2.11有理数的乘方例题与讲解(2013-2014学年华师大七年级上).pdf

2.11 有理数的乘方 1有理数乘方的概念 (1)乘方的意义： 一 般 地 ， n个 相 同 的 因 数a 相 乘 ：， 记 作an， 即 an，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫 做幂在an中， a 叫做底数， n 叫做 指数， an读作 a 的 n 次方 (或 a 的 n 次幂 ) (2)乘方的表示方法 (3)学习乘方的意义，需要注意的几个方面： 注意乘方的双重含义 乘方指的是求几个相同因数的积的运算，其结果叫做幂 由此不难发现， 乘方具有双重 含义：一是乘方表示一种运算；二是乘方表示一种特殊的乘法运算的结果 如 25中， 25可以看成一种运算，表示有5 个 2 相乘，即252×2×2×2×2，这时， 25 应读作 2 的五次方；另一方面，25又可看成 5 个 2 相乘的结果，即2× 2×2×2×225，这 时 25却读作 2 的 5 次幂； 注意乘方底数的书写格式 乘方的书写一定要规范，不然会引起误会当底数是负数或分数时，一定要记住添上括 号，以体现底数是负数或分数的整体性如(3)×( 3)×(3)×(3)应记作 (3)4，不能 记作 3 4.( 3)4 与 3 4 表示的意义和结果完全不同前者表示4 个 3 相乘，结果为81；后 者为 4 个 3 相乘的积的相反数， 结果为 81.再如 5 4× 5 4× 5 4× 5 4× 5 4× 5 4应记作 5 4 6， 不能记作 5 6 4 ； 一个数可以看成这个数本身的一次方，如 3就是 31，a 就是 a1，只是指数1 通常省略 不写； an与 an的区别： .an表示 n 个 a 相乘，底数是 a，指数是 n，读作：a 的 n 次方. an表示 n 个 a 乘积的相反数，底数是a，指数是n，读作： a 的 n 次方的相反数 如： (3)3底数是 3，指数是3，读作 3 的 3 次方，表示3 个 3 相乘， (3)3( 3)×(3)×(3) 27.3 3 底数是 3， 指数是 3， 读作 3的 3次方的相反数 33 (3×3×3) 27.所以 (3) 3与 33 的结果虽然都是27，但表示的含义并不同 注意乘方运算的转化计算乘方运算的结果时，应将乘方运算转化为乘法运算来完 成 如计算 (5) 3时，应将它转化为计算 (5)×(5)× (5)的积； 再如计算 1 2 4 时，应将它 转化为计算 1 2× 1 2× 1 2× 1 2的积 【例 1】 把下列各式写成乘方的形式，并指出底数，指数各是什么？ (1)(8.3)× (8.3)×( 8.3)× (8.3)×(8.3)； (2)2 5× 2 5× 2 5× 2 5； (3)a× a×a×× a(2 011 个 a) 分析： 以上三题都是相同因数相乘，可用乘方的形式表示，相同因数为底数，相同因 数的个数为指数，指数写在右上角 解： (1)(8.3)×(8.3)×(8.3)×(8.3)×(8.3)(8.3) 5； (2)2 5× 2 5× 2 5× 2 5 2 5 4； (3)a× a×a×× a(2 011 个 a)a 2 011. 警误区书写乘方的注意事项当底数是负数或分数时，写成乘方的形式时，底数一定 要加上括号，如(1)，(2)两题 2乘方运算的符号法则 (1)有理数乘方的符号法则：正数的任何次幂是正数；负数的偶次幂是正数，奇次 幂是负数； 0 的任何次幂等于0；1 的任何次幂等于1. (2)根据乘方的符号法则和乘方运算的转化，关于乘方有如下几个性质： 0 的任何正整数次幂都是0；互为相反数的偶次幂相等；互为相反数的奇次幂互为相 反数如0n0(n 是正整数 )；(4) 646；(4)3 43. 进行乘方运算时与其他运算一样，先要确定符号， 再计算出绝对值， 同时还应注意( a) 2na2n， (a)2n1 a2n1(n 是正整数 )，由乘方的法则我们还知道 ：a 2n0，即任何有理 数的偶次幂是非负数 谈重点决定乘方结果的符号的因素有理数乘方结果的符号取决于：一底数的符号， 二指数的奇偶 【例 2】 利用有理数乘方运算的符号法则计算： (1)(3) 2；(2)1.53；(3) 4 3 4；(4)(1)11； (5)(1) 2；(6)(1)2n；(7)( 1)2n1. 分析： 根据有理数乘方的符号法则：(2)正数的任何次幂都是正数，(1)(3)(5)(6) 是负数的 偶次幂，结果为正；(4)(7)是负数的奇次幂，结果为负 解： (1)(3)23×39； (2)1.5 31.5× 1.5×1.53.375； (3) 4 3 44 3× 4 3× 4 3× 4 3 256 81 ； (4)(1) 11 1； (5)(1) 21； (6)(1) 2n1； (7)(1) 2n1 1. 