五年级数学奥数练习14数列的分组(B)(完整版).pdf

数列的分组 (B) 年级班姓名得分 一、填空题 1. 有一列由三个数组成的数组, 它们依次是 (1,5,10);(2,10,20);(3,15,30);第 99 个数组内三个数的和是_. 2. 有数组 :(1,1,1),(2,4,8),(3,9,27), , 第 100 组的三个数之和是_. 3. 有数组 1,2,3,4,2,4,6,8,3,6,9,12, , 那么第 100 个数组的四个数的和是 _. 4. 将 自 然 数 按 下 面 的 规 律 分 组 :(1,2),(3,4,5,6),(7,8,9,10,11,12),(13, 14,15,16,17,18,19,20), , 第 1991 组的第一个数和最后一个数各是_. 5. 将奇数按下列方式分组: (1),(3,5),(7,9,11),(13,15,17,19), . (1) 第 15 组中第一个数是_; (2) 第 15 组中所有数的和是_; (3) 999位于第 _组第 _号. 6. 自然数列1,2,3, ,n, , 它的第n组含有2n-1个数 , 第 10 组中各数的和是 _. 7. 给定以下数列: 1 1 , 2 1 , 2 2 , 3 1 , 3 2 , 3 3 , 4 1 , 4 2 , 4 3 , 4 4 , (1) 29 23 是第 _项; (2) 第 244 项是 _; (3) 前 30 项之和是 _. 8. 在以下数列 : 1 1 , 1 2 , 2 1 , 1 3 , 2 2 , 3 1 , 1 4 , 2 3 , 3 2 , 4 1 , 1 5 , 2 4 , 中 , 19 7 居于第 _项 . 9. 设自然数按下图的格式排列: 1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21 (1) 200所在的位置是第_行, 第_列; (2) 第 10 行第 10 个数是 _. 10. 紧接着 1989 后面写一串数字, 写下的数字都是它们前面两个数字之积的个位数, 例 如 8×9=72, 在 9 后面写 2,2 ×9=18, 在 2 后面写 8, , 这样得到一串数字, 从 1 开始 , 第 1989 个数字是 _. 二、解答题 11. 将 1 到 1989 的自然数从头开始, 依次第四个数一组, 第一组各数间添上“+”号, 第 二组各数间添上“一”号, 以后各组以“ +”, “一”号相间隔, 列成一个算式: 1+2+3+4-5-6-7-8+9+10+11+12-13-. 问: (1) 1989前添什么号 ? (2) 求这个算式的结果. 12. 把由 1 开始的自然数依次写下来: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14. 重新分组 ,按三个数字为一组: 123,456,789,101,112,131, 问第 10 个数是几 ? 13. 根据下图回答 : (1) 第一行的第8 个数是几 ? (2) 第五行第六列上的数是几? (3) 200的位置在哪一格( 说出所在行和列的序号)? 14. 已知自然数组成的数列 A: 1,2,3,9,10,11,12, 把这个数列的10 和大于 10 的数 , 全部用逗号隔成一位数, 做成一个新的数列 B: 1,2,3,9,1,0,1,1,1,2, . 问: (1) A中 100 这个数的个位上的“ 0”在B中是第几个数? (2) B中第 100 个数是几 ?这个数在A中的哪个数内?是它的哪一位数? (3) 到B的第 100 个数为止 ,“3”这个数字出现了几次? (4) B中前 100 个数的和是多少? 答案 答 案: 1. 解法一这串数组 , 各组数的和是16,32,48,. 各组数的和分别是按16 的 1 倍 ,2 倍,3 倍, 的规律递增. 因此 , 第 99 个数组的和是16×99=16×(100-1)=1600-16=1584. 解法二通过观察可以发现, 每一组括号中的三个数的关系是: 第一个数表示组数, 第 二个数是第一个数的5 倍,第三个数是第一个数的10倍. 因此 , 第 99 组内三个数应为:(99,99 ×5,99 ×10). 所以 ,第 99 个数组的和是: 99+99×5+99×10=99×(1+5+10) =99×16 =1584 2. 解法一通过观察可以发现, 每一组括号中三个数的关系是: 第一个数表示组数, 第 二个数是第一个数自乘的积, 第三个数是第一、二两数的乘积, 因此 ,第 100 组中的三个数应 分别是 : 第一个数是100; 第二个数是100×100=10000; 第三个数是100×10000=1000000, 所以 , 第 100 组的三个数的和为: 100+10000+1000000=1010100. 