2019年高考数学专题分段函数与其应用(第三季)压轴题必刷题理.pdf
* 专题 02 分段函数及其应用第三季 1已知函数若方程有且仅有一个实数根，则实数m 的 取值范围是（） A1 m 1 B 或m 1 C D 或m 1 【答案】D 【解析】原问题等价于在区间1,1 内只有一个实数根， 即函数f x 与函数的图象在区间1,1 内只有一个交点， 据此绘制函数图象如图所示，结合函数图象可知： 或g 0 1， 由可得， 由g 0 1可得m 1， 综上可得：实数m 的取值范围是或m 1. 本题选择D选项 . 2已知函数，设方程的四个不等实根从小到大依次为 x1,x2, x3 ,x4 ，则下列判断中一定成立的是（ ） * x x A 1 2 1 2 B 1 x1 x2 4 C 4x x 9 D 3 4 【答案】C 【 解 析 】方 程的 四 个 实 根 从 小 到 大 依 次 为函 数 与函数 x y e b的图象有四个不同的交点，且交点的横坐标从左到右为 x1,x2, x3 ,x4 ，作函数与函数 x y e b 的图象如下， 由图可知，故 x3 x4 4 ，x3 x4 12 ，易知 ，即，即，即 ，即，又， ，故，故选C. 3设函数，若恰有 2 个零点，则实数的取值范围是（） AB CD 【答案】B 【解析】当时，在上单调递增， 当时，令得或 （ 1）若，即时，在上无零点，此时， 在1,+ ) 上有两个零点，符合题意； （ 2）若，即时，在 ( - ,1) 上有1 个零点， * 在上只有1 个零点， 4定义在R 上的函数若关于x的方程( 其中m 2 ) 有n个不同的实根x , x2 , ?, xn ,则（） 1 A5e B 4e C 1 4e D 1 3e 【答案】C 【解析】画出函数的图象，如图，由图可知函数f x 的图象关于, x e 对称， 解 方 程 方 程 ， 得f x 1或, f x 1时有 三 个 根 ， ，时有两个根 x4 x5 2e ，所以关于x 的 方程 * 共有五个根， x4 x5 5e ， , 故选 C. 5 为自然对数的底数，已知函数，则函数有唯一零点的充要条件是（） A或或B 或 C或D 或 【答案】A 【解析】作出函数的图像如图所示，其中，则，设直线与曲线 相切，则，即，设，则， 当时，分析可知，当时，函数有极大值也是最大值，所以当时， 有唯一解，此时直线与曲线 相切 分析图形可知，当或或时，函数的图像与函数的图像只有一个交点，即函数 有唯一零点故选. 6已知定义在R 上的函数且, 若方程有 * 三个不相等的实数根, 则实数k 的取值范围是 A 1 3 ,1 B 11 , 3 4 CD 【答案】C 【解析】因为，所以函数f x 是以2 为周期的周期函数，作出函数f x 的图象（如图 所示），方程有三个不相等的实数根，即直线y kx 2 与y f x 的图象有3 个不同 的交点，当k 0 时，由图象得 1 3 k 1，同理得，即或 1 3 k 1. 故选 C. 7已知函数，若函数的图象与轴的交点个数不少于2 个， 则实数的取值范围为（） AB CD 【答案】A 【解析】由题可知函数的图象与轴的交点个数不少于2 个，即为函数y=f(x) 的图像与 函数y=mx+m 的图像的交点个数不少于2 个，由于函数y=mx+m 的图像过定点P（ -1,0 ），且斜率为m,作出函 数 y=f(x) 的图像如图所示， * 数形结合可知，当动直线过点A 时有 2 个交点，当动直线为的切线时，即过点B 时有 两个交点，在这两种极限位置之间有3 个交点，易知设直线y=mx+m 与函数 的 图 像 相 切 ， 联 立 方 程 组由 题 可 知 又 x1. 所以 过点（ -1,0 ）作的切线，设切点坐标为，则此时，切 线的斜率为 故实数m 的取值范围为. 综上实数m 的取值范围为. 故选A. 8已知函数，若且，则的取值范围为 （） AB C D 【答案】D 9已知函数，则关于的方程（）的实根个数不可能为（） * AB C D 【答案】A 【解析】当时，在上是减函数， 当时，在上是减函数，在）上是 增函 数，做出的大致函数图象如图所示： 设，则当时，方程有一解， 当时，方程有两解， 当时，方程有三解 由得 若方程有两解则 方程不可能有两个负实数根， 方程不可能有2 个解 故选A 10已知定义域为的函数满足，当时， 设 在上的最大值为，且的前项和为，若对任意的正整数均成立，则的最 小值是（） * AB C 3 D 2 【答案】A 【解析】, , 时，；时， 时，最大值为；，时，最大值为；时最大 值为，时，最大值为， 对任意均成立，最小值为，故选A. 11已知函数，若存在，使得关于的函数有三个不同的零点， 则实数的取值范围是（） AB C D 【答案】B 【解析】, , 当时 , , 其对称轴, 则 函 数 在上 为增函数, 此时的 值域为; 当时 , , 其对 称轴 , 则函数在上为增函数, 此时函数的值域为, 函数在上为减函 数, 值 域 为. 由 于关于的函 数有 三个 不同 的 零点, 所 以 . 而为增函数, 故. 所 以. 