北京市2016届高三数学一轮专题突破训练《数列》(文)及答案.pdf

北京市 2016 届高三数学文一轮复习专题突破训练 数列 一、填空、选择题 1、（2013 年北京高考）若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q _；前n项 和Sn_ 2、（昌平区2015 届高三上期末）已知数列 n a满足 * 1 34(1), nn aannN，且,9 1 a其 前n项之和为 n S，则满足不等式 1 |6| 40 n Sn成立的n的最小值是 A.7 B.6 C.5 D.4 3、 （房山区2015 届高三一模） 已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a， 1 2 nn Sa，则 n S（） A 1 2 n B 1 ) 2 3 ( n C 1 ) 3 2 ( n D 1 2 1 n 4、（海淀区2015 届高三一模）已知 n a为等差数列， n S为其前n项和 . 若 3 6a， 15 SS，则 公差d_； n S的最小值为 . 5、（海淀区2015 届高三二模）已知数列 n a的前n项和为 n S，0() * N n an， 1nnn a aS， 则 31 aa . 6、已知等差数列ba, 1,等比数列5,2,3ba, 则该等差数列的公差为（） A3 或3B 3或1C3D3 7、设 n S为等比数列 n a的前n项和 , 34 20aa, 则 3 1 S a （） A2 B 3 C4 D5 8、等差数列 n a 中, 234 3,9,aaa 则 16 a a 的值为（） A14B18C21 D27 9、在等差数列 n a中, 79 16aa, 4 1a, 则 12 a的值是（） A15 B 30 C31 D64 10、已知 n a 为等差数列 , n S为其前n项和 .若 194 18,7aaa+= , 则 10 S = （） A 55 B 81 C 90 D100 二、解答题 1、 （ 2015 年北京高考）已知等差数列 n a满足 12 10aa， 43 2aa （）求 n a的通项公式； （）设等比数列 n b满足 23 ba， 37 ba，问： 6 b与数列 n a的第几项相等？ 2、 （2014 年北京高考） 已知 n a是等差数列， 满足 1 3a， 4 12a， 数列 n b满足 1 4b， 4 20b， 且 nn ba为等比数列 . （）求数列 n a和 n b的通项公式； （）求数列 nb 的前n项和 . 3、（ 2013 年北京高考）给定数列a1，a2，an，对i1，2，n1，该数列前i项的最大值 记为Ai，后ni项ai 1，ai 2，an的最小值记为Bi，diAiBi. (1) 设数列 an 为 3，4， 7，1，写出d1，d2，d3的值； (2) 设a1，a2，an(n4)是公比大于1 的等比数列，且a10. 证明：d1，d2，dn1是等比 数列； (3) 设d1，d2，dn1是公差大于0 的等差数列，且d10，证明：a1，a2，an 1是等差数列 4、（昌平区2015 届高三上期末）在等比数列 n a中， 25 2,16aa. （I ）求等比数列 n a的通项公式； （II ）若等差数列 n b中， 1582 ,ba ba，求等差数列 n b的前n项的和 n S，并求 n S的最大 值. 5、（朝阳区2015 届高三一模）设数列 n a的前n项和为 n S，且 1 4a， 1nn aS，nN. （）写出 2 a， 3 a， 4 a的值； （）求数列 n a的通项公式； （）已知等差数列 n b中，有 22 ba， 33 ba，求数列 nn ab的前n项和 n T 6、 （东城区2015 届高三二模） 已知等比数列 n a的前4项和 4 5S，且 122 3 4, 2 aaa成等差数列 （）求 n a的通项公式； （）设 n b是首项为2，公差为 1 a的等差数列，其前n项和为 n T，求满足 1 0 n T的最大正整 数n 7、（房山区2015 届高三一模）已知数列 n a中，点),( 1nn aa在直线2xy上，且首项 1 a是方 程0143 2 xx的整数解 . （）求数列 n a的通项公式； （）数列 n a的前n项和为 n S，等比数列 n b中， 11 ab， 22 ab，数列 n b的前n项和 为 n T，当 nn ST时，请直接写出n的值 . 8、（丰台区2015 届高三一模）已知等差数列 n a和等比数列 n b中， 11 1ab， 22 ab， 43 2ab （）求数列 na和 n b的通项公式； （）如果 mn ab * (N )n，写出m，n的关系式( )mf n，并求(1)(2)( )fff n 9、 （丰台区 2015 届高三二模） 已知等差数列 n a的前n项和为 n S，等比数列 n b满足 11 1ab， 33 2Sb， 55 1Sb （）求数列 n a， n b的通项公式； （）如果数列 n b为递增数列，求数列 nn a b的前n项和 n T 10、（海淀区2015 届高三一模）已知数列 n a的前n项和为 n S, 1 2(*) nn aanN，且 2 a是 2 S 与1的等差中项 . （）求 n a的通项公式； （）若数列 1 n a 的前n项和为 n T, 且对*nN, n T恒成立 , 求实数的最小值 . 