必修五不等式专题复习.pdf
不等式专题复习 知识回顾 一不等式的主要性质： (1) 对称性： (2) 传递性： (3) 加法法则： (同向可加 ) (4) 乘法法则： ( 同向同正可乘 ) (5) 倒数法则： (6) 乘方法则： (7) 开方法则： 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小： 作差法（作差变形判断符号结论） 3、应用不等式性质证明不等式 二解不等式 1.一元二次不等式00或0 22 acbxaxcbxax的解集： 2、简单的一元高次不等式的解法： （穿根法）其步骤是： （1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画 曲线；并注意奇穿过偶不过； （ 3 ） 根 据 曲 线 显 现( )f x的 符 号 变 化 规 律 ， 写 出 不 等 式 的 解 集 。 如： xxx1120 23 3、分式不等式的解法（转化为常规不等式） ( )( )0 ( )( ) 0( ) ( )0;0 ( )0( )( ) f x g x f xfx f x g x g xg xg x 注意：右边不是零时，先移项再通分，化为上两种情况再处理 4、不等式的恒成立问题： 应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式Axf在区间D上恒成立 , 则等价于在区间D上 min fxA 若不等式Bxf在区间D上恒成立 , 则等价于在区间 D上 max fxB 三、线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：定点法 3、线性规划的有关概念： 线性约束条件线性目标函数 线性规划问题可行解、可行域和最优解： 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： （1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）依据线性目标函数作参照直线ax+by0，在可行域内平移参照直线求目标 函数的最优解 四均值不等式 1若 a,bR,则 a 2+b22ab,当且仅当 a=b 时取等号 . 2如果 a,b 是正数，那么).“( 2 号时取当且仅当 baab ba 变形： a+bab2； ab 2 2 ba , 当且仅当 a=b 时取等号 . 注： （1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为 定值时，可以求它们的积的最小值， 正所谓“积定和最小，和定积最大” （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 3. 常用不等式有： （1） 22 2 2211 abab ab ab ( 根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a、b、c R， 222 abcabbcca（当且仅当abc时，取等 号） ； （3）若0,0abm，则 bbm aam （糖水的浓度问题）。 典例剖析 题型一：不等式的性质 1.对于实数cba,中，给出下列命题： 22 ,bcacba则若；babcac则若, 22 ； 22 , 0bababa则若； ba ba 11 ,0 则若； b a a b ba则若,0； baba则若, 0； bc b ac a bac则若,0； 11 ,ab ab 若，则0,0ab。 其中正确的命题是 _ 题型二：比较大小（作差法、函数单调性、 中间量比较， 基本不等式） 2.设2a， 1 2 pa a ， 24 2 2 aa q，试比较 qp,的大小 3.比较 1+3logx与)10(2log2xx x 且的大小 4.若) 2 lg(),lg(lg 2 1 ,lglg,1 ba RbaQbaPba， 则RQP,的大小关 系是 . 题型三：解不等式 5.解不等式 6.解不等式 2 (1)(2)0xx。 7.解不等式 2 5 1 23 x xx 8.不等式 2 120axbx的解集为 x|-1x2，则 a=_, b=_ 9.关于x的不等式0bax的解集为), 1 (， 则关于x的不等式0 2x bax 的解 集为_ 10. 解关于 x 的不等式 2 (1)10axax 题型四：恒成立问题 11. 关于 x的不等式 a x2+ a x+10 恒成立，则 a 的取值范围是 _ 12. 若不等式 2 2210xmxm对01x的所有实数x都成立，求m的取值范 围. 13. 已知0,0xy且 19 1 xy ，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范 围。 三基本不等式 题型五：求最值 14. （直接用注正数）求下列函数的值域 （1）y3x 21 2x 2 （2）yx 1 x 15. （配凑项） （1）已知 5 4 x，求函数 1 42 45 yx x 的最大值。 （2）当时，求(82 )yxx的最大值。 16. 求 2 710 (1) 1 xx yx x 的值域。 注意：在应用均值不等式求最值时，若等号取不到，应结合函数( ) a f xx x 的 单调性。 17. 求函数 2 2 5 4 x y x 的值域。 18. （条件不等式） （1）若实数满足 2ba ，则 ba 33的最小值是 . （2）已知0,0xy，且 19 1 xy ，求xy的最小值。 （3）已知 x，y 为正实数，且 x 2y 2 2 1，求 x1y 2 的最大值 . （4）已知 a，b 为正实数， 2baba30，求函数 y 1 ab 的最小值 . 题型六：利用基本不等式证明不等式 19、已知 a, b 都是正数，并且 ab，求证： a 5 + b5 a2b3 + a3b2