故选 B. 12 定 义 在上 的 函 数满 足， 当时 ， 函 数 . 若对任意，存在，不等式成立，则实数的取值 范围是（） * AB C D 【答案】A 【解析】 由题得函数在 0,1 上的值域 为， 函数在1, 上是减函数，在上是增函数， 所以函数在上的值域 为. 所以函数在的值域为. 因为定义 在上的函数满足， 所以函数在的值域为. 所以函数在的值域 为. 所以函数f(x) 在的最小值为-12. 函数g（x） =x 3+3x2+m， =3x 2+6x， 令 3x 2+6x0，所以 x 0 或 x 2， 令 3x 2+6x0，所以 2 x0， 函数g（x） =x 3+3x2+m，在（ ， 2） ， （ 0，+ ）单调递增在（2， 0）单调递减， ? t 4， 2），g（ t ） 最小=g（ 4） =m 16， 不等式f （ s） g（ t ） 0， 12 m 16， 故实数满足 m 4， 故答案为： A 13已知函数，.设为实数，若存在实数，使得成 * 立，则实数的取值范围为（） AB C D 【答案】B 【解析】 当时， ， 当时，单调递增， 综上可得 若存在实数，使得成立， 则， 即， 整理得， 解得 实数的取 值范围为 故选B 14 已 知 函 数， 函 数有 四 个 不 同 的 零 点， 且 满 足 ： ，则的取值范围是（） AB C D 【答案】B 【解析】 * , 由二次函数的对称性可得 由可得， 函数有四个不同的零点， 等价于的图象与的图象有四个不同的交点， 画出的图象与的图象，由图可得， = 令，故选B. 15 设 函 数，若 存在 互不 相 等 的4 个实 数，使 得 ，则的取值范围为（） AB C D 【答案】C * 则，令，解得， 可知函数在区间单调递减，在区间上单调递增， 若使函数有两个零点，必有， 解得，故选C. 16已知函数，若恰有5 个不同的根，则这5 个根的和的取值 范围为 AB C D 【答案】A 【解析】 不妨设的个根从小到大为， 即为与交点横坐标从小到大为， 由正弦定理函数的对称性可得， 于是 由，得， 由，得， ， ， 即个根的和的取值范围为，故选A. * 17已知为定义在上的函数，其图象关于轴对称，当时，有，且当时， ，若函数恰 有个不同的零点，则实数的取值范围是（） AB C D 【答案】D 【解析】f （ x）为定义 在 R 上的偶函数，且当x0 时，有f （ x+1） =-f （x） ， 且当x 0 ， 1）时， f （ x） =log 2（ x+1） ， 故函数f （x）的图象如下图所示： 所以恰有个不同的零点，则只需y=kx 与 y 轴右边 x 轴上方的图像交两个点和与y 轴左边 x 轴下方的交两个点即可，而在，故，又 y 轴左边 x 轴下方的交两个 点只需，故综合得答案为： ，故选D. 18已知函数（是自然对数底数），方程有四个实数根，则 的 取值范围为（） AB C D 【答案】B * 令 f （ x）=m，则方程m 2+tm+1=0 应有两个不等根，且一个 根在（ 0，）内， 一个根在（，+ ）内，再令g（ m ） =m 2+tm+1 ，因为 g（0） =1 0， 则只需g（） 0，即（） 2 + t+1 0，解得：t 所以，方程f 2（ x） +tf （ x）+1=0 （ t R）有四个实数根的 t 的取值范围是（- ，） 选B. 19已知函数，若关于的方程有两个不等实数根， ，且，则的最小值是（） AB C D 【答案】D 【解析】 因为f( x)=x 3+sinx 是奇函数且f (x)=3x 2+cosx 0，所以f( x)= x 3+sinx 单调递 增， 若关于x 的方程f ( g( x)+ m=0 恰有两个不等实根， 等价于f (t )+ m=0 有且只有一个根，t =g( x) 有且只有两个根， 且， 所以， 设函数t (x)= x-2 ln ( x+l )+2, 则， 所以当01 时，t (x)0 ，t ( x) 单调递增， 所以，f ( x) 的极小值即最小值是t (1)=3-21 n2，即的最小值为 3-2 ln 2. 本题选择D选项. 20已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为 ， 则的取值范围为 （） * AB C D 【答案】B 【解析】 当 x 0 时， f （ x）= ， 可得f （ x）在x 2 递增，在0 x2 处递减， (x+1)2 由 f （ x）=e ，x 0， x -1 时， f （ x）递减； -1 x 0 时， f （ x）递增， 可得x=-1 处取得极小 值1， 作出f （ x）的图象，以及直 线 y=a， 可得e (x +1)2 =e 1 (x 2 +1)2 = ， +1)2 = ， 即有x1+1+x2+1=0，可得x1=-2-x 2， -1 x2 0， 可得x3x4=4， x 1x2+x3x4=4-2x 2-x 2 2+1） 2=-（ x 2=-（ x 2+5，在 -1 x 20 递减， 20 递减， 可得所求范围 为 4 ，5） 故选B. *