解法二通过观察可发现每一组的三个数的和可以用通项公式 32 nnnan表示 ,n=1,2,3,. 因此 , 第 100 组的三个数之和是: 1010100100100100 32 100 a. 3. 解法一这串数组 , 各组数的和是10,20,30,40,. 因此 , 第 100 个数中的四个数的 和是 100×10=1000. 解法二通过观察可以发现, 每一组数括号中四个数的关系是: 第一个数表示组数, 第 二个数是第一个数的2 倍, 第三个数是第一个的3 倍 , 第四个数是第一个数的4 倍. 因此 , 第 100 个数组内的四个数分别是:(100,200,300,400). 所以 , 第 100 个数组的四个数的和是:100+200+300+400=1000. 4. 仔细观察找出这些自然数分组的规律, 再找出每一组的第一个数与该组的序数之间 的关系 . 第 1 组的第 1 个数是 :1=(1-1)×1+1; 第 2 组的第 1 个数是 :3=(2-1)×2+1; 第 3 组的第 1 个数是 :7=(3-1)×3+1; 第 4 组的第 1 个数是 :13=(4-1)× 4+1; 根据这一规律 , 可求出第1991 组的第 1个数是 :(1991-1)×1991+1=3962091. 第 1992 组的第一个数是: (1992-1)×1992+1=3966073. 因此 , 第 1991 组的最后一个数是:3966073-1=3966072. 5. (1)从第 1 组到第 14 组的奇数有1+2+3+14= 2 1514 =105( 个). 因此 , 第 15 组最初一个数是第106 个奇数 :2 ×106-1=211. (2)在第 15 组中的数是以211 为首项 , 公差为2, 项数等于15 的等差数列 , 其和是 15× 211+ 2 1415 ×2=3375. (3) 设 999 位于第n组, 因 31×32=992,32 ×33=1056, 所以n=32, 第 32 组最初一个数 是:2 ×(1+2+31)-1+2=993. 因此 ,999 是第 32 组的第 4 号数 . 6. 第 1 组到第 9 组共有自然数:1+3+5+ +(2×9-1)= 2 9) 117( =18( 个). 因此 ,第 10 组第 1 号数是 82, 第 10 组有 2×10-1=19 个数 ,所以第 10 组各数之和为 1729 2 19)10082( . 7. (1)以分母相同的分数分组, 并记分母为n的分数属于第n组, 从而 29 13 是第 29 组的 第 13 号数 , 第n组由n个分数组成 , 从第 1 组到第 28 组有 1+2+3+28= 2 2928 =406 个分数 , 因此 29 13 位于第 406+13=419 项. (2) 因21× 20=420,22 × 21=462,23 × 22=506, 故第244 项在第22 组 , 前 21 组有 2 2221 =231 个分数 , 从而第 244 项是居于第22 组中的第13 号数 , 是 22 13 . (3) 前 30 项之和为 1+ 2 1 (1+2)+ 3 1 (1+2+3)+ + 7 1 (1+2+ +7)+ 8 1 + 8 2 =1+ 2 5 2 4 2 3 + + 2 8 + 8 3 = 2 1 (2+3+4+8)+ 8 3 = 2 1 × 2 7)82( + 8 3 = 8 143 =17 8 7 . 8. 将分子与分母之和相等者归于同一组: ) 1 1 (,) 2 1 , 1 2 (,) 3 1 , 2 2 , 1 3 (,) 4 1 , 3 2 , 2 3 , 1 4 (, ， 其中 19 7 在 7+19-1=25 组, 是第 19 号数 .1 至 24 组共有分数 1+2+3+ +24= 2 2524 =300( 个). 所以 19 7 在原数列中是第300+19=319 项. 9. 注意到第一列是完全平方数: 1,4,9,16,25,. 按(1),(2,3,4),(5,6,7,8,9),分组 ,则 200 在 196 与 225 之间 , 属第 15 组 , 倒数第 4 个数 , 在第 4 行、第 15 列上 . 第 10 行第 10 个数是位于第10 行第 10 列上的数91. 10. 写出前面几个数字: 198928688428688428, 1989 后面的六位数字出现循环. (1989-4)÷6=3305, 所以第 1989 位数字是 8. 11. 1989÷8=2485, 所以 1989 前添的是“ - ”号 . 观察到 , 从第 3 个数起 , 每 8 个数之 和为 0: 3+4-5-6-7-8+9+10=0, 11+12-13-14-15-16+17+18=0, (1989-2)÷8=248 3, 所以 , 这个算式的结果是: 1+2+1987+1988-1989=1989. 