11、（海淀区2015 届高三二模）已知数列 n a是首项为2，公比为 2 的等比数列，又数列 n b满足 nn ab 2 log2， n S是数列 n b的前n项和 . （）求 n S； （）若对任意的*nN，都有 nk nk SS aa 成立，求正整数k的值 . 12、 （石景山区2015 届高三一模） 设数列 n a的前n项和为 n S， 点( ,) ,* n S nn N n 均在函数yx 的图象上 （）求数列 n a的通项公式； （）若 n b为等比数列，且 1123 1,8bbb b，求数列 nn a +b的前n项和 n T 13、（西城区2015 届高三二模）设数列 n a的前n项和为 n S ，且1 1a， * 1 1() nn aS nN （）求数列 n a的通项公式； （）若数列 n b为等差数列，且 11 ba ，公差为 2 1 a a . 当3n时，比较 1n b与 12 1 n bbb 的大小 14、已知数列 n a的前n项和为 n S,1 1 a, 满足下列条件 0 n aNn, * ; 点),( nnn SaP在函数 2 2 xx xf)(的图象上 ; (I) 求数列 n a的通项 n a及前n项和 n S; (II)求证 :10 121 | nnnn PPPP. 15、已知 n a为等比数列，其前n项和为 n S，且2 n n Sa * ()nN. （）求a的值及数列 n a的通项公式； （）若 nn bna，求数列 n b的前n项和 n T. 参考答案 一、填空、选择题 1、2 2 n1 2 解析 a3a5q(a2a4) ，40 20q，q2，a1(qq 3) 20， a12，Sn 2（12 n） 1 2 2 n12. 2、C 3、 B 4、12， 54 5、1 6、 C 7、B 8、 A 9、 A 10、 D 二、解答题 1、 【答案】（ 1） 42(1)22 n ann； （2） 6 b与数列 n a的第 63 项相等 . 【解析】 试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问 题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用等差数列的通项公式，将 1234 ,a aa a转化成 1 a和 d， 解方程得到 1 a和 d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到 2 b 和 3 b的值，再利用等比数列的通项公式，将 2 b和 3 b转化为 1 b和 q，解出 1 b和 q 的值，得到 6 b的值， 再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n 的值，即项数. 试题解析：（）设等差数列 n a的公差为d. 因为 43 2aa，所以2d. 又因为 12 10aa，所以 1 210ad，故 1 4a. 所以 42(1)22 n ann(1,2,)n. （）设等比数列 n b的公比为q. 因为 23 8ba， 37 16ba， 所以2q， 1 4b. 所以 6 1 6 42128b. 由12822n，得63n. 所以 6 b与数列 n a的第 63 项相等 . 考点：等差数列、等比数列的通项公式. 2、解：（）设等差数列 na的公差为 d，由题意得 41 123 3 33 aa d 所以 1 1312 n aandn n， ， 设等比数列 nn ba的公比为q， 由题意得 344 11 2012 8 43 ba q ba ，解得2q 所以 11 112 nn nnbabaq 从而 1 3212 n n bnn， ， （）由知 1 3212 n n bnn， ， 数列3n的前 n项和为 3 1 2 n n，数列 1 2 n 的前 n 项和为 12 121 12 n n × 所以，数列 n b的前 n项和为 3 121 2 n n n 3、解： (1)d12，d23，d36. (2) 证明：因为a10，公比q1， 所以a1，a2，an是递增数列 因此，对i1，2，n1，Aiai，Biai 1. 于是对i1，2，n1， diAiBiaiai 1a1(1 q)q i 1. 因此di0且 di 1 di q(i1，2，n2) ， 即d1，d2，dn1是等比数列 (3) 证明：设d为d1，d2，dn1的公差 对 1in2，因为BiBi1，d0，所以Ai1Bi1di1BididBidiAi. 又因为Ai 1maxAi，ai 1，所以ai 1Ai 1Aiai. 