点x0 处可导， 并把这个极限叫做 f 或 ' x ' x y f (x) 在x0 处的导数，记作(0 ) ' ' x y | ，即f ( 0 ) = x x 0 lim x 0 y x lim x 0 f ( x 0 x) f x ( x 0 ) . 注： x 是增量，我们也称为“ 改变量 ”，因为x 可正，可负，但不为零. ' x 以知函数y f (x) 定义域为A ， y f ( ) 的定义域为B ，则 A 与 B 关系为A B . 2. 函数y f (x) 在点x0 处连续与点x0 处可导的关系： 函数y f ( x) 在点x0 处连续 是y f (x) 在点x0 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果y f (x) 在点 x处可导，那 么y f (x) 点x0 处连续 . 0 事实上，令xx0 x ，则x x 0 相当于x 0 . 1 于是lim ( ) lim ( ) lim ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) f x f x x f x x f x f x 0 x x x 0 x 0 0 f (x x) f ( x ) f (xx) f (x ) 0 0 0 0 ' lim x f (x ) lim lim lim f (x ) f (x0) 0 f (x0 ) f (x0 0 0 x x x 0 x 0 x 0 x 0 ). 如果y f ( x) 点 x处连续，那么y f ( x) 在点x0 处可导，是不成立的. 0 例：f (x) | x |在点x0 0 处连续，但在点x0 0 处不可导，因为 y| x | x x ，当x 0 时， y ；当x 0 时，y 1，故 1 x x y lim 不存在. x x 0 注： 可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义： 函数y f ( x) 在点x0 处的导数的几何意义就是曲线y f ( x) 在点( x0 , f (x) 处的切线的斜率， ' x 也 就 是 说 ， 曲 线y f ( x) 在 点P (x0 , f ( x) 处 的 切 线 的 斜 率 是( 0 ) f ， 切 线 方 程 为 y ' y ( 0 0 f x)(x x ). 4. 求导数的四则运算法则： ' ' ' ' ' ' ' (u v) u v 1(x) f (x) . f (x) y f (x) f (x) . f (x) y f n n 2 1 2 ' ' ( ) ' ' ' ' ' ( uv) vu v u cv c v cv cv （ c 为常数） ' ' ' u vu v u ( v 0 ) 2 v v 注： u, v 必须是可导函数. 若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导； ' x f ' u ' x ' ' ' 5. 复合函数的求导法则：f x ( ( ) ( ) ( ) 或 y x y u u x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性： ' 函数单调性的判定方法：设函数y f (x) 在某个区间内可导，如果f ( ) 0，则y f (x) 为 x 增函数；如果f ' (x) 0，则y f (x) 为减函数. 常数的判定方法； 如果函数y f (x) 在区间I 内恒有( ) f =0，则y f ( x) 为常数 . ' x 注： f (x) 0 是 f（ x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y 2x 3 在( , ) 上并不是 都有f (x) 0 ，有一个点例外即x=0 时 f（ x） = 0，同样f (x) 0 是 f（x）递减的充分非必 要条件 . 一般地，如果 f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（ x） 在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在x0 附近所有的点，都有f (x) f ( x0 ) ，则f (x0) 是函数f ( x) 2 的极大值，极小值同理） 当函数f (x) 在点x0 处连续时， ' x ' x 如果在x0 附近的左侧f ( ) 0，右侧f ( ) 0，那么f ( x0 ) 是极大值； ' x ' x 如果在x0 附近的左侧f ( ) 0，右侧f ( ) 0，那么f ( x0 ) 是极小值. ' x 也就是说x0 是极值点的充分条件是x0 点两侧导数异号，而不是f ( ) =0 . 此外，函数不 可导的点也可能是函数的极值点 . 