高考数学玩转压轴题专题1.7极值点偏移第五招___函数的选取.pdf

专题 1.7 极值点偏移第五招 - 函数的选取 于极值点偏移问题，前文已多次提到其解题策略是将多元问题（无论含参数或不含参数）转 化为一元问题， 过程都需要构造新函数. 那么， 关于新函数的选取，不同的转化方法就自然 会选取不同的函数. 已知函数e x fxax有两个不同的零点 1 x， 2 x，其极值点为 0 x （1）求a的取值范围； （2）求证： 120 2xxx； （3）求证： 12 2xx； （4）求证： 12 1x x 解： （1）e x fxa，若0a，则0fx，fx在R上单调递增， fx至多有一个零点，舍去；则必有0a，得fx在,ln a上递减， 在ln ,a上递增，要使fx有两个不同的零点，则须有ln0efaa （严格来讲， 还需补充两处变化趋势的说明：当x时，fx；当x时， fx） （3）由所证结论可以看出，这已不再是fx的极值点偏移问题，谁的极值点会是1 呢？ 回到题设条件： （ii ）构造函数2G xg xgx，则 2 22 2 22 2 e1e1 2 ee 1 2 xx xx Gxgxgx xx x x x x x （4） （i ）同上； （ii ）构造函数 1 G xg xg x ，则 1 1 2 222 2 11 1 e1 e11 1 ee 1 x x x x Gxgxg xx x x xx x x x x 当01x时，10x，但因式 1 ee x x x的符号不容易看出，引进辅助函数 1 ee x x xx， 则 1 1 e1 e x x x x ，当0 , 1x时，0x， 得x在0,1 上递增，有10x， 则0Gx， 得G x在0,1上递增，有10G xG， 即 1 01g xgx x ； （iii）将 1 x代入（ ii ）中不等式得 12 1 1 g xg xg x ，又 2 1x， 1 1 1 x ，g x在 1,上递增，故 2 1 1 x x ， 12 1x x 点评：虽然做出来了，但判定因式 2 22 ee 2 xx x x 及 1 ee x x x的正负时，均需要辅助函数的 介入，费了一番功夫，虽然g x的极值点是1，理论上可以用来做（3） 、 （4）两问，但实 践发现略显麻烦，我们还没有找到理想的函数 再次回到题设条件： 0eelnlnlnln x fxax axaxxxa，记函数lnh xxx， 则有 12 lnh xh xa接下来我们选取函数h x再解（ 3） 、 （4）两问 （3） （i ） 1 1hx x ，得h x在0,1上递减，在1,上递增，有极小值11h， 又当0x 时，h x；当x时，h x， 由 12 h xh x不妨设 12 01xx 【点评】用函数lnh xxx来做（ 3） 、 （4）两问，过程若行云流水般，格外顺畅这说 明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度 注 1：第（ 2）问也可借助第（4）问来证：将 11 lnlnxxa， 22 lnlnxxa相加得 12120 ln2ln2ln2xxx xaax 注 2：在第（ ii ）步中，我们为什么总是给定 1 x的范围？这是因为 1 x的范围0,1较 2 x的范 围1,小，以第（ 3）问为例，若给定1,x，因为所构造的函数为 2H xh xhx，这里0x，且20x，得02x，则当2x时，H x 无意义，被迫分为两类： 若 2 2x，则 122 2xxx，结论成立； 当1,2x时，类似于原解答 而给字0,1x，则不会遇到上述问题当然第（4）问中给定 1 x或 2 x的范围均可，请读 者自己体会其中差别 【思考】 练习 1： （查看热门文章里极值点偏移（1） ）应该用哪个函数来做呢？ 提示：用函数 ln x y x 来做 2 12 ex x，用函数lnyxax来做12 2 xx a 练习 2 ： （安徽合肥2017 高三第二次质量检测）已知ln()fxxmmx （1）求fx的单调区间； （2）设1m, 1 x， 2 x为函数fx的两个零点，求证 12 0xx. 提示：将0fx，两边取对数转化为指数方程处理. 【招式演练】 已知函数 1 ( )ln()fxax aR x 有两个零点 1212 ,()x xxx， 求证： 1 12 231 a xxe. 