四川省成都市状元廊学校2015届中考数学思维方法讲义：第1讲证明--三角形专题(含答案).pdf

智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：一环路新鸿路191 号国防招待所3 楼84327877 西门校区：蜀汉路3 号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 1 - 状元廊学校秋季班数学思维方法讲义之一年级：九年级 § 第 1 讲证明（三角形专题） 【学习目标】 1、牢记三角形的有关性质及其判定； 2、运用三角形的性质及判定进行有关计算与证明。 【考点透视】 1、全等三角形的性质与判定； 2、等腰（等边）三角形的性质与判定； 3、直角三角形的有关性质，勾股定理及其逆定理； 4、相似三角形的性质与判定。 【精彩知识】 专题一三角形问题中的结论探索 【例 1】如图所示，两块完全相同的含30° 角的直角三角形叠放在一 起，且 DAB=30 ° 。有以下四个结论：AFBC ； ADG ACF； O 为 BC的中点；AG： DE=3： 4，其中正确结论的序号 是. 变式练习 1如图， ABD 与 AEC 都是等边三角形，AB AC，下列结 论中： BE=DC ； BOD=60 ° ； BOD COE正确的序号 是 考点感悟： 专题二三角形中的平移、旋转等图形变换问题探索 【例 2】如图 (1)，Rt ABC 中， ACB=-90 °，CD AB，垂足 为 DAF 平分 CAB ，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F （1）求证： CE=CF （2）将图（ 1）中的 ADE 沿 AB 向右平移到 ADE的位置，使点E 落在 BC 边上，其它 条件不变，如图（2）所示试猜想：BE'与 CF 有怎样的数量关系?请证明你的结论 图（ 1）图（ 2） 【例 3】 ABC 中， AB=AC ，D 为 BC 的中点，以D 为顶点作 MDN= B （1）如图（ 1）当射线 DN 经过点 A 时， DM 交 AC 边于点 E，不添加辅助线，写出图中所有 与 ADE 相似的三角形 （2）如图（ 2） ，将 MDN 绕点 D 沿逆时针方向旋转，DM ，DN 分别交线段AC ，AB 于 E， F 点（点 E 与点 A 不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论 （3）在图（ 2）中，若 AB=AC=10 ，BC=12，当 DEF 的面积等于ABC 的面积的 1 4 时，求 线段 EF 的长 考点感悟： A D B C E O 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：一环路新鸿路191 号国防招待所3 楼84327877 西门校区：蜀汉路3 号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 2 - 变式练习： 如图， O 是正 ABC 内一点， OA=3 ，OB=4 ，OC=5，将线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针 旋转 60° 得到线段BO ，下列结论：BO A 可以由 BOC 绕点 B 逆时针旋转60° 得到；点O 与 O 的距离为4； AOB=150 ° ； AOBO S=6+3 3四形边 ； AOCAOB 9 3 SS6+ 4 其中正确的结 论是【】 ABCD 【例 4】如图 1，ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形， D、F 分别在 AB、AC 边上，此时BD=CF ，BDCF 成立 （1）当正方形ADEF 绕点 A 逆时针旋转 （ 0° 90° ）时，如图2，BD=CF 成立吗？若 成立，请证明；若不成立，请说明理由 （2）当正方形ADEF 绕点 A 逆时针旋转45° 时，如图 3，延长 BD 交 CF 于点 G 求证： BD CF；当 AB=4 ，AD=2时，求线段BG 的长 考点感悟： 专题三几何动态问题 【例 5】如图，在 ABC 中， ABAC 10 cm，BC12 cm，点 D 是 BC 边的中点点P 从点 B 出发， 以 a cm/s(a0)的速度沿BA 匀速向点A 运动； 点 Q 同时以 1 cm/s 的速度从点D 出 发，沿 DB 匀速向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运 动的时间为t s (1)若 a 2， BPQ BDA ，求 t 的值； (2)设点 M 在 AC 上，四边形PQCM 为平行四边形 若 a 5 2 ，求 PQ 的长； 是否存在实数a， 使得点 P在 ACB 的平分线上？ 