12. 1到 9 有 9 个数字 ,10 到 19 有 20 个数字 , 第 10 个三位数是192. 13. (1)所有自然数按自右上至左下以斜线分组: (1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10), 第n组第 1 号数是第一行的第n个数 . 从第 1 组到第 (n-1) 组有 : 1+2+3+(n-1)= 2 )1(nn 个数 , 从而第n组第 1 号数是 2 ) 1(nn +1. 因此 , 第 1 行第 8 个数是 2 87 +1=29. (2)一般地 , 自上至下第m行, 自左至右第n列上的数在第(m+n-1) 组中 , 第五行第六 列上的数在第10 组中 , 第 10组第 1号数是 2 109 +1=46, 第 10 组在第五行的数是46+5-1=50. (3)19 ×20=380,20×21=420,故 200 在第 20 组中, 第 20 组第一个数是 2 2019 +1=191,因此数 200 在第 10 行第 11 列的位置上 . 14. (1)数 100 之前有数字9+2× 90=189(个), 所以数 100 的个位上的“ 0”在B中是第 189+3=192个数 . (2)B中第 9+2×40=89个数是A中数 49的“9”:4950515253545556, B中第 100个数 是A中数 55 的十位数上的“ 5”. (3) 到B的第 100 个数为止 , 数字“ 3”一共出现了1+1+1+11+1+1=16(次). (4) B中前 100 个数字之和为 (1+2+9)×5+10×(1+2+3+4)+6× 5+(0+1+2+3+4) =225+100+30+10 =365. 珍惜眼前的学习机会，当你现在有机会学习各种经验时，一定要倍加珍惜。靠混日子是混不了一辈子的，许多过程都是不能省略的，至少学会这些经验可以让你少走很多弯路。每个人的选择 都是在自己力所能及的范围内做出的最优的选择，大部分人都是安全感的奴隶，当你觉得生活轻而易举，成就感爆棚时，很有可能你只是选择了基础难度，而在你的圈子外，还有很多很多比 你厉害几倍甚至几十倍的人，从一开始就是最高难度且现在比你财富多几十倍，甚至上百倍。你所谓的成功，也许只是他们眼中短暂歇脚的驿站。不要做温水里的青蛙，只有走出自己的心灵 舒适区，你的人生才真正开始!快乐总和宽厚的人相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴。人生就有许多这样的奇迹，看似比 登天还难的事，有时轻而易举就可以做到，其中的差别就在于非凡的信念。影响我们人生的绝不仅仅是环境，其实是心态在控制个人的行动和思想。同时，心态也决定了一个人的视野和成就， 甚至一生。无论你觉得自己多么了不起，也永远有人比更强;无论你觉得自己多么不幸，永远有人比你更不幸。也许有些路好走是条捷径，也许有些路可以让你风光无限，也许有些路安稳又有 后路，可是那些路的主角，都不是我。至少我会觉得，那些路不是自己想要的。在别人肆意说你的时候，问问自己，到底怕不怕，输不输的起。不必害怕，不要后退，不须犹豫，难过的时候 就一个人去看看这世界。多问问自己，你是不是已经为了梦想而竭尽全力了?人往往有时候为了争夺名利，有时驱车去争，有时驱马去夺，想方设法，不遗余力。压力挑战，这一切消极的东西 都是我进取成功的催化剂。真想干总会有办法，不想干总会有理由;面对困难，智者想尽千方百计，愚者说尽千言万语;老实人不一定可靠，但可靠的必定是老实人;时间，抓起来是黄金，抓不 起来是流水。成功的道路上，肯定会有失败;对于失败，我们要正确地看待和对待，不怕失败者，则必成功;怕失败者，则一无是处，会更失败。一句简单的问候，是不简单的牵挂;一声平常的 祝福，是不平常的感动;条消息送去的是无声的支持与鼓励，愿你永远坚强应对未来，胜利属于你!行为胜于言论，对人微笑就是向人表明：我喜欢你，你使我快乐，我喜欢见到你。最值得欣 赏的风景，就是自己奋斗的足迹。人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，只要一个人的心中还怀着一粒信念的种子，那么总有一天，他就能走出困境，让生命重 新开花结果。当机会呈现在眼前时，若能牢牢掌握，十之八九都可以获得成功，而能克服偶发事件，并且替自己寻找机会的人，更可以百分之百的获得成功。相信自己，坚信自己的目标，去 承受常人承受不了的磨难与挫折，不断去努力去奋斗，成功最终就会是你的!相信你做得到，你一定会做到。不断告诉自己某一件事，即使不是真的，最后也会让自己相信。当你感到悲哀痛苦 时，最好是去学些什么东西。领悟会使你永远立于不败之地。