只要证： 1 12 12 3 2 axx xxe即证： 1 12 2 a xxe，即证： 1 21 2 a xex，由( )h x的 单调性知，只需证： 1 121 ()()(2e) a h xh xhx， 同理构造函数 1 ( )( )(2),(0,1) a H xh xhex x，利用单调性证明，下略. 已知( )lnf xxx的图像上有,A B两点，其横坐标为 12 01xx，且 12 ()()f xf x. （1）证明： 12 2 1xx e ； （2）证明： 12 2 1xx e . 又构造函数： 1 ( )( )(1),(0) 2 g xf xfxx， 则 1112 ( )lnln(1)2,( )0 1(1) x g xxxgx xxxx ， 故( )g x在 1 (0,) 2 上单调递增，由于0x时，( )gx， 且 1 ( )ln(1)0ge e ， 故必存在 0 1 (0,)x e ，使得 0 ()0gx， 故( )g x在 0 (0,)x上单调递减，在 0 1 (,) 2 x上单调递增， 又 0x 时，( )0g x，且 1 ()0 2 g， 故( )0g x在 1 (0,) 2 x上恒成立， 也即( )(1)f xfx在 1 (0,) 2 x上恒成立， 令 1 xx，有 121 ()()(1)f xf xfx， 再由 21 1 ,1(,1)xx e ，且( )f x在 1 (,1) e 上单调递增， 故 21 1xx，即证： 12 1xx成立 . 综上：即证 12 2 1xx e 成立 . 从而( )(1)h tht对 1 (0,) 2 t恒成立，同理得出： 12 1tt. 综上：即证 12 2 1tt e 成立，也即原不等式 12 2 1xx e 成立 . 已知函数lnfxxmx mR （1）若曲线yfx过点1, 1P，求曲线yfx在点P处的切线方程； （2）求函数fx在区间1,e上的最大值； （3）若函数fx有两个不同的零点 1 x， 2 x，求证： 2 12 xxe 【 答 案 】 （ 1）1y；（ 2 ） 当 1 m e 时 ， max 1fxme， 当 1 1m e 时 ， max ln1fxm，当1m时， max fxm； （3）证明见解析 . 试题解析： （1）因为点1, 1P在曲线yfx上，所以1m，解得1m 因为 1 '10fx x ，所以切线的斜率为0， 所以切线方程为1y （2）因为 11 ' mx fxm xx ， 当0m时，1,xe，'0fx， 所以函数fx在1,e上单调递增，则 max 1fxf eme； 当 1 e m ，即 1 0m e 时，1,xe，'0fx， 所以函数fx在1,e上单调递增，则 max 1fxf eme； 当 1 1e m ，即 1 1m e 时， 函数fx在 1 1, m 上单调递增，在 1 ,e m 上单调递减， 则 max 1 ln1fxfm m ； 当 1 01 m ，即1m时，1,xe，'0fx， 函数fx在1,e上单调递减，则 max 1fxfm 综上，当 1 m e 时， max 1fxme； 当 1 1m e 时， max ln1fxm； 当1m时， max fxm 令 1 2 1 x x ，则1t，于是 21 ln 1 t t t ， 令 21 ln 1 t ftt t （1t） ， 则 2 22 114 '0 11 t ft t tt t ， 故函数f t在1,上是增函数， 所以10f tf，即 21 ln 1 t t t 成立，所以原不等式成立 所以10f tf，即 21 ln 1 t t t 成立，所以原不等式成立 【方法点晴】本题主要考查导数与切线的问题，考查导数与极值、最值的问题，考查构造函 数法证明不等式的方法. 第一问涉及求函数的参数，只需代入点的坐标解方程即可，涉及切 线问题利用导数和斜率的对应关系易得.第二问求函数在某个区间上的最大值，需要对m进 行分类讨论，分类的依据是导数的零点是否在定义域内. 第三问要证明不等式，先将其转化 为同一个参数 t，然后利用导数求其最小值来求 . 已知函数 2 lnfxaxx. （1）当 2a 时，求函数yfx在 1 ,2 2 上的最大值； （2） 令g xf xa x， 若yg x在区间0,3上为单调递增函数，求a的取值范围； （3）当2a时，函数h xfxmx的图象与x轴交于两点 12 ,0 ,0 ,A xB x且 12 0xx，又hx是h x的导函数 . 若正常数,满足条件1,. 