高中数学第一章统计案例1.1回归分析残差分析的相关概念辨析及应用素材.pdf

残差分析的相关概念辨析及应用 在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可 以用线性回归模型来拟合数据然后，可以通过残差 2 1 , n eee来判断模型拟合的效果， 判断原始数据中是否存在可疑数据这方面的分析工作称为残差分析. 残差分析一般有两种 方法 :(1) 作残差图；（ 2）利用相关指数R 2 来刻画回归效果. .,2, 1, niaxbyyye iiiii i e称为相应于点 (x i，yi) 的残差类比样本方 差估计总体方差的思想，可以用)2)(,( 2 1 2 1 1 2 2 nbaQ n e n n i i 作为 2 的估计 量，其中 a和 b由公式xbya , n i i n i ii xx yyxx b 1 2 1 )( )( 给出， Q( a， b) 称为 残差平 方和 . 可以用 2 衡量回归方程的预报精度通常， 2 越小，预报精度越高 例 1设变量 x,y 具有线性相关关系，试验采集了5 组数据， 下列几个点对应数据的采 集可能有错误的是( ) A点 A B.点 B C.点 C D.点 E 思路与技巧由散点图判断出，点A,B,C,D,F呈线性分布，E点远离这个区域，说明点 E数据有问题 解答 D 评析可以用 Excel 画散点图， 样本的散点图可以形象的展示两个变量的关系，画散点 图的目的是用来确定回归模型的形式，若散点图呈条状分布，则 x 与 y 有较好的线性相关关 系，散点图除了条状分布，还有其他形状的分布 例 2为研究重量x( 单位：克 )对弹簧长度y( 单位：厘米 ) 的影响，对不同重量的6 根 弹簧进行测量，得如下数据： (1) 画出散点图 (2) 如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y 与 x 之间的回归直线方程 (3) 求出残差，进行残差分析 思路与技巧可以用 Excel 画散点图，由散点图发现x 与 y 是否呈线性分布，由此判断 x 与 y 之间是否有较好的线性相关关系，若有，求出线性回归方程，再画出残差图，进行残 差分析 解答 (1) 由 Excel 表格画散点图如图 (2) 设y ?=bx+a 是线性回归直线方程， 以重量为横坐标，以残差为纵坐标画残差图如图 由残差图看出，这些样本点的残差对应点均匀地落在水平带状区域内，宽度越窄，说 明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高 评析回归模型中，残差变量不能被直接观测到，必须通过模型拟合后计算得到画残 差散点图的目的就是直观观测残差图，发现观测数据中可能出现的错误及所用模型是否恰 当，若样本点残差较大，需确认这个点在采集过程中是否存在错误，若有，需重新采集数据， 重新利用数据拟合若采集数据没有错误，就另找原因 若残差点比较均匀地落在水平带状 区域内，说明选用模型较合适，带状区域宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程预报精度 越高 同学们学习残差时应明确以下几点：（1）误差 e受许多条件的影响，也受所选用的线 性模型的影响， 因此线性模型往往只是一种近似的模型.（2）作残差图有时不够精确，也难 于认定拟合程度的好坏，因而多数情况下，选用计算相关指数R 2 来说明拟合效果. （3）可 以对某组数据采用几种不同的回归方程进行分析，也可以比较几个R 2 的值，选择R 2 大的模 型作为这组数据的回归模型. （4）回归方程只适用于我们所研究的样本的总体; 建立的回归 方程一般都有时间性; 样本取值的范围会影响回归方程的适用范围, 一般不能超过这个范围， 否则没有实用价值; 不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值，它是预报变量 的可能取值的平均值。 练习 : 为研究重量x( 单位：克）对弹簧长度y（单位：厘米）的影响，对不同重量的6 根弹 簧进行测量，数据如下表： （1) 画出散点图 (2) 如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y 与 x 之间的回归直线方程 (3 ）对 x.y 两个变量进行相关性检验 （4) 残差平方和是多少？ 解：（ 1) 如下图所示 从散点图看，这是一个属于线性回归模型的问题 由于 r 与 1 非常接近，说明y 与 x 之间存在线性相关关系 0.013179 ，即残差平方和是0.013179.