从而a1，a2，an1是递增数列，因此Aiai(i1，2，n1) 又因为B1A1d1a1d1a1，所以B1a1a2an 1. 因此anB1. 所以B1B2Bn1an. 所以aiAiBidiandi. 因此对i1，2，n2 都有ai 1aidi 1did， 即a1，a2，an1是等差数列 4、解：（ I ）在等比数列 n a中，设公比为q， 因为 25 2,16aa, 所以 1 4 1 2 , 16 a q a q 得 1 1 2 a q 所以数列 n a的通项公式是 1 2 n n a. 5 分 （II ）在等差数列 n b中，设公差为d. 因为 1582 ,ba ba, 所以 15 82 =16, =2 ba ba 1 1 16 , +7 =2 b bd 1=16 , =2 b d 9 分 方法一 2 1 (1) 17 2 n n n Sb ndnn， 当89n或时，Sn最大值为72. 1 3 分 方法二 由182 n bn, 当1820 n bn, 解得9n, 即 98 0,2.aa 所以当89n或时，S n 最大值为72. 13 分 5、（）解：因为 1 4a， 1nn aS， 所以 211 4aSa， 3212 448aSaa， 43123 44816aSaaa 3 分 （）当2n时， 1 1 222 nnn nnn aSS 又当1n时， 11 4aS 所以 4,1, 2 ,2. n n n a n 6 分 （）依题意， 22 4ba， 33 8ba. 则由 1 1 4 28 bd bd 得， 1 0b，4d, 则4(1) n bn. 所以 2 0,1, (1)2,2. nnn n ab nn 所以 2 (1)2(*) n nn abnnN. 因为 n T= 1 122334411 . nnnn a ba ba ba baba b 45612 01 22 23 2.(2)2(1)2 nn nn， 所以 56723 21 2223 2.(2)2(1) 2 nn n Tnn. 所以 456723 2222.2(1) 2 nn n Tn 41 332 (12) (1)216(2)2 12 n nn nn . 所以 3 16(2)2 n n Tn. 13 分 6、解： （）设 n a的公比为q，因为 122 3 4, 2 aaa成等差数列， 所以 122 43aaa. 整理得 12 2aa，即 11 2aa q，解得2q. 又 4 1 4 (12 ) 5 12 a S ，解得 1 1 3 a. 所以 11 2 3 n n a. 5 分 （）由（）得 1 a 1 = 3 , 所以 17 2+(1)() 33 n n bn-. n T 7 2+ (13) 3 = 26 n n n n. 10 分 所以由 1 0 n T，得 13(1)(1) 0 6 nn ， 整理得(1)(14)0nn， 解得114n. 故满足 1 0 n T的最大正整数为13. 13 分 7、解：（ I ）根据已知1 1 a，2 1nn aa即daa nn 2 1 ，2 分 所以数列 n a是一个等差数列，12)1( 1 ndnaan 4 分 （II ）数列 n a的前n项和 2 nSn6 分 等比数列 n b中，1 11 ab，3 22 ab，所以3q， 1 3 n n b 9 分 数列 n b的前n项和 2 13 31 31 nn n T 11 分 nn ST即 2 2 13 n n ，又 * Nn，所以1n或 2 13 分 8、解：（）设等差数列 n a的公差为 d ，等比数列 n b的公比为q，则 2 1 132 dq dq 解得 2 3 d q 或 1 0 d q （舍） 所以21 n an， 1 3 n n b6 分 （）因为 mn ab， 所以 1 213 n m，即 1 1 (31) 2 n m 011 1 (1)(2)( )(313131) 2 n fff n 011 1 (333) 2 n n 1 13 () 213 n n 321 4 n n 13 分 所以(1)(2)( )fff n 321 4 n n 9、解：（）设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q，则由题意得 2 4 332 5101 dq dq 代入得 2 9450dd，解得1d或 5 9 d（舍） 所以2q 所以 n an； 1 2 n n b或 1 ( 2) n n b7 分 （）因为数列 n b为递增数列， 所以 1 2 n n b 所以 0121 1 22 23 2.2 n n Tn， 123 21 222322 n n Tn， 相减得 0121 22222 nn n Tn， 所以1(1)2 n n Tn13 分 10、解：（）因为 1 2(*) nn aanN, 所以 212111 23Saaaaa. 1 分 因为 2 a是 2 S与1的等差中项 , 所以 22 21aS, 即 11 2231aa. 