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六年级奥数100 题 1. 很多科学家都喜欢用一些有趣的数学问题来考察别人的机敏和逻辑推理能 力。 这里有一道著名物理学家爱因斯坦编的问题：在你面前有一条长长的阶梯。 如果你每步跨 2 阶， 那么最后剩下 1 阶； 如果你每步跨 3 阶， 那么最后剩 2 阶； 如果你每步跨 5 阶，那么最后剩 4 阶； 如果你每步跨 6 阶，那么最后剩 5 阶； 只有当你每步跨 7 阶时，最后才正好走完，一阶也不剩。 请你算一算，这条阶梯到底有多少阶？ 分析与解：分析能力较强的同学可以看出，所求的阶梯数应比2、3、5、 6 的公倍数（即 30 的倍数）小 1，并且是 7 的倍数。因此只需从 29、59、89、 119、, 中找7 的倍数就可以了。很快可以得到答案为119 阶。 2. 明明和华华各有铅笔若干支，两个人的铅笔合起来共72 支。现在华华从自己 所有的铅笔中， 取出明明所有的支数送给明明，然后明明又从自己现在所有的 铅笔中，取出华华现有的支数送给华华， 接着华华又从自己现在所有的铅笔中， 取出明明现在所有的支数送给明明。这时，明明手中的铅笔支数正好是华华手 中铅笔支数的 8 倍，那么明明和华华最初各有铅笔多少支？ 分析与解： 有些数学题， 如果顺着思考不易找到答案， 往往从后往前想比较方 便，即从已知条件倒推回去，找出答案来。 根据这道题的已知条件可知， 无论明明取多少支铅笔给华华，还是华华 取多少支铅笔给明明，两人所有的铅笔总支数（72 支）是不变的；又知道最 后明明手中铅笔的支数是华华手中铅笔支数的8 倍。这样我们可以求出最后 两人手中铅笔的支数。 华华最后手中铅笔的支数是：72÷（81）=8（支） 明明最后手中铅笔的支数是：8×8=64（支） 接着倒推回去，就可以求出两人最初各有铅笔多少支了。 答案是：明明最初有铅笔26 支，华华最初有铅笔46 支。 3. 六年级举行中国象棋比赛，共有12 人报名参加比赛。根据比赛规则，每 个人都要与其他人各赛一盘，那么这次象棋比赛一共要赛多少盘？ 分析与解：一共要赛66 盘。 要想得出正确答案，我们可以从简单的想起，看看有什么规律。 假如 2 个人（A、B）参赛，那只赛 1 盘就可以了；假如3 个人（ A、 B、C ） 参赛，那么 AB、AC、BC 要赛 3 盘；假如 4 个人参赛，要赛6 盘，, 于是我们可以发现： 2 人参赛，要赛 1 盘，即 1； 3 人参赛，要赛 3 盘， 即 1+2； 4 个参赛， 要赛 6 盘， 即 1+2+3； 5 人参赛，要赛 10 盘， 即 1+2+3+4； , 那么，12 人参赛就要赛 1+2+3+,+11=66 盘。 我们还可以这样想：这12 个人，每个人都要与另外11 个人各赛 1 盘，共 11×12=132（盘），但计算这总盘数时把每人的参赛盘数都重复算 了一次， （如 AB 赛一盘，BA 又算了一盘）， 所以实际一共要赛132÷2=66 （盘）。 4. 请你把 18 这八个数分别填入下图所示正方体顶点的圆圈里，使每个面的4 个角上的数之和都相等。 分析与解：做这种填数游戏， 有两种方法，一种是“笨”方法， 即凑数的方法。 分别用这 8 个数去试，这种方法可行，但很费事。另一种方法是用分析、计 算的方法。这道题可以分析、计算如下：在计算各个面上4 个数的和时，顶 点上的数总是分属3 个不同的面，这样，每个顶点上的数都被重复计算了3 次。 因此， 各个面上 4 个数的和为 18 这 8 个数的和的 3 倍， 即 （12+3+.+8） ×3=108.又因为正方体有6 个面，也就是每个面上的四个数的和应是 108÷6=18.18 应是我们填数的标准。 如果在前面上填入1、7、2、8（如图 31），那么右侧面上已有2、8， 其余两顶点只能填3、5. 以此类推，答案如图31 所示。 5. 晚饭后，爸爸、妈妈和小红三个人决定下一盘跳棋。打开装棋子的盒子前，爸 爸忽然用大手捂着盒子对小红说：“小红，爸爸给你出一道跳棋子的题，看你 会不会做？”小红毫不犹豫地说：“行，您出吧？”“好，你听着：这盒跳棋 有红、绿、蓝色棋子各15 个，你闭着眼睛往外拿，每次只能拿1 个棋子，问 你至少拿几次才能保证拿出的棋子中有3 个是同一颜色的？” 听完题后，小红陷入了沉思。同学们，你们会做这道题吗？ 分析与解：至少拿7 次，才能保证其中有3 个棋子同一颜色。 我们可以这样想： 按最坏的情况， 小红每次拿出的棋子颜色都不一样， 但从第 4 次开始，将有 2 个棋子是同一颜色。到第6 次，三种颜色的棋子各 有 2 个。当第 7 次取出棋子时，不管是什么颜色，先取出的6 个棋子中必有 2 个与它同色，即出现3 个棋子同一颜色的现象。 同学们，你们能从这道题中发现这类问题的规律吗？如果要求有4 个 棋子同一颜色，至少要拿几次？如果要求5 个棋子的颜色相同呢？ 6.5 猴摘了一堆桃子。决定睡后再分。过了一段时间，来了一只猴，把 桃平均分 5 份，结果多出了 1 个，就把多出的 1 个吃了，拿走其中的一份；又 过了一会，来了第二只猴，将桃子重新堆起，平均分成5 份，发现也多一个， 同样吃了 1 个，拿走其中的 1 份，第 3，4，5 只都是这样，问 5 只猴至少摘了 多少桃子？第 5 只猴子走后还剩多少个桃子？ 【解答】：设桃子共有 X个，借 4 个桃成为 X+4个。多一个桃就相当 于少 4 个桃。 5 个猴子分别拿了A,B,C,D,E 个桃子。因此有： A=(X+4)/5 B=4(X+4)/25 C=16(X+4)/125 D=64(X+4)/625 E=256(X+4)/3125 E为整数，所以 X+4=3125K 当 K=1时，X=3121 因此最少摘了 3121 个桃子。 然后容易算出最后至少剩余1020 个桃子。 7. 唐老鸭与米老鼠进行一万米赛跑，米老鼠的速度是每分钟125 米，唐老鸭 的速度是每分钟 100 米。唐老鸭手中掌握一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器， 通过这种遥控器发出第n 次指令，米老鼠就以原来速度的n×10% 倒退一分钟， 然后再按原来的速度继续前进。如果唐老鸭想在比赛中获胜， 那么它通过遥控 器发出指令的次数至少是_次。 解答 8. 从 1 至 25 这 25 个自然数中，每次取出两个不同的数，使他们的和是4 的 倍数，共有多少种不同的取法 解答：按除以 4 的余数分类： （4，8，12，16，20，24）中任取 2 个：共 15 （2，6，10，14，18，22）中任取 2 个：共 15 （1，5，9，13，17，21，25）和（ 3，7，11，15，19，23）中各取 1 个： 7×6=42 共有 15+15+42=72种。 9. 是否存在自然数 n，使得 n2n2 能被 3 整除？
