莫比乌斯反演.ppt
莫比乌斯反演,吉大附中实验学校 PoPoQQQ,什么是莫比乌斯反演？,介绍这个之前，我们先来看一个函数 根据F(n)的定义，我们显然有： F(1)=f(1) F(2)=f(1)+f(2) F(3)=f(1)+f(3) F(4)=f(1)+f(2)+f(4) F(5)=f(1)+f(5) F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6) F(7)=f(1)+f(7) F(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8),于是我们可以通过F(n)推导出f(n),f(1)=F(1) f(2)=F(2)-F(1) f(3)=F(3)-F(1) f(4)=F(4)-F(2) f(5)=F(5)-F(1) f(6)=F(6)-F(3)-F(2)+F(1) f(7)=F(7)-F(1) f(8)=F(8)-F(4) 在推导的过程中我们是否发现了一些规律？,莫比乌斯反演,公式： 其中 为莫比乌斯函数，定义如下： (1)若 则 (2)若 ， 为互异素数，那么 (3)其它情况下,莫比乌斯函数的性质,(1)对于任意正整数n有： 证明： 当 时显然 当 时，将 分解可以得到 在 的所有因子中， 值不为零的只有所有质因子次数都为1的因子，其中质因数个数为 个的因子有 个 那么显然有：,莫比乌斯函数的性质,只需证明 即可 二项式定理： 令 ，代入即可得证。,莫比乌斯函数的性质,(2)对于任意正整数n有： 其实没什么用，结论挺好玩的可以记一下 只需要令 ，代入莫比乌斯反演的公式即可 至于为什么 就留给大家做思考题了,莫比乌斯函数的性质,(3)积性函数 数论上积性函数的定义： 积性函数的性质： 积性函数的前缀和也是积性函数,莫比乌斯函数的性质,由于莫比乌斯函数是积性函数，因此我们可以通过线性筛来求出莫比乌斯函数的值 代码： mu1=1; for(i=2;i=n;i+) if(!not_primei) prime+tot=i; mui=-1; for(j=1;primej*i=n;j+) not_primeprimej*i=1; if(i%primej=0) muprimej*i=0; break; muprimej*i=-mui; ,BZOJ 2440 完全平方数,题目大意：求第k个无平方因子数 无平方因子数(Square-Free Number)，即分解之后所有质因数的次数都为1的数 首先二分答案 问题转化为求1,x之间有多少个无平方因子数 根据容斥原理可知 对于sqrt(x)以内所有的质数 有 x以内的无平方因子数 =0个质数乘积的平方的倍数的数的数量(1的倍数) -每个质数的平方的倍数的数的数量(9的倍数,25的倍数,.) +每2个质数乘积的平方的倍数的数的数量(36的倍数,100的倍数,.)-.,BZOJ 2440 完全平方数,容易发现每个乘积a前面的符号恰好是 (例如 故9对答案的贡献为负； ，故36对答案的贡献为正) x以内i2的倍数有 个 故有 这题和莫比乌斯反演没关系，算是莫比乌斯函数的一个应用吧。,现在我们来证明莫比乌斯反演定理,证明： 这里利用到了 这条性质 形式二： 证明同理 一般要用到的都是这种形式,有了这个定理，我们能干什么？,对于一些函数f(n)，如果我们很难直接求出它的值，而容易求出倍数和或约数和F(n)，那么我们可以通过莫比乌斯反演来求得f(n)的值 例：f(n)表示某一范围内(x,y)=n的数对的数量，F(n)表示某一范围内n|(x,y)的数对的数量 那么直接求f(n)并不是很好求，而F(n)求起来相对无脑一些，我们可以通过对F(n)进行莫比乌斯反演来求得f(n) 下面用几道例题来为大家讲解一下莫比乌斯反演的好处,BZOJ 2301 Problem b,n次询问，每次询问有多少个数对(x,y)满足a=x=b,c=y=d且gcd(x,y)=k N=5W,1=a=b=5W,1=c=d=5W 