若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由 考点感悟： 变式练习： 已知线段AB=6 ，CD 是 AB 上两点，且AC=DB=1 ，P 是 线段 CD 上一动点，在AB 同侧分别作等边三角形APE 和等边 三角形 PBF，G 为线段 EF 的中点， 点 P由点 C 移动到点 D 时， G 点移动的路径长度为 P A D CB Q G E F DC AB P 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：一环路新鸿路191 号国防招待所3 楼84327877 西门校区：蜀汉路3 号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 3 - D F A BC E P Q 专题四几何与函数结合问题 【例 6】如图所示，在形状和大小不确定的ABC 中， BC=6，E、F 分别是 AB、AC 的中点， P 在 EF 或 EF 的延长线上，BP 交 CE 于 D，Q 在 CE 上且 BQ 平分 CBP，设 BP=y， PE=x. （1）当EFx 3 1 时，求 DBCDPE SS:的值； （2）当 CQ= 2 1 CE 时，求y与x之间的函数关系式； （3）当 CQ= 3 1 CE 时，求y与x之间的函数关系式； 当 CQ= n 1 CE（n为不小于2 的常数）时，求直接y与x之间的函数关系式。 考点感悟： 【例 7】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B（1， 0） ，C（3，0） ，D （3， 4） 以 A 为顶点的抛物线y=ax2+bx+c 过点 C 动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动同 时动点 Q 从点 C 出发，沿线段CD 向点 D 运动点 P，Q 的运动速度均为每秒1 个单位运动时 间为 t 秒过点P 作 PEAB 交 AC 于点 E （1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）过点 E 作 EFAD 于 F，交抛物线于点G，当 t 为何值时， ACG 的面积最大？最大值 为多少？ （3）在动点P，Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点H， 使以 C，Q，E，H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出t 的值 考点感悟： 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：一环路新鸿路191 号国防招待所3 楼84327877 西门校区：蜀汉路3 号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 4 - 【课后测试】 一、选择题： 1、下列判断正确的是（） A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B.有两边对应相等，且有一角为30° 的两个等腰三角形全等 C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等 2、在平面直角坐标系xoy 中，已知 A（2， 2） ，在 y 轴上确定点P，使 AOP 为等到腰三角形， 则符合条件的点P 共有（） A.2 个B.3 个C. 4 个D.5 个 二、填空题： 3、在锐角三角形ABC 中，BC=24，ABC=45°，BD 平分 ABC ， M、 N 分别是 BD 、 BC 上的动点，则 CM+MN的最小值是。 4、如图， RtABC 的边 BC 位于直线l 上， AC=3， ACB=90°， A=30° 若 RtABC 由现 在的位置向右滑动地旋转，当点A 第 3 次落在直线l 上时，点A 所经过的路线的长为 （结果用含有的式子表示） 三、解答题： 5、在矩形 ABCD 中，点 P 在 AD 上， AB2，AP1将直角尺的顶点放在P 处，直角尺的两边 分别交 AB，BC 于点 E，F，连接 EF（如图）。 （1）当点 E 与点 B 重合时，点F 恰好与点 C 重合（如图） ，求 PC 的长； （2）探究：将直尺从图中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E和点 A 重合时停止在 这个过程中，请你观察、猜想，并解答： PF PE的值是否发生变化？