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确 定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）. ' x 注：若点x0 是可导函数f (x) 的极值点，则 ( ) f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函 数，其一点x0 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数 3 ' y f (x) x ， x 0 使f (x) =0，但 x 0 不是极值点. 例如：函数y f (x) | x | ，在点x 0 处不可导，但点x 0 是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进 行比较 .注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数： ' C ' （ C 为常数）(sin x) cos x I. 0 (arcsin x) ' 1 2 1 x ' n 1 ( ) x n nx （ n R ）(cos x) ' sin x (arccos x) ' 1 1 2 x II. (ln x) 1 1 ' ' e (loga x) loga x x (arctan ' x) x 1 2 1 x e x ' x ) ln ' x (e ) (a a a (arc cot x) ' x 1 2 1 III. 求导的常见方法： 常用结论： (ln | x 1 ' .形如y (x a1 )(x a2).( x an ) 或 |) x ( x a )( x a ).( x a ) 1 2 n y 两 ( x b )( x b ).( x b ) 1 2 n 边同取自然对数，可转化求代数和形式. 无理函数或形如 x y x 这类函数，如 x y x 取自然对数之后可变形为ln y x ln x ，对两边 求导可得 ' y y ln x x 1 x ' y y ln x y y ' x x x x ln x . 导数中的切线问题 例题1：已知切点，求曲线的切线方程 3 曲线 3 3 2 1 y x x 在点 (1， 1) 处的切线方程为 （） 例题2：已知斜率，求曲线的切线方程 与直线2x y 4 0 的平行的抛物线 2 y x 的切线方程是（） 注意：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为y 2x b ， 代入 2 y x ，得 2 2 0 x x b ，又因为0 ，得 b 1 ，故选 例题3：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法 求过曲线 3 2 y x x 上的点(1， 1) 的切线方程 例题4：已知过曲线外一点，求切线方程 求过点(2， 0) 且与曲线y 1 x 相切的直线方程 练习题：已知函数 3 3 y x x ，过点A (0， 16) 作曲线y f (x) 的切线，求此切线方程 看看几个高考题 4 10.（ 2009 全国卷 ）曲线 y x 在点1,1 处的切线方程为 2 x1 11.（ 2010 江西卷）设函数 2 f (x) g(x) x ，曲线y g( x) 在点(1, g(1) 处的切线方程为 y 2x 1，则曲线y f (x) 在点(1, f (1)处切线的斜率为 x 12.（ 2009 宁夏海南卷）曲线y xe 2x 1在点 （0,1 ）处的切线方程为。 4（ . 2009 浙江）（本题满分15 分）已知函数 3 2 f (x) x (1 a)x a(a 2)x b (a, b R) （ I）若函数f (x) 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a,b 的值； 5.（ 2009 北京）（本小题共14 分） 设函数 3 f (x) x 3ax b(a 0) . （）若曲线y f (x) 在点(2, f ( x) 处与直线y 8相切，求a,b的值； .1 函数的单调性和导数 1利用导数的符号来判断函数单调性: 一般地，设函数y f (x) 在某个区间可导， 如果在这个区间内fx ，则y f (x) 为这个区间内的； ' ( ) 0 ' ( ) 0 如果在这个区间内fx ，则y f (x) 为这个区间内的。 ' ( ) 0 ' ( ) 0 2利用导数确定函数的单调性的步骤： (1) 确定函数f(x) 的定义域； (2) 求出函数的导数； (3) 解不等式f (x) 0，得函数的单调递增区间； 解不等式f (x) 0，得函数的单调递减区间 【例题讲解】 5 a) 求证： 3 1 y x 在( ,0) 上是增函数。 3 2 6x b) 确定函数f (x)=2x +7 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数. 【课堂练习】 1确定下列函数的单调区间 39x2+24 x (2) y=3x x 3 (1) y=x 已知函数f (x) xln x ，则（） A在(0, ) 上递增B在(0, ) 上递减 C在 1 0, 上递增D 在 e 1 0, 上递减 e 3 x 2 函数f (x) x 3 5的单调递增区间是_ 函数图象及其导函数图象 6 13. 