四川省成都市状元廊学校2015届中考数学思维方法讲义：第9讲二次函数的实际问题应用(含答案).pdf

智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：二环路建设路口东城国际A 区 901 84327877 西门校区：蜀汉路3号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 1 - 状元廊数学思维方法讲义之九年级：九年级 § 第 9 讲二次函数的应用 【今日目标】 1、学会建立二次函数模型解决实际问题（与方程、分段函数、最值相结合）； 2、能在限制条件下求出符合题意的最值。 【精彩知识】 【引例】 求下列二次函数的最值： （1）求函数 2 23yxx的最值（2）求函数 2 23yxx的最值(03)x 方法归纳： 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在处取得最大值（或最小值） 如果自变量的取值范围是 12 xxx，分两种情况： 顶点在自变量的取值范围内时，以0a为例，最大值是；最小值是 顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性 专题一应用之利润最值问题 【例 1】某种商品的进价为每件50 元，售价为每件60 元，每个月可卖出200 件；如果每件商 品的售价上涨1 元，则每个月少卖10 件（每件售价不能高于72 元） ，设每件商品的售价上涨x 元 （x 为整数），每个月的销售利润为y 元. (1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围 ; (2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少? 变式练习： 某商品的进价为每件20 元，售价为每件30，每个月可买出180 件；如果每件商品的售价每上 涨 1 元，则每个月就会少卖出10 件，但每件售价不能高于35 元，设每件商品的售价上涨x元（x 为整数），每个月的销售利润为x的取值范围为y元。 （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920 元？ 解题回顾：总利润= * ；找出价格和销售量之间的关系，注意结合自 变量的取值求得相应的售价 【例 2】某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18 元，试销过程发现，每月销量y （万件）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=2x+100.(利润 =售价制造成 本 ) （1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间函数解析式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得350 万元的利润？当销售单价为多少元时， 厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？ （3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不得高于32 元.如果厂商要获得每月不低 于 350万元的利润，那么制造这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？ 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：二环路建设路口东城国际A 区 901 84327877 西门校区：蜀汉路3号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 2 - 解题回顾：先利用“ 成本不高于多少，利润不低于多少” 等条件求得自变量的，然 后根据函数性质并结合函数图象求最值 【例 3】某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价定为 3000 元在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型 产品不超过 10 件时，每件按 3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所 购买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元 (1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元 ? (2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求 y(元 )与x(件)之间的函数关 系式，并写出自变量x 的取值范围 (3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购 买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的 利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变) 解题回顾： 分段函数求最值时， 要根据各段函数自变量的求相应的最值。 专题二应用之面积最值问题 【例 4】把一边长为40cm 的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的 厚度忽略不计） 。 （1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖 的长方形盒子。 要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？ 折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的 边长；如果没有，说明理由。 （2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边 上） ，将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此 时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。 