请说明理由； 直接写出从开始到停止，线段EF 的中点经过的路线长。 图图 6、如图（ 1） ，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开得到 ABD 和 ECF，固 定 ABD，并把 ABD 与 ECF 叠放在一起。 （1）操作：如图（ 2） ，将 ECF 的顶点 F 固定在 ABD 的 BD 边上的中点处，ECF 绕点 F 在 BD 边上方左右旋转，设旋转时FC 交 BA 于点 H（H 点不与 B 点重合）。FE 交 DA 于点 G （G 点不与 D 点重合）。求证： BH· GD=BF 2 （2）操作：如图（3） ， ECF 的顶点 F 在 ABD 的 BD 边上滑动（ F 点不与 B、D 点重合）， 且 CF 始终经过A，过点 A 作 AGCE，交 FE 于点 G，连接 DG。探究：FD +DG=_。 请予证 明。 （1）(2) (3) 学生对本次课的评价： 特别满意满意一般不怎么样 家长意见或建议： 家长签字： 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：一环路新鸿路191 号国防招待所3 楼84327877 西门校区：蜀汉路3 号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 5 - 部分答案： 【例 3】解： （1）图（ 1）中与 ADE 相似的有 ABD ， ACD ， DCE。 （2） BDF CED DEF，证明如下： B+ BDF+ BFD=180 ° ， EDF+BDF+ CDE=180 ° ， 又 EDF= B， BFD= CDE 。 AB=AC ， B= C。 BDF CED。 BDDF = CEED 。 BD=CD ， CDDF = CEED ，即 CDCE = DFED 。 又 C=EDF， CED DEF。 BDF CED DEF。 （3）连接 AD ，过 D 点作 DGEF， DHBF，垂足分别为G，H AB=AC ， D 是 BC 的中点，AD BC， BD= 1 2 BC=6 。 在 Rt ABD 中， AD 2=AB2BD2，即 AD2=10262， AD=8 。 SABC= 1 2 ?BC?AD= 1 2 × 12× 8=48， SDEF= 1 4 SABC= 1 4 × 48=12。 又 1 2 ?AD?BD= 1 2 ?AB?DH， AD BD8624 DH AB105 。 BDF DEF， DFB= EFD。 DHBF，DGEF， DHF= DGF。 又 DF=DF ， DHF DGF（AAS ） 。 DH=DG= 24 5 。 SDEF= 1 2 · EF· DG= 1 2 · EF· 24 5 =12， EF=5。 例 3 变式： A。 【考点】 旋转的性质， 全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。 【分析】 正 ABC ， AB=CB ， ABC=60 0。 线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转60° 得到线段BO ， BO=BO ，O AO =60 0。 O BA=60 0 ABO= OBA 。 BO A BOC。 BO A 可以由 BOC 绕点 B 逆时针旋转60° 得到。故结论正确。 连接 OO ， BO=BO ， O AO=60 0， OBO 是等边三角形。 OO =OB=4。故结论 正确。 在 AOO 中，三边长为O A=OC=5，OO =OB=4，OA=3 ，是一组勾股数， AOO 是直角三角形。 AOB= AOO O OB =90 0600=150° 。故结论正确。 AOOOBOAOBO 11 SSS3 4+4 2 36+43 22 四形边 。故结论错误。 如图所示，将AOB 绕点 A 逆时针旋转60° ，使得 AB 与 AC 重 合， 点 O 旋转至 O 点 易知 AOO 是边长为 3 的等边三角形，COO 是边长为3、4、 5 的 直角三角形。 则 AOCAOBAOCOCOOAOO 113 39 3 SSSSS3 4+3=6+ 2224 。 故结论正确。 综上所述，正确的结论为：。故选A。 【例 4】解： （1）BD=CF 成立。理由如下： ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形， AB=AC ，AD=AF ， BAC= DAF=90 ° 。 