数学物理方法期末考试答案.pdf
数学物理方法(A 卷解答 )第 1 页 共 8 页 天津工业大学 （20092010 学年第一学期） 数学物理方法 (A) 试卷解答( 2009.12 理学院 ) 特别提示 ：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它 处视为作弊。 本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 满分30 42 20 8 总分 复 核 题目 一二三 四 得分 评阅人 一. 填空题 (每题 3 分, 共 10 小题) 1. 复数 i e 1 的指数式为： i ee； 三角形式为：)1sin1(cosie. 2. 以复数 0 z为圆心，以任意小正实数为半径作一圆， 则圆内所有点 的集合称为 0 z点的邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是不等价的 (什么关系？ ). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即f0 . - 密 封 线 - 密 封 线 - 密 封 线 - 学 院 专 业 班 学 号 姓 名 装 订 线 装 订 线 装 订 线 满分30 得分 数学物理方法(A 卷解答 )第 2 页 共 8 页 5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 于该区域的点，这样的区域称为复通区域. 6. 若函数)(zf在某点 0 z不可导，而在 0 z的任意小邻域内除 0 z外处处可 导，则称 0 z为)(zf的孤立奇点. 7. 函数的挑选性为)()()( 00 tfdtf. 8. 在数学上，定解条件是指边界条件和 初始条件. 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为波动方程、 输运方程和稳定场方程. 10. 写出 l 阶勒让德方程 : 0)1(2)1 ( 2 2 2 ll dx d x dx d x. 二. 计算题 ( 每小题 7 分，共 6 小题) 满分42 得分 数学物理方法(A 卷解答 )第 3 页 共 8 页 1. 已 知 解析 函 数)(zf的 实 部xyyxyxu 22 ),(， 求该 解 析 函 数 (0)0(f). 解：yxu x 2，xyuy2，2 xx u，2 yy u. 0 xxyy uu, ( , )u x y是调和函数 . 2分 利用柯西 - 黎曼条件 xy uv, xy vu, 即，xyvx2,yxvy2， 2分 于是， ),( )2()2( yx Cdyyxdxxyv )0,( )0,0( ),( )0,( )2()2()2()2( xyx x Cdyyxdxxydyyxdxxy C xy xy 22 2 22 . 2分 所以，) 2 1()( 2i zzf. 1分 2. 给出如图所示弦振动问题在 0 x点处的衔接条件 . 解： ),0(),0( 00 txutxu, 2 分 0sinsin)( 21 TTtF, 2 分 又因为 ),0(sin011txutgx, ),0(sin022txutgx, 2 分 所以， )(), 0(),0( 00 tFtxTutxTu xx . 1 分 数学物理方法(A 卷解答 )第 4 页 共 8 页 3. 由三维输运方程推导出亥姆霍兹方程. 解：三维输运方程为 0 2 uaut (1分) 分离时间变数 t 和空间变数 r , 以 )()(),(rvtTtru (2分) 上式代入方程 , 得 v v Ta T 2 (1分) 令上式等于同一常数 2 k, 2 2 k v v Ta T (2分) 则得骇姆霍兹方程为 0 2 vkv (1分) 4. 在0 0 z邻域把 m zzf)1()(展开(m不是整数 ) . 解：先计算展开系数： m zzf)1()(， m f1)0(； )( 1 )1 ()( 1 zf z m zmzf m ； m mf1)0(； 2 )1)(1()( m zmmzf m mmf1) 1()0(；5 分 )( )1 ( ) 1( 2 zf z mm , 所以， m z)1 (在0 0 z邻域上的泰勒级数为 2 1 ! 2 ) 1( 1 ! 1 1)1 (z mm z m z mmmm 2 ! 2 )1( ! 1 11z mm z mm . 2分 数学物理方法(A 卷解答 )第 5 页 共 8 页 5. 计算 2 2 sin21 z z zdz . 解：因为 4 nz(n为整数，包括零 ) ，有0)sin21 ( 2 z，因 此， 4 0 nz是极点 . 但是，在2z圆内的极点只有 4 . 又由于 1 分 4 sin21 ) 4 (lim 2 4 z z z z ，2 分 4 sin21 ) 4 (lim 2 4 z z z z ，2 分 所以， isfsfi z zdz z 2 2 2 ) 4 (Re) 4 (Re2 sin21 . 2 分 6. 求拉氏变换costL,为常数 . 解: )( 2 1 cos titi eet, sp eL st 1 2分 )( 2 1 cos titi eeLtL 2 1 2 1 titi eLeL2 分 ipip 11 2 1 2 分 22 p p 0Re p1 分 数学物理方法(A 卷解答 )第 6 页 共 8 页 三. 计算题 求解两端固定均匀弦的定解问题 0 2 xxtt uau 0 0x u，0 lx u， )( 0 xu t ，)( 0 xu tt . 解: 设此问题的解为 )()(),(tTxXtxu 代入方程和初始条件，得 0 2 TXaTX， 0)()0(tTX，0)()(tTlX， 可得， X X Ta T 2 ， 0)0(X，0)(lX， 令， X X Ta T 2 所以， 0)(,0)0( 0 lXX XX ，(本征值问题 ) 0 2T aT 下面先求解本征值问题： 当0时， xx ececxX 21 )(， 满分20 得分 数学物理方法(A 卷解答 )第 7 页 共 8 页 由初始条件，得0 21 cc， 因此，0),(txu，解无意义 . 当0时， 21 )(cxcxX， 同样由初始条件，得0 21 cc， 因此，0),(txu，解无意义 . 当0时，xcxcxXs i nc o s)( 21 ， 由初始条件，得0 1 c，0sin 2 lc， 所以，0sinl，即，nl(n为正整数 )， 因此本征值为： 2 22 l n ,3 ,2, 1n 本征函数为： l xn cxXsin)( 2 ， 2 c为任意常数 . 10 分 方程0 2T aT的解为： l atn B l atn AtTsincos)(， 因此， l xn l atn B l atn Atxu nnn sinsincos),(， 此问题的通解为： l xn l atn B l atn Atxutxu nn nn n sinsincos),(),( 11 ， 代入初始条件得 1 )(sin n n x l xn A， 1 )(s i n n n x l xn l an B， 所以， l n d l n l A 0 s i n)( 2 ， l n d l n an B 0 s i n)( 2 . 10 分 数学物理方法(A 卷解答 )第 8 页 共 8 页 四. 简答题 给出泊松方程，并说明求解此方程的方法、步骤. 解：泊松方程为：),(zyxfu 3分 令wvu，取v唯一特解， 2分 则0fuvuw 2分 然后求解拉氏方程0w得w。 1分 满分8 得分