证明： 12 hxx0. 【答案】（1） 1（2） 9 2 a （3），理由见解析 用分离参数 2 2x a x1 在 0,3 上恒成立，即求 2 2x x1 的最大值 . （ 3 ）有 两 个 实 根， 两 式 相 减 ，又 2 hx2xm x ， 12 h x x 要证： 12 h x x0 ，只需证： ，令可证 . 试题解析：（ 1）2 222x fx2x, xx 函数在,1 是增函数，在1,2是减函数， 所以 于是 12 121212 1212 2 lnxlnx 2 h x x2 x xxx x xxx 21 1,2a1,2a1xx0.且 要证： 12 h x x0 ，只需证： 只需证：(*) 令， (*) 化为，只证即可 u t 在（ 0，1）上单调递增， 即 已知函数 （ ）当时，求的单调区间和极值. （ ）若对于任意，都有成立，求的取值范围； （ ）若且证明： 【答案】详见解析；详见解析. 试题解析： 时,因为所以 函数的单调递增区间是，无单调递减区间, 无极值； 当时，令解得， 当时，当 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 在区间上的极小值为无极大值 由题意， 即问题转化为对于恒成立 即对于恒成立 , 令, 则 令, 则 所以在区间上单调递增 ,故故 所以在区间上单调递增 , 函数 要使对于恒成立 , 只要, 又即证 构造函数 即 因为, 所以即 所以函数在区间上单调递增 , 故 而故 所以即所以成立 点睛： 本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强， 难度 大，属于难题处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能 写点， 一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手， 求导后注意分类讨论，对于恒成立 问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数 问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会 已知函数 2 ln (0).fxaxxx a ( ) 求fx的单调区间； （）设fx极值点为 0 x，若存在 12 ,0,x x，且 12 xx，使 12 fxfx，求 证： 120 2.xxx 【答案】（1）增区间为： 181 ,. 4 a a 减区间为： 181 0,. 4 a a ； （2）见解 析. 试题解析：（）fx的定义域为 2 121 0,21 axx fxax xx ， 0,a由0fx得: 181 4 a x a 由0fx得增区间为： 181 ,. 4 a a 由0fx得减区间为： 181 0,. 4 a a （）要证 120 2xxx，只需证 12 0. 2 xx x 由（）知 0 1811 ,21(0) 4 a xfxaxa ax 在0,上为增函数， g t在上是增函数，10g tg，即 2 1 2 2 1 1 21 ln0. 1 x x x x x x 又 12 21 1 0,0 2 xx f xx 成立，即 120 2.xxx 已知函数 2 ln2,g xxaxa x aR. (1) 求g x的单调区间； (2) 若函数 2 12fxg xaxx， 1212 ,()x xxx是函数fx的两个零点， fx是函数fx的导函数，证明： 12 0 2 xx f. 【答案】（1）见解析（ 2）见解析 【解析】试题分析：（ 1）先求函数导数，根据导函数是否变号进行讨论，当 0a 时， 0gx，g x递增，当0a时，导函数有一零点，导函数先正后负，故得增区间为 1 0, a ， 减 区 间 为 1 , a ； （ 2 ） 利 用 分 析 法 先 等 价 转 化 所 证 不 等 式 ： 要 证 明 12 0 2 xx f， 只 需 证 明 12 1212 lnln2 0 xx xxxx 12 (0)xx， 即 证 明 12 12 12 2 lnln xx xx xx ， 即 证 明 1 21 1 2 2 21 ln 1 x xx x x x ， 再 令 1 2 0, 1 x t x ， 构 造 函 数 1ln22h tttt，利用导数研究函数h t单调性，确定其最值：h t在0,1上 递增，所以10h th，即可证得结论. 