所以 1 1a. 3分 所以 n a是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列. 所以 11 1 22 nn n a. 6 分 （）由（）可得： 1 11 ( ) 2 n n a . 所以 1 1 1 a , 1 111 (*) 2 nn n aa N. 所以 1 n a 是以 1 为首项 , 1 2 为公比的等比数列. 9 分 所以数列 1 n a 的前n项和 1 1 1 2 2(1) 1 2 1 2 n n n T . 11 分 因为 1 0 2 n ， 所以 1 2(1)2 2 nn T. 若2b，当 2 2 log () 2 n b 时， n Tb. 所以若对*nN, n T恒成立，则2. 所以实数的最小值为2. 13 分 11、解：（）因为数列 n a是首项为2，公比为2的等比数列， 所以 1 222 nn n a. 2 分 所以 22 2log2log 22 n nn ban. 3 分 所以 2 (22 ) 24+2 2 n nn Snnn. 6 分 （）令 2 (1) 22 n nnn n Snnn n c a . 则 1 111 1 (1)(2)(1)(1)(2) 222 nn nnnnn nn SS nnn nnn cc aa . 9 分 所以当1n时， 12 cc； 当2n时， 32 cc； 当3n时， 1 0 nn cc，即 345 ccc. 所以数列 n c中最大项为 2 c和 3 c. 所以存在2k或3，使得对任意的正整数n，都有 kn kn SS aa . 13 分 12、（）依题意得 nS n n ，即 2 = n Sn 当n=1 时，a1=S1=1 1 分 当n2时， 1 21 nnn aSSn； 3 分 当n=1 时，a1=211 =1 所以 21 n an 4 分 ( ) 3 1232 8bb bb得到 2 2b，又 1 1b，2q， 错误！未找到引用源。， 8 分 1 212 n nn abn， 011 (212 )(412 )(212) n n Tn 011 (214121)(222) n n 2 21 n n 13 分 13、（）证明：因为 1 1 nn a S ， 1 所以当2n时， 1 1 nn aS， 2 由 1 2 两式相减，得 1nnn aaa ， 即 1 2 nn a a ( 2)n， 3 分 因为当1n时， 21 12aa ， 所以 2 1 2 a a ，4 分 所以 * 1 2 () n n a n a N5 分 所以数列 n a是首项为 1，公比为2 的等比数列， 所以 1 2 n n a 7 分 （）解：因为1(1)221 n bnn， 9 分 所以 1 21 n bn， 2 12 (121) 111 2 n nn bbbn， 11 分 因为 2 (1)(21)(2)nnn n， 12 分 由3n，得(2)0n n， 所以当3 n 时， 112 1 nn bbbb . 13 分 14、解 :(I)由题意 2 2 nn n aa S 当2n时 22 1 2 1 2 1 nnnn nnn aaaa SSa 整理 , 得01 11 )( nnnn aaaa 又0 n aNn, * , 所以0 1nn aa或01 1nn aa 0 1nn aa时 ,1 1 a,1 1n n a a , 得 1 1 n n a)(, 2 11 n n S )( 01 1nnaa 时,11a,1 1nn aa, 得 nan, 2 2 nn Sn (II)证明 :0 1nn aa时,) )( ,)( 2 11 1 1 n n n P 5 121|nnnnPPPP, 所以 0 121 | nnnn PPPP 01 1nn aa时,),( 2 2 nn nPn 2 21 21)(|nPP nn , 2 1 11)(|nPP nn 22 22 22 121 1121 1121 1121 )()( )()( )()(| nn nn nnPPPP nnnn 22 1121 32 )()(nn n 因为111221 22 nnnn)(,)( 所以1 1121 32 0 22 )()(nn n 综上10 121 | nnnn PPPP 15、解：（）当1n时， 11 20Saa. 1 分 当2n时， 1 1 2 n nnn aSS. 3 分 因为 n a是等比数列， 所以 1 1 1 221aa，即 1 1a.1a. 5 分 所以数列 n a的通项公式为 1 2 n n a * ()nN. 6 分 （）由（）得 1 2 n nn bnan，设数列 n b的前n项和为 n T. 则 231 1 1 223 24 22 n n Tn. 231 21 22 23 2(1) 22 nn n Tnn. - 得 21 1 1 1 21 21 22 nn n Tn9 分 21 1(222)2 nn n 1 1 2(1 2)2 nn n11 分 (1) 21 n n. 12 分 所以(1) 21 n n Tn. 13 分