高中数学第三章直线与方程章末复习课新人教A版必修2.pdf

1 【金版学案】2016-2017 学年高中数学第三章直线与方程章末复习 课 新人教 A版必修 2 整合2网络构建 警示2易错提醒 1解决截距问题不忽略“0”的情形 解决直线在两坐标轴上的截距或截距具有某种倍数关系的问题时，需注意两点： 2 (1) 截距不是距离，直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0. (2) 明确直线方程的截距式不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线因此解题时应该从 截距是否为0 进行分类讨论 2弄清直线的倾斜角与斜率关系 在解决由直线的斜率求其倾斜角的范围问题时，先求出直线的斜率k的取值范围， 再利 用三角函数ytan x的单调性，借助函数的图象，确定倾斜角的范围 3不要忽视斜率不存在的情况 (1) 在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1l2?k1k2求解，忽略k1，k2不存在的 情况，就会导致漏解 (2) 对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l1l2?k12k2 1 求解，要注意其前 提条件是k1与k2必须同时存在. 专题一直线的倾斜角与斜率问题 直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面 刻画了直线的倾斜程度，倾斜角 与斜率k的对应关系和单调性是解题的易错点，应引起 高度重视 (1) 对应关系 当 90°时，ktan ；当 90°时，斜率不存在 (2) 单调性 当 由 0° 90° 180°( 不含 180°) 变化时，k由 0( 含 0) 逐渐增大到 ( 不存在) ， 然后由 ( 不存在 ) 逐渐增大到0( 不含 0) 经过A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，(x1x2) 两点的直线的斜率公式是ky 2y1 x2x1，应用时注意 其适用的条件是x1x2，当x1x2时，直线的斜率不存在 例 1 已知坐标平面内的三点A( 1，1) ，B(1 ，1)，C(2 ，3 1) (1) 求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角； (2) 若D为ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围 解： (1) 由斜率公式，得 kAB 11 1（ 1） 0， kBC 3 11 21 3， kAC 311 2（ 1） 3 3 . 因为 tan 0 ° 0， 3 所以AB的倾斜角为0°； 因为 tan 60 °3，所以BC的倾斜角为60°； 因为 tan 30 ° 3 3 ，所以AC的倾斜角为30°. (2) 如图，当斜率k变化时，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB过程 中，直线CD与AB恒有交点，即D在ABC的边AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取 值范围为 3 3 ， 3 . 归纳升华 求直线斜率的方法 1定义法已知直线的倾斜角为 ，且 90°，则斜率ktan . 2公式法若直线过两点A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，且x1x2，则斜率ky 2y1 x2x1 . 3数形结合法 已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB 有交点的情况下l的斜率，若直线PA，PB的斜率均存在，则步骤为：连接PA，PB；由 k y2y1 x2x1求出 kPA，kPB；结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围 变式训练 (1) 如图所示，直线l1，l 2，l3都经过点P(3 ，2) ，又l1，l2，l3分别经过 点Q1( 2， 1) ，Q2(4 ， 2)，Q3( 3，2) ，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线 的倾斜角是0°、锐角还是钝角 (2) 已知过两点A(4 ，y) ，B(2 ， 3) 的直线的倾斜角为135°，则y_ (1) 解： 由于Q1，Q2，Q3的横坐标与P点的横坐标均不相等，所以设k1，k2，k3分别表示 直线l1，l2，l3的斜率， 则k1 12 23 3 5，k 2 22 43 4，k3 22 33 0. 4 由k10 知，直线l1的倾斜角是锐角；由k20 知，直线l2的倾斜角是钝角；由k30 知， 直线l3的倾斜角是0°. (2) 解析： 直线AB的斜率ktan 135 ° 1， 则 y3 42 1，解得 y 5. 答案： 5 专题二直线的平行与垂直问题 1两条直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2斜率都存在，l1l2?k1k2，且b1b2； l1l2?k12k2 1；斜率不存在时单独考虑，即k1，k2中有一个为零，另一个不存在，则 两条直线垂直；若k1，k2均不存在，则两直线平行或重合 2当两条直线给出一般式时，平行与垂直关系利用系数关系解决即l1：A1xB1yC1 0；l2：A2xB2yC20.l1l2?A1B2A2B1 0，且B1C2B2C1 0；l1l2?A1A2B1B20. 