试题解析： (1) g x的定义域为0,， 1 22gxaxa x 当0a时，0gx，g x递增 当 0a 时， 2 221211 1 22 axa xxax gxaxa xxx 1 0,0,xgxg x a 递增； 1 ,0,xgxg x a 递减 综上：当0a时，g x的单调增区间为 1 0, a ，单调减区间为 1 , a 当0a时，g x的单调增区间为0, 即证明 12 12 12 2 lnln xx xx xx ，即证明 1 2 1 1 2 2 21 ln* 1 x x x x x x 令 1 2 0,1 x t x ，则1ln22h tttt 则 1 ln1h tt t ， 2 11 0ht tt h t在0,1上递减，10h th，h t在0,1上递增，10h th 所以*成立，即 12 0 2 xx f 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数h xfxg x. 根据 差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式. （2） 根据条件，寻找目标函数. 一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或 利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 已知函数F x与lnfxx的图象关于直线yx对称 . （1）不等式1xfxax对任意0,x恒成立，求实数a的最大值； （2）设1fx F x在1,内的实根为 0 x， 0 0 ,1 m , xfxxx xx xx fx ，若在区间 1,上存在1212()m xm xxx，证明： 12 0 2 xx x. 【答案】（1）1（2）见解析 12 0 2 xx x： 要 证 ： 12 0 2 xx x， 即 证 ： 2010 2xxxx， 只 要 证 2012mxmxx ，即证 1012m xmxx ，构造函数 0 0 02 2 ln,1 xx xx h xxxxx e ，其中 0 0h x. 利用导数可得h x在 0 1,x上单调递 增，即得 0 0h xh x 试题解析：（ 1）由1xfxax，所以 1 lnax x ， 设 1 lng xx x ， 22 111x gx xxx . 由0gx，1x，g x在1,上单调递增； 0gx，01x，g x在0,1上单调递减，所以 min 11g xg，即a1， 所以实数a的最大值为1. 而0t，故 1 0t e ，而 0 20xx，从而 0 0 2 21 0 xx xx ee ， 因此当 000 00 222 1x2211 1ln1ln10 xxxxxx xxx hxxx eeee ， 即h x单调递 增. 从而当 0 1xx时， 0 0h xh x，即 01 01 11 2 2 ln xx xx xx e ，故 12 0 2 xx x得证 . 已知函数ln( ,fxaxxb a b为实数 ) 的图像在点 1,1f处的切线方程为1yx. （1）求实数,a b的值及函数fx的单调区间； （2）设函数 1fx g x x ，证明 1212()g xg xxx 时， 12 2xx. 【答案】（ 1）函数fx的单调递减区间为 1 0, e ，单调递增区间为 1 , e ； （ 2）见解 析. 已知lnfxxmmx. （）求fx的单调区间； （）设1m， 1 x， 2 x为函数fx的两个零点，求证： 12 0xx. 【答案】（）见解析；（）见解析. 【解析】试题分析: （）根据导数 1 'fxm xm ，分类讨论，当 0m 时， 1 '0fxm xm ；当 0m 时， 1 1 ' m xm m fxm xmxm ，由 '0fx 得 1 ,xmm m ， 1 ,xmm m 时，'0fx， 1 ,xm m 时， '0fx，即可得出单调区间； （）由（） 知fx的单调递增区间为 1 ,mm m ， 单调递减区间为 1 ,m m 不妨设 12 mxx，由条件知 11 22 ln xmmx ln xmmx ，即 1 2 1 2 mx mx xme xme ，构造函数 mx g xex， mx g xex与ym图像两交点的横坐标 为 1 x， 2 x，利用单调性只需证 11 2lnm