BAD= BAC DAC ， CAF= DAF DAC ， BAD= CAF 。 在 BAD 和 CAF 中， AB=AC ， BAD= CAF， BAD CAF（SAS） 。 BD=CF 。 （2）证明：设BG 交 AC 于点 M BAD CAF （已证）， ABM= GCM 。 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：一环路新鸿路191 号国防招待所3 楼84327877 西门校区：蜀汉路3 号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 6 - 又 BMA= CMG ， BMA CMG 。 BGC= BAC=90 ° 。 BD CF。 过点 F作 FN AC 于点 N。 在正方形ADEF 中， AD=DE=2， 2222 AEAD +DE2 +22。 AN=FN= 1 2 AE=1。 在等腰直角ABC 中， AB=4 ， CN=AC AN=3 ， 2222 BCAB +AC4 +44 2。 在 RtFCN 中， FN1 tan FCN CN3 。 在 Rt ABM 中， AM1 tan FCNtan ABM AB3 。 AM= 14 AB 33 。 CM=AC AM=4 48 33 ， 2 222 44 10 BMAB +AM4 + 33 。 BMA CMG ， BMCM BACG ，即 4 108 33 4CG ， CG= 4 10 5 。 在 RtBGC 中， 2 2 22 4 108 10 BGBCCG4 2 55 。 【例 5】解： （1） ABC 中， AB=AC=10 ，BC=12，D 是 BC 的中点， BD=CD= 1 2 BC=6 。 a=2， BP=2t，DQ=t 。 BQ=BD QD=6t。 BPQ BDA ， BPBQ BDAB ，即 t6t 610 ，解得： 18 t= 13 。 （2）过点 P 作 PEBC 于 E， 四边形PQCM 为平行四边形， PMCQ， PQCM，PQ=CM 。 PB：AB=CM ：AC。 AB=AC ， PB=CM 。 PB=PQ。 BE= 1 2 BQ= 1 2 （6t） 。 a= 5 2 ， PB= 5 2 t。 AD BC， PEAD 。 PB： AB=BE ： BD，即 51 t(6t) 22 106 。 解得， t= 3 2 。 PQ=PB= 5 2 t= 15 4 （cm） 。 不存在理由如下： 四边形PQCM 为平行四边形，PMCQ，PQ CM，PQ=CM 。 PB：AB=CM ：AC。 AB=AC ， PB=CM ， PB=PQ。 若点 P 在 ACB 的平分线上，则PCQ= PCM， PMCQ， PCQ=CPM。 CPM=PCM。 PM=CM 。四边形PQCM 是菱形。 PQ=CQ。 PB=CQ。 PB=at，CQ=BD+QD=6+t ， PM=CQ=6+t ，AP=AB PB=10at，且at=6+t。 PMCQ， PM： BC=AP ：AB， 6t10at 1210 ，化简得： 6at+5t=30。 把代入得，t= 6 11 。 不存在实数a，使得点 P 在 ACB 的平分线上。 【例 6】 【解析】平行、角平分线、等腰三角形、相似、对应边成比例 解： （1）E、F 是 AB、AC 中点 EF BC，EF=0.5BC=3 EP=EFx 3 1 =1 EF BC 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：一环路新鸿路191 号国防招待所3 楼84327877 西门校区：蜀汉路3 号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 7 - D G F E B C A Q P D G F E B C A Q P DPEDBC EP： BC=1：6 DBCDPE SS:=1： 36 （2）延长 BQ 交射线 EF 于点 G EFBC G=GBC 又GBC=GBP G=GBP PG=BP=y 即 EG=x+y EFBC QEGQCB EQ：QC=EG：BC=1 x+y=6 即 y= x+6 (3)同（ 2）中 QEGQCB EQ：QC=EG：BC=2 x+y=2× 6 y= x+12 y= x+6(n 1) 【例 7】解： （1）A（1，4） 。 由题意，设抛物线解析式为y=a（x 1） 2+4 抛物线过点C（3， 0） ，0=a（31） 2+4，解得， a=1。 抛物线的解析式为y=（ x 1） 2+4，即 y=x2+2x+3。 （2）设直线AC 的解析式为y=kx+b， A（1，4） ，C（3，0） ， 4kb 03kb ，解得 k2 b6 。 直线 AC 的解析式为y=2x+6。 