变式练习： 如图，在边长为24cm 的正方形纸片ABCD 上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角 形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（ABCD 四个顶点正好重合于上底 面上一点） 已知 E、F 在 AB 边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=BF=x （ cm） （ 1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V； （ 2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S 最大，试问x 应取何值？ 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：二环路建设路口东城国际A 区 901 84327877 西门校区：蜀汉路3号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 3 - 专题三实际应用问题 【例 5】如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2 m 的 A 处发出，把球 看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6) 2+h.已知球网与 O 点的 水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O 点的水平距离为18m。 （ 1）当 h=2.6 时，求 y 与 x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围） ； （ 2）当 h=2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （ 3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围。 【例 6】卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面111000 的比例图上， 跨度 AB5 cm，拱高 OC0.9 cm，线段 DE 表示大桥拱内桥长，DEAB，如图（ 1） 在比例图上，以 直线 AB 为 x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以 1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如 图（ 2） （1）求出图（ 2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出自变量的取值范围； （2）如果 DE 与 AB 的距离 OM0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12， 计算结果精确到1 米） 变式练习： 如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O 点打出一球向球洞A 点飞去，球的飞行路 线为抛物线， 如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12 米时，球移动的水平距离为9 米 已 知山坡 OA 与水平方向OC 的夹角为30o，O、A 两点相距83米 （1）求出点 A 的坐标及直线OA 的解析式； （2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式； （3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：二环路建设路口东城国际A 区 901 84327877 西门校区：蜀汉路3号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 4 - 【课后测试】 （成都各区、县20112012 年度期末调研试卷26 小题选编） 1、 （青羊区26）近年来，我市为了增强市民环保意识，政府决定对购买太阳能热水器的市民实行 政府补贴。规定每购买一台热水器，政府补贴若干元，经调查某商场销售太阳能热水器台数y （台）与每台补贴款额x（元）之间大致满足如图所示的一次函数关系随着补贴款额的不 断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z（元）会相应降低，且Z 与 x 之间也大致满 足如图所示的一次函数关系 （1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售太阳能热水器的总收益额为多少元？ （2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售太阳能热水器台数y 和每台太阳能热水器的 收益 z 与政府补贴款额x 之间的函数关系式； （3）要使该商场销售太阳能热水器的总收益w（元）最大，政府应将每台补贴款额x 定为多少 并求出总收益w 的最大值 2、 （金牛区26）某地区准备筹办特色小商品展销会，芙蓉工艺厂设计一款成本为10 元/件的工艺品 投放市场进行试销。经过调查，得到如下数据： （1）已知 y 与 x 之间是一次函数关系，求出此函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利 润=销售总价 -成本总价） 3、 （高新区 26）政府大力支持大学生创业。大学毕业生小明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件 30 元的学生台灯。销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一 次函数：y=-10x+700. (1) 小明每月获得的利润为w(元)，试问当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润？ 最大利润是多少？ (2) 如果小明想要每月获得3000 元的利润，那么销售单价应定为多少元？ 4、某汽车租赁公司拥有20 辆同类汽车据统计，当每辆车的日租金为400 元时，可全部租出；当 每辆车的日租金每增加50 元，未租出的车将增加1 辆； 公司平均每日的各项支出共4800 元设 公司每日租出x辆车时，日收益为y 元 （日收益 =日租金收入一平均每日各项支出） （1）公司每日租出x 辆车时，每辆车的日租金为元（用含 x 的代数式表示，要求填写 化简后的结果） ； （2）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？ （3）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：二环路建设路口东城国际A 区 901 84327877 西门校区：蜀汉路3号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 5 - 【部分答案】 例 1 变式解析：（1）销售利润 =每件商品的利润× （18010× 上涨的钱数） ，根据每件售价不能高于 35 元，可得自变量的取值； （2）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即 可； （3）让（ 1）中的 y=1920 求得合适的x 的解即可 解答：解：（1）y=（3020+x） （18010x）=10x2+80x+1800（0 x5 ，且 x 为整数）； （2）当 x=4 )10(2 80 时， y最大=1960 元；每件商品的售价为34 元 答：每件商品的售价为34 元时，商品的利润最大，为1960 元； （3） ）1920=10x2+80x+1800 ，x 28x+12=0， 即（ x2） （x6）=0， 解得 x=2 或 x=6，0 x5 ，x=2， 售价为32 元时，利润为1920 元 【例 2】解： （1）z=(x18)y=(x18)(2x+100) 18001362 2 xx. z 与 x 之间的函数解析式为18001362 2 xx. （2）由 z=350，得 350=18001362 2 xx， 解此方程，得43,25 21 xx. 销售单价应定为25 元或 43 元. 把 z18001362 2 xx配方，得z512)34(2 2 x. 因此，当销售单价为34 元时，厂商每月能够获得最大利润， 最大利润是512 元. （3）结合（ 2）及函数 z18001362 2 xx的图象（如 图所示）可知，25 x43时， z350. 又由限价为32 元，得 25 x32. 根据一次函数的性质，得y=2x+100 中 y 随 x 的增大而减小 . 当 x=32 时，每月制造成本最低. 最低成本是18× （2× 32+100）=648（万元） . 因此，每月的最低制造成本需要648 万元 . 【例 3】解： （1）设件数为 x，依题意，得300010（x10）=2600，解得 x=50 。 答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。 （2）当 0x10 时， y=（30002400）x=600x ； 当10x50 时， y=x ，即 y=10x2+700x； 当x50时， y=（26002400）x=200x。 2 600x(0x10x) y10x700x(10x50x) 200x(x50x) ，且整 ，且整 ，且整 为数 为数 为数 。 （3）由 y=10x 2+700x可知抛物线开口向下，当 700 x35 210 时，利润 y有最 大值， 此时，销售单价为300010（x10）=2750元， 答：公司应将最低销售单价调整为2750 元。 【例 4】解： （ 1）设剪掉的正方形的边长为xcm。 则（ 402x） 2=484，解得 1 x31（不合题意，舍去） ， 2 9x。 剪掉的正方形的边长为9cm。 侧面积有最大值。 设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm 2， 则 y 与 x 的函数关系为： 22 y4(402x)x8x160x8(x10)800， x=10 时， y最大=800。 即当剪掉的正方形的边长为10cm 时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2。 （2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为xcm。 则2(402 )(20)2 (20)2 (402 )550xxxxxx， 解得： 1 35x（不合题意，舍去） ， 2 15x。 剪掉的正方形的边长为15cm。 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：二环路建设路口东城国际A 区 901 84327877 西门校区：蜀汉路3号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区：科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 6 - 此时长方体盒子的长为15cm，宽为 10cm，高为 5cm。 【例 4 变式】 解： （1）根据题意，知这个正方体的底面边长a=2x，EF=2a=2x， x+2x+x=24 ，解得： x=6。则a=6 2， V=a 3=（6 2） 3=432 2（cm 3） ； （2） 设包装盒的底面边长为acm， 高为 hcm， 则 a=2x， 242x h2 12x 2 ， S=4ah+a2= 2 2 2 4 2x2 12x2x6x96x=6 x8238。 0x12，当 x=8 时， S 取得最大值384cm2。 【例 5】解： （1）把 x=0，y=,及 h=2.6 代入到 y=a(x-6)2+h，即 2=a(06)2+2.6， 1 a 60 当 h=2.6 时，y 与 x 的关系式为y= 1 60 (x6) 2 +2.6 （ 2）当 h=2.6 时， y= 1 60 (x6) 2+2.6 当 x=9 时， y= 1 60 (9 6) 2+2.6=2.452.43，球能越过网。 当 y=0 时，即 1 60 (18x) 2+2.6=0，解得 x= 6+ 15618，球会过界。 （ 3）把 x=0,y=2,代入到 y=a(x-6)2+h 得 2h a 36 。 x=9 时， y= 2h 36 (96) 2+h23h 4 2.43 x=18 时， y= 2h 36 (18 6) 2+h= h38 0 由 解得 h 8 3 。 若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围为h 8 3 。 变式解： （1）在 RtAOC 中， AOC= 30 o ，OA=83， AC=OA · sin30 o=8 3×2 1 =34， OC=OA · cos30 o=8 3× 2 3 =12 点 A 的坐标为（ 12，34） 2分 设 OA 的解析式为y=kx，把点 A（12，34）的坐标代入得： 34=12k， k= 3 3 ， OA 的解析式为y= 3 3 x； 4 分 (2) 顶点 B 的坐标是（ 9，12）, 点 O 的坐标是（ 0，0） 设抛物线的解析式为y=a(x-9) 2 +12， 6分 把点 O 的坐标代入得： 0=a（0-9） 2 +12，解得 a= 27 4 ， 抛物线的解析式为y= 27 4 (x-9) 2 +12 及 y= 27 4 x 2 + 3 8 x；8分 (3) 当 x=12 时， y= 3 32 34， 小明这一杆不能把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点 10 分