首先利用容斥原理将一个询问拆分成四个，每次询问有多少个数对(x,y)满足1=x=n,1=y=m且gcd(x,y)=k 这个问题等价于询问有多少个数对(x,y)满足1=x=floor(n/k),1=y=floor(m/k)且x与y互质 利用NOI2010能量采集中的方法，我们可以得到一个O(nlogn)的算法，但是这显然不能胜任此题的数据范围 这时候我们就可以考虑莫比乌斯反演了,BZOJ 2301 Problem b,由于之前的结论，我们可以令f(i)为1=x=n,1=y=m且gcd(x,y)=i的数对(x,y)的个数，F(i)为1=x=n,1=y=m且i|gcd(x,y)的数对(x,y)的个数 那么显然有 反演后可得 枚举原题中k的每一个倍数，我们就可以O(n)时间处理每个询问了 但是O(n)还是不能胜任本题的数据范围 考虑进一步优化,BZOJ 2301 Problem b,观察式子，发现 最多有 个取值 那么 就至多有 个取值 枚举这 个取值，对莫比乌斯函数维护一个前缀和，就可以在 时间内出解 总时间复杂度 枚举除法的取值这种方法在莫比乌斯反演的应用当中非常常用，且代码并不难写 不难写？怎么写？,BZOJ 2301 Problem b,if(nm) swap(n,m); for(i=1;i=n;i=last+1) last=min(n/(n/i),m/(m/i); re+=(n/i)*(m/i)*(sumlast-sumi-1); return re; 超级好写不是么？,BZOJ 2820 YGY的GCD,题目大意：求有多少数对(x,y)(1=x=n,1=y=m)满足gcd(x,y)为质数 n,m=1000W 数据组数=1W 首先我们枚举每一个质数 那么答案就是 直接做显然TLE 考虑优化 令 ，那么有,BZOJ 2820 YGY的GCD,如果能求出 的前缀和，这个问题就能在 时间内出解。 只需要暴力枚举每一个质数，去更新这个质数的倍数即可。 由 这个结论易知每个质数更新时是均摊 的，而质数个数恰好为 故暴力枚举+维护前缀和的时间复杂度即为 。,BZOJ 3529 数表,题目大意：令F(i)为i的约数和，q次给定n,m,a,求 n,m=105,q=2W,a=109 a的限制十分讨厌 我们首先假设没有这个限制 令g(i)为1=x=n,1=y=m,gcd(x,y)=i的数对(x,y)的个数 那么显然有,BZOJ 3529 数表,F(i)利用线性筛可以在O(n)时间内处理出来 那么就有 治好了我多年的公式恐惧症 现在我们只要有 的前缀和就可以在 时间内解决这个弱化版的问题 与上一题相同，枚举每一个i，暴力更新i的倍数，然后处理前缀和，这样做是O(nlogn)的 那么现在有了a的限制怎么搞呢？,BZOJ 3529 数表,我们发现对答案有贡献的i只有F(i)=a的i 我们离线处理，将询问按照a排序，i按照F(i)排序 每次询问将所有F(i)=a的i按照之前的方式插入 用树状数组维护前缀和即可 时间复杂度 取模可以利用自然溢出int 最后再对231-1取与即可,BZOJ 2154 Crash的数字表格,题目大意：给定n,m,求 (n,m=107) 枚举 令 则有,BZOJ 2154 Crash的数字表格,继续令 那么根据莫比乌斯反演可以推出 不是很好推，和之前的思路一样，我不当堂推了 将两个式子分别进行 的计算 可以得到一个 的算法 至此本题已经可以解决。,BZOJ 2693 jzptab,题目大意：同上题 多组数据 由于是多组数据 因此上一题的 算法显然超时 考虑进一步优化 观察后面的 ，如果我们能对这个函数求出一 个前缀和，那么就可以在 的时间内处理每个询问,BZOJ 2693 jzptab,注意到积性函数的约数和也是积性函数 因此后面的那坨东西可以利用线性筛求出来 线性筛当 时不满足积性函数的条件，但是由于此时 ，故多出来的因数的函数值都 是0，增加的只有原先因数的 部分乘了个primej而已 这两道题的公式都有些鬼畜，建议写这两道题之前先推推有关公式，权当治疗公式恐惧症了,谢谢大家,