点 P（ 1，4t） ， 将 y=4t 代入 y=2x+6 中，解得点E 的横坐标为 t x1 2 。 点 G 的横坐标为 t 1 2 ，代入抛物线的解析式中，可求点 G 的纵坐标为 2 t 4 4 。 GE=（ 2 t 4 4 ）（ 4t） = 2 t t 4 。 又点 A 到 GE 的距离为 t 2 ，C 到 GE 的距离为 t 2 2 ， 2 2 ACGAEGCEG 1t1tt1 SSSEGEG2=EG=t=t2+1 222244 （）。 当 t=2 时， SACG的最大值为1。 （3） 20 t= 13 或t=2085。 【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，矩形 和菱形的性质。 【分析】（1）根据矩形的性质可以写出点A 得到坐标；由顶点A 的坐标可设该抛物线的顶点式方 程为 y=a（x1） 2+4，然后将点 C 的坐标代入，即可求得系数a 的值（利用待定系数法求抛物线的解 析式）。 （2）利用待定系数法求得直线AC 的方程 y=2x+6；由图形与坐标变换可以求得点P 的 坐标 （1，4t） ，据此可以求得点E 的纵坐标， 将其代入直线AC 方程可以求得点E 或点 G 的横坐标； 然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE= 2 t t 4 、点 A 到 GE 的距离为 t 2 ，C 到 GE 的距离为 t 2 2 ；最后根据三角形的面积公式可以求得 2 ACGAEGCEG 1 SSS=t2+1 4 ， 由二次函数的最值可以解得t=2 时， S ACG的最大值为1。 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：一环路新鸿路191 号国防招待所3 楼84327877 西门校区：蜀汉路3 号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 8 - （第 23题 图） G F P C D B A E （3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H 在直线 EF 上。分 CE 是边和对角 线两种情况讨论即可。 由题设和（ 2）知， C（3，0） ，Q（3，t） ，E（ t 1,4t 2 ） ，设 H（ t 1,m 2 ） 。 当 CE 是对角线时，如图1，有 CQ=HE=CH，即 2 22 2 222 4tm=t m=42t 4 42t3t8t+16=013t72t+80=0 t 4m3t8t+16=02+m =t 2 ， 解得， 20 t= 13 或 t=4（舍去，此时C，E 重合） 。 当 CE 是边时，如图2，有 CQ=CE=EH，即 2 2 22 m4t =t m=4 t40t+80=0 t t40t+80=0 2+ 4t=t 2 ， 解得，t=208 5或t=20+85（舍去，此时已超过矩形ABCD 的范围）。 综上所述，当 20 t= 13 或t=208 5时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点H，使 以 C，Q，E，H 为顶点的四边形为菱形。 5、解： （1）在矩形ABCD 中， A D90° ， AP1，CD AB2，则 PB5 ABP APB 90° 又 BPC90° APB DPC90° ABP DPC APB DCP AP CD PB PC 即 1 2 5 PC PC25 （2） PF PE的值不变 理由：过 F 作 FGAD，垂足为G， 则四边形 ABFG 是矩形 A PFG90° ，GFAB2 AEP APE 90° 又 EPF90° APE GPF 90° AEP GPF APE GPF PF PE GF AP 2 1 2 PF PE2 PF PE的值不变 （3）线段 EF 的中点经过的路线长为5 6、 (1)证明：根据图操作有B=D=CFE, BF=DF 在 DFG 中， D+DFG+DGF=180°，而 DFG+CFE+BFH=180° BFH= DGF, 又 B=D BFH DGF BH DF = BF DG 由于 BF=DF BF 2=BH· DG （2）解：探究得出：FD+DG=BD 证明： AGCE, FAG= C,FGA= E CFE=E, E=FGA AG=AF 根据菱形有：BAD= FCE BAD= FAG, 即： BAF+ FAD= FAD+ DAG BAF= DAG 在 ABF 与 ADG 中, AB=AD BAF= DAG AF=AG ABF ADG BF=DG DF+DG=DF+BF=BD