例 2 已知两条直线l1：axby40，l2：(a 1)xyb0，求分别满足下列条 件的a，b的值： (1) 直线l1过点 ( 3， 1)，并且直线l1与直线l2垂直； (2) 直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等 解： (1) 因为l1l2， 所以a(a1) ( b)21 0，即a 2a b0. 又因为点 ( 3， 1) 在l1上，所以 3ab40. 由解得a2，b2. (2) 因为l1l2，且l2的斜率为1a， 所以l1的斜率也存在，且 a b1 a，即b a 1a. 故l1和l2的方程可分别表示为 l1： (a1)xy4（ a1） a 0，l2： (a1)xy a 1a0. 因为原点到l1与l2的距离相等， 所以 4 a1 a a 1a ，所以a 2 或a 2 3. 所以 a2， b 2或 a 2 3， b2. 归纳升华 考查两条直线的平行与垂直关系时，通常有两种方式可以选择；一是直线方程以斜截式 给出，此时可通过斜率和直线在y轴上的截距来处理；二是直线方程以一般式给出，此时 可转化为斜率和直线在y轴上的截距来处理，也可直接利用系数处理 5 变式训练 已知经过点A( 2，0)和点B(1 ， 3a) 的直线l1与经过点P(0 ， 1) 和点 Q(a， 2a) 的直线l2互相垂直，求实数a的值 解：l1的斜率k1 3a0 1（ 2） a. 当a0时，l2的斜率k2 2a（ 1） a0 12a a . 所以l1l2， 所以k1k2 1，即a2 12a a 1，得a1. 当a0 时，P(0， 1) ，Q(0 ，0)，这时直线l2为y轴， A( 2， 0) ，B(1，0) ，这时直线l1为x轴，显然l1l2. 故实数a的值为 0 或 1. 专题三距离问题 解决解析几何中的距离问题时，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合，三种距离 是高考考查的热点，公式见下表： 类别已知条件公式 两点间的距 离 A(x1，y1) ，B(x2，y2) |AB| （x2x1）（y2y1） 2 点到直线的 距离 P(x0，y0) ，l：AxByC0(A， B不同时为0) d| Ax0By0C| A 2 B 2 两平行直线 间的距离 l1：AxByC10，l2：AxBy C20(A，B不同时为0) d| C2C1| A 2 B 2 例 3 求在两坐标轴上截距相等，且与点A(3 ，1)的距离为2的直线方程 解： 当在两坐标轴上的截距相等且为0，即直线过原点时，设直线的方程为y kx(k0)，即kxy0. 由已知，得 |3k1| k 2 1 2，整理得7k 26k10， 解得k 1 7或 1， 所以所求直线方程为x7y0 或xy0. 当在两坐标轴上的截距相等且不为0 时， 直线的斜率为1，设直线为xyC 0(C0)， 由已知得 |4 C| 2 2，解得C 6 或C 2. 6 所以所求直线方程为xy 60 或xy20. 综上，所求直线方程为x7y0 或xy0 或xy6 0 或xy2 0. 归纳升华 1求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式 方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可 2对于与坐标轴平行( 或重合 ) 的直线xa或yb，求点 (x0，y0) 到它们的距离时，既 可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d|x0a| 或d|y0b|. 3若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程 求解 变式训练 直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4 ，3) 到直线l的距离为 32，求 直线l的方程 解： 当所求直线经过坐标原点时， 设其方程为ykx(k0)，由点到直线的距离公式可得 |4k 3| k 21 32，解得k6± 3 2 14. 故所求直线的方程为y 6± 3 2 14x. 当直线不经过坐标原点时， 设所求方程为 x a y a1， 即xya0，由题意可得 |4 3a| 2 32， 解得a1 或a13. 故所求直线的方程为xy 10 或xy130. 综上可知，所求直线的方程为y 6± 3 2 14x或 xy10 或xy 130. 专题四数形结合思想的应用 数形结合是解析几何的灵魂，两点间的距离公式和点到直线的距离公式是数形结合常见 的结合点， 常用这两个公式把抽象的代数问题转化为几何问题来解决，也能把几何问题转化 为代数问题来解决： 例 4 已知点M(3 ，5) ，在直线l：x2y 20 和y轴上各找一点P和Q，使MPQ 的周长最小 解： 由点M(3 ，5) 及直线l：x2y20，可求得点M关于l的对称点M1(5， 1) ， 同理可得点M关于y轴的对称点M2( 3，5) ，如图所示 7 根据M1，M2两点可得直线M1M2的方程为x2y70. 令x0，得直线M1M2与y轴的交点Q0，7 2 ， 解方程组 x2y70， x2y20， 得两直线的交点P 5 2， 9 4 . 所以点P 5 2， 9 4 与点Q0， 7 2 即为所求 归纳升华 利用直接求解法比较烦琐时，可从图形方面考虑，利用数形结合的方法来求解，从而使 问题变得形象、直观，利于求解 变式训练 求yx 2 x1x 2 x 1的值域 解： 原式可变形为 y x1 2 2 3 4 x1 2 2 3 4， 它表示动点P(x， 0) 到点A 1 2， 3 2 和点B1 2， 3 2 的距离之差， 如图所示， 即y|PA| |PB|. 由于 |PA| |PB|AB| 1，所以 |y|1 ，即 1y1. 所以该函数的值域为( 1，1)