函数y f (x) 在定义域 3 ( ,3) 2 内可导， 其图象如 图，记y f (x) 的导函数为y f / (x) ，则不等 式fx 的解集为_ / ( ) 0 / ( ) 0 14. 函数f (x) 的定义域为开区间 3 ( ,3) 2 ，导函数 y f (x) f (x) 在 3 ( ,3) 2 内的图象如图所示，则函数f (x) 的单调增区间是_ y 15.如图为函数 3 2 f (x) ax bx cx d 的图象，f '(x) 为函数 f (x) 的导函数，则不等式x f '( x) 0的解集为_ _ o - 3 3 x 16. 若函数 2 f (x) x bx c的图象的顶点在第四象限，则其导函数f '(x )的图象是 （） 17. 函数y f (x) 的图象过原点且它的导函数f '(x ) 的图象是如图所示的一 条直线，则y f (x) 图象的顶点在（） y f ( x) A第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 18. (2007 年广东佛山)设f (x) 是函数f (x) 的导函数, y f (x) 的图 y 象如右图所示，则y f (x)的图象最有可能的是（） y y y y O 1 2 x 2 O 1 2 x O 1 2 x O 1 x O 1 2 x A B C D 19. 设函数f (x)在定义域内可导，y=f (x) 的图象如下左图所示，则导函数y=f (x)的图象可能 为 ( ) 7 20. （安微省合肥市2010 年高三第二次教学质量检测文科）函数y f (x) 的图像如下右图 所示，则y f (x) 的图像可能是（） y 9. (2010 年 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科) 已 知函数f( x) 的导函数 2 f ( x) ax bx c 的图象如右图，则 o f( x) 的图象可能是( ) x 6. （ 2010 年浙江省宁波市高三“十校 ”联考文科）如右图所示是某一 容 器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间 t 正 视图侧 视图变化的可能图象是（） hhhh 俯 视图 OtOtOtOt (A) (B) (C) (D) ' 7. (2008 广州二模文、理)已知二次函数f x 的图象如图1 所示, 则其导函数f x 象大致形状是（） 的图 8 21. （ 2009 湖南卷文）若函数y f ( x) 的导 函 数 在区间a, b 上是增函数， 则函数y f (x) 在区间a,b 上的图象可能是( ) y y y y o x a o x o x o x b b a b a b a A BCD 22. （福建卷11）如果函数y f (x) 的图象如右图，那么导 函数y f (x) 的图象可能是( ) 23. （ 2008 年 福 建 卷12) 已 知 函 数y=f(x),y=g(x) 的 导 函 数 的 图 象 如 下 图 ， 那 么 y=f(x),y=g(x) 的图象可能是（） 24. (2008 珠海一模文、理)设f '( x) 是函数f ( x) 的导函数，将y f ( x) 和y f '(x) 的图 像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（） 9 ABCD 25. ( 湖南省株洲市2008 届高三第二次质检) 已知函数y y f (x) 的导函数y f ( x) 的图像如下， 则（） 函数f ( x)有 1 个极大值点，1 个极小值点 函数f (x) 有2 个极大值点，2 个极小值点 函数f (x) 有3 个极大值点， 1 个极小值点 函数f ( x)有 1 个极大值点，3 个极小值点 x x2 x3O x4 1 x 26. (2008 珠海质检理) 函数f (x) 的定义域为 (a, b) ，其导函数f (x) 在(a,b) 内的图象如图所示，则函 数f (x) 在区间(a,b)内极小值点的个数是（） (A). 1 (B). 2 (C). 3 (D). 4 27. 【湛江市· 文】 函数 1 2 f (x) ln x x 的图象大致是 2 y y y y O x O x O x x O A B C D 2 28. 【珠海 · 文】如图是二次函数f (x) x bx a 的部分图 象，则函数g (x) ln x f (x) 的零点所在的区间是（） 1 1 1 A. ( , ) B. ( ,1) 4 2 2 C. (1,2 )D. ( 2,3) 29. 定义在R 上的函数f ( x) 满足f (4) 1f (x) 为f (x) 的导函 y 数，已知函数y f (x) 的图象如右图所示.若两正数a, b满足 f (2a b) 1，则 b a 2 2 的取值范围是（） O x 10 A 1 1 ( , ) 3 2 B 1 ( , ) 3, 2 C 1 ( , 3) 2 D ( , 3) 30. 已知函数 3 2 f ( x) ax bx cx在点 x 处取得极大值5 ， 0 其导函数y f '(x) 的图象经过点(1,0) ，(2,0) ，如图所 示 . 求： （） x的值； 0 （）a,b, c 的值 . 11