四川省成都市状元廊学校2015届中考数学思维方法讲义：第7讲确定二次函数的解析式.pdf

智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：二环路建设路口东城国际A 区 901 84327877 西门校区：蜀汉路3号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 1 - 状元廊数学思维方法讲义之七年级：九年级 § 第 7 讲确定二次函数的解析式 【今日目标】 1、会利用各种条件（点、线段、面积、比例、方程等）选择二次函数的不同表达形式来确定 二次函数的解析式，并解决与之相关的问题。以中考压轴题第（1）问为主攻方向。 一般式 _； （适用于图像上的三个点或三对值） 顶点式 _；其中 _ _是抛物线的顶点坐标（适用于已知图 像的顶点、对称轴和最值） 交点式 _。其中 _ _ 是二次函数的图象与x 轴的两个交点 的横坐标。（适用于已知图像与x 轴交点） 2、能用二次函数模型解决实际问题，如：点与交点、“ 和最小 ” 、 “ 差最大 ” 、面积等问题。 【精彩知识】 专题一用待定系数法求二次函数的解析式 考点 1：选择二次函数的不同表达形式求二次函数的解析式 【例 1】已知二次函数的图象经过点（0，3） ， （ 3，0） ， （2， 5） ，且与 x轴交于 A、B 两 点 （ 1）试确定此二次函数的解析式； （ 2）判断点 P（ 2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出ABC 的面积；如果 不在，请说明理由。 变式练习： 已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过直线 3 2 3 xy 与 x 轴、 y 轴的交点，且经过点（1,1） ，求此二次 函数的解析式。 方法归纳：已知抛物线上三点求解析式，一般设为形式。 【例 2】已知二次函数cbxaxy 2 ，对称轴是直线2x，且有最大值2，其图象在x轴 上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。 变式练习： 抛物线 y=ax2+bx+c与 y=x2的形状相同 , 对称轴是直线x=3, 最高点在直线y=x+1 上, 求抛物线 解析式。 方法归纳： 已知抛物线的已知图像的顶点、对称轴和最值与另一点求其解析式，一般设为 形式。 【例 3】已知二次函数的图象 x 轴两交点间的距离为6，对称轴为1x，且经过点（， 4） ，求这个二次函数的解析式。 变式练习： 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像过 P(2, 0) 和 Q(6, 0)两点，并且顶点在直线xy 4 3 上，求此 二次函数的解析式。 方法归纳：已知抛物线与x 轴的两个交点坐标求解析式，一般设为形式。 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：二环路建设路口东城国际A 区 901 84327877 西门校区：蜀汉路3号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 2 - 考点 2：由二次函数的图象平移、绕顶点旋转1800或沿 x 轴翻折变换求解析式 【例 4】把抛物线y=ax 2+bx+c 向下平移1 个单位，再向左平移5 个单位后，其顶点坐标为 （ 2，0） ，且 a+b+c=0，求 a、b、 c 的值。 【例 5】把二次函数52 2 xxy的图象沿 x 轴翻折，求所得抛物线的解析式。 变式练习： 1、把抛物线cbxxy 2 的图象向右平移3 个单位，再向下平移2 个单位，所得图象的解 析式是53 2 xxy，试确定b、c 的值。 2、把函数34 2 xxy的图象绕其图象与y 轴的交点旋转180 0，求所得抛物线的解析式。 方法归纳：由二次函数的图象平移、绕顶点旋转 0 180或沿 x 轴翻折变换求解析式，就是要抓 住的坐标变化。 考点 3：利用一元二次方程根与系数的关系求二次函数的解析式 【例 6】已知二次函数2242 2 mmxmxy的图像与y 轴的交点C 在原点下方， 与 x 轴交于 A、B 两点，点A 在点 B 的左侧，点A、 B 到原点 O 的距离分别为OA、OB。 求证：42mOAOB； 确定实数m的取值范围； 若OBOAOAOB23，求此二次函数的解析式。 变式练习： 已知抛物线的函数解析式为 2 3yaxbxa （b0） ，且抛物线经过点(0,3)，方程 2 30axbxa的两根为 1 x， 2 x，且 12 xx4。求抛物线解析式. 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：二环路建设路口东城国际A 区 901 84327877 西门校区：蜀汉路3号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 3 - 专题二用二次函数模型解决求交点、“和最小” 、 “差最大”、面积等问题。 【例 7】如图，已知二次函数 2 4yaxxc的图象与坐标轴交于点A 和点 B，AO: BO=1：5， CO=BO, ABC 的面积为15。 （1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得 ACP 的周长最小请求出点P 的坐标 变式练习： 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2cm，点 A、C 分别在 y 轴的负 半轴和 x 轴的正半轴上，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点 A、B 和 D(4，2 3 ) （ 1）求抛物线的解析式 （ 2）在抛物线的对称轴上求点M，使得 M 到 D、 A的距离之差最大，求出点M 的坐标 【例 8】如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（ m，m） ，点 B 的坐标为（ n， n） ，抛 物线经过A、O、B 三点，连接OA、 OB、AB，线段 AB 交 y轴于点 C已知实数m、n（mn）分 别是方程x22x3=0 的两根 （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 为线段 OB 上的一个动点（不与点O、B 重合） ，直线 PC 与抛物线交于D、E 两点 （点 D 在 y 轴右侧），连接 OD、BD 当 OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标； 求 BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：二环路建设路口东城国际A 区 901 84327877 西门校区：蜀汉路3号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 4 - 【课后测控】 1、抛物线y=3x 2+bx+c 是由抛物线 y=-3x 2-6x+1 向上平移 3 个单位，再向左平移2 个得到的，则 b= ,c= 。 2、已知二次函数的图象经过原点及点（ 1 2 ， 1 4 ） ，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1， 则该二次函数的解析式为 3、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过一次函数 y= 2 3 x+3 的图像与 x 轴、 y 轴的交点，且经过 点 (1,1)，求这个二次函数的解析式，并把二次函数解析式化成y=a(x-h) 2+k 的形式。 4、已知二次函数的图像经过P(2, 0)和 Q(6, 0)两点，顶点在直线y= 4 3 x 上，求这个二次函数的解析 式。 5、已知抛物线的顶点为C(1,5), 与 x 轴相交于A、B, 且 ABC 的面积为15.求抛物线的解析式。 6、抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴的交点为 A（m4, 0）和 B(m, 0)，与直线y=x+p 相交于点A 和点 C(2m4,m6). 求抛物线的解析式。 7、二次函数的顶点坐标为C（4，3） ，且在 x 轴上截得的线段AB 的长为 6 （1）求二次函数的解析式； （2）设抛物线与y 轴的交点为D，求四边形DACB 的面积； （3）在 x 轴上方的抛物线是否存在点P，使得 P AC 被 x 轴平分，如果存在，请求出 P 点坐标， 如果不存在请说明理由。 8、如图，已知抛物线yax 2+bx+c（a0）的对称轴为 x1，且抛物线经过A（ 1，0） 、C（ 0， 3）两点，与x 轴交于另一点B （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）在抛物线的对称轴x 1上求一点M，使点 M 到点 A 的距离与到点C 的距离之和最小，并 求此时点M 的坐标； （3）设点 P 为抛物线的对称轴x=1 上的一动点，求使PCB90o的点 P 的坐标