g xgx m 构造函数利用单调性证明 点睛： 本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强， 难度 大，属于难题处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能 写点， 一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手， 求导后注意分类讨论，对于恒成立 问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数 问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会 已知函数 2 1ln 1fxxax， aR （）若函数fx为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围； （）若函数fx存在两个极值点 1 x， 2 x，且 12 xx，证明： 12 21 fxfx xx 【答案】（1） 1 , 2 （2）详见解析 . 若480a， 即 1 2 a， 方 程 2 220xxa的 两 根 为 1 112 2 a x， 2 112 2 a x， 当 1 ,xx时，'0fx， 所以函数fx单调递减， 当 1 1 , 2 xx 时，'0fx，所以函数fx单调递增，不符合题意 综上，若函数fx为定义域上的单调函数，则实数 a的取值范围为 1 , 2 （）因为函数fx有两个极值点，所以'0fx在1x上有两个不等的实根， 即 2 220xxa在1x有两个不等的实根 1 x， 2 x， 于是 1 0 2 a， 12 12 1, , 2 xx a x x 且满足 1 1 0, 2 x ， 2 1 ,1 2 x ， 2 11111121 111 222 1ln 1112ln 1 12 ln 1 f xxaxxxx xx xxx xxx ， 同理可得 2 222 1 12 ln 1 fx xxx x 12 21112222222 21 2 ln 12ln 121 2 1ln2ln 1 fxfx xxxxxxxxxxx xx ，令212 1ln2 ln 1g xxxxxx， 1 ,1 2 x 22 '2ln1 1 x gxxx xx ， 1 ,1 2 x， 1 1 4 xx，2ln10xx ， 又 1 ,1 2 x 时， 22 0 1 x xx ，'0gx，则g x在 1 ,1 2 x 上单调递增， 所以 1 0 2 g xg ，即 12 21 0 fxfx xx ，得证 已知函数lnfxxa x与3 b g x x 的图象在点1,1处有相同的切线 （）若函数2yxn与yfx的图象有两个交点，求实数n的取值范围； （）若函数32 22 mm Fxxg xfx 有两个极值点 1 x， 2 x，且 12 xx，证 明： 22 1Fxx 【答案】（） 1 , 2 ； （）证明过程见解析； （）由题意，函数2ln m F xxx x ，其定义域为0,， 2 22 22 '1 mxxm Fx xxx ， 令'0Fx，得 2 20xxm，其判别式44m， 函数F x有两个极值点 1 x， 2 x，等价于方程 2 20xxm在0,内有两不等实根， 又 12 0x x，故01m 所以 2 11xm，且 2 12x， 2 22 2mxx， 2 22 2222222 2 2 12ln12ln1 xx F xxxxxxx x ， 令2ln1h ttt，12t， 则 22 '1 t ht tt ， 由于12t，'0h t，故h t在1,2上单调递减 故11 2ln1 10h th 所以 222 10F xxh x， 所以 22 1Fxx 点睛： 此题主要考查函数导数的几何意义，以及函数单调性、最值在不等式证明中的综合应 用能力等有关方面的知识，属于高档题型，也是高频考点. 在问题（）中根据导数几何意 义建立方程组， 求出函数fx解析式，再由题意构造函数T x， 将问题转化为求函数T x 的零点个数，利用导数求出函数T x的最值、单调区间，从而求出实数n的取值范围；在 问题（）中，由（）可求出函数F x的解析式，依据导数与极值点的关系求出参数m 的范围，并求出参数m与极值点 2 x的关系式， 根据问题构造新的函数h t， 再用函数h t 的单调性证明不等式成立.