3有理数乘方的运算 有理数乘方运算的思路：确定幂的符号；确定幂的绝对值 有理数的乘方是一种特殊的乘法运算 因数相同的乘法运算，幂是乘方运算的结果 因此有理数的乘方运算可以转化为乘法来运算，先根据有理数乘方的符号法则确定幂的 符号，再根据乘方的意义把乘方转化为乘法，来运算幂的绝对值，最后得出幂的结果 例如计算 (5) 3，先确定幂的符号为“”号，再计算 53125，即 ( 5) 3 125；再 如，计算 (2)× 3 2 时，先算32 9，再算 (2)×9 18. 正确理解有理数乘方的意义是进行乘方运算的前提，千万不能把底数与指数直接相乘 在进行有理数的乘方运算时要辨别清楚底数和指数，以及符号问题，避免出错 【例 31】 计算： (1)33；(2)(2) 2； (3)(3×2)3；(4)(2)3. 分析： 运算 时，先确定符号，再计算乘方 (1)负号在幂的前面，结果是负数；(2)负数 的偶次幂，结果是正数；(3)先计算底数3×2 6，再计算 (6) 3；(4)先计算 (2)3，其结 果是负数，再加上前面的负号，最后结果是正数 解： (1)33 (3×3×3) 27； (2)(2) 24； (3)(3×2) 3(6)3 216； (4)( 2) 3 (8)8. 警误区勿把底数乘指数在进行乘方运算时， 一定要避免出现把底数与指数直接相乘 的运算错误如33 (3×3) 9，这是由于没有理解乘方的意义导致的 【例 32】 计算 (0.25) 10×412 的值 分析： 直接求 (0.25)10和 412比较麻烦，但仔细观察可以发现(0.25) 100.2510，表示 10 个 0.25 相乘，而4 12 表示 12 个 4 相乘，这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律，比较 容易求出结果 解： (0.25) 10×412(0.25)10×412 (0.25) 10×410×42(0.25×4)10×42 1×1616. 4.有理数乘方运算的应用 有理数的乘方运算在现实生活中有广泛的应用，给生活中经常出现的大数的读写带来了 极大的方便 现代高科技技术离不开数学技术，数学也是一门神奇的艺术，它那神奇的力量常常让人 感到意外和惊奇！ 比如，一层楼高约3 米，一张纸的厚度只有0.1 毫米， 0.1 毫米与 3 米相比几乎可以忽 略不计， 如果我们将纸对折、再对折， 如此这样对折20 次后，其厚度将比30 层楼房还要高， 这就是有理数乘方的神奇魔力，在现实生活中有着很广泛的应用 数学是一门规律性很强的学科，只要掌握了它的规律，很多问题都可以迎刃而解了，乘 方的规律也不例外同学们要认真思考，仔细观察找到有理数乘方应用的规律 【例4】 “兰州拉面”在学校门口开了一个连锁店，今天开张，做拉面的张师傅站在 门口进行广告宣传，当众拉起了拉面他精湛的拉面技术赢得了围观顾客的阵阵喝彩，吃面 的人更 是络绎不绝张师傅先是用一根直径约13 厘米的粗面条，把两头捏起来拉长，然后 再把两头捏起来拉长，不断地这样， 张师傅共拉了10 次，在他手里出现了一根根直径约0.1 毫米的细面条 算一算： 张师傅拉10 次共拉出了多少根细面条？若拉n 次呢？ (请把探索的结果填入下 表中 ) 次数12345610n 面条根数 分析： 第一次拉出2 12 根，第二次拉出 2 2 4根，第三次拉出 2 38 根，所以第 n 次 拉出 2 n 根 解： 拉 面的根数与拉面的次数n 有关系，拉面的根数2 n. 次数12345610n 面条根数2481632642 10 2 n 5与乘方相关的探究题 探究题是近几年中考中的亮点，渗透多个知识点，形式多样 解题时， 一般遵循从特殊 到一般的探究思路，先准确计算几个特例的结果，再通过对这些结果的分析、归纳得到一个 较一般的结论，最后再应用这个结论解决问题 由于乘方是一种新运算，它是一种特殊的乘法，特殊在因数相同，是同学们新接触的运 算，所以解决问题时要注意，当底数是分数或负数时，写成幂时底数要加括号 与有理数的乘方有关的探究题主要有以下几种：(1)个位数字是几，在中考中经常涉及 到，例如3n的个位数字是3,9,7,1,3,9,7,1，依次循环；(2)拉面的条数、折纸的张数、握手 的次数、绳子的长度、细胞分裂的个数等，都利用2 n 或 1 2 n 求解 【例 51】 有一张厚度是0.1 毫米的纸，将它对折1 次后，厚度为2×0.1 毫米 (1)对折 2 次后，厚度为多少毫米？ (2)对折 20 次后，厚度为多少毫米？ 分析： 此题的关键是将纸的层数化为幂的形式，找出对应关系 根据问题容易得到当对 折两次后厚度为4×0.12 2×0.1 毫米，对折 3 次后厚度变为8× 0.123×0.1 毫米，对折4 次是 16×0.12 4×0.1 毫米，对折 5 次是 32×0.12 5×0.1 毫米， ，从中探寻规律，解 答问题 解： (1)0.1×2 20.4(毫米 ) (2)(2 20×0.1)毫米 【例 52】 1 米长的小棒，第1 次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去， 第 7 次后剩下的小棒有多少米长？ 分析：此题的关键是找出每次截完后，剩下的小棒占整根棒的比例与所截次数之间的关 系 解： 第 7 次后剩下的小棒有 1 2 7×1 1 128(米)