2013年数学中考经典专题60_代数几何综合.pdf

- 1 - 2012 年全国中考数学试题分类解析汇编(159 套 63 专题） 专题 60：代数几何综合 一、选择题 1. （2012 浙江义乌3 分） 一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在【】 A2 与 3 之间B3 与 4 之间C4 与 5 之间D5 与 6 之间 【答案】 B。 【考点】 算术平方根，估算无理数的大小。 【分析】 一个正方形的面积是15，该正方形的边长为15， 91516， 3154。故选 B。 2. （2012 浙江杭州3 分） 已知抛物线 3 yk x1x k -与 x 轴交于点A，B，与 y 轴交 于点 C，则能使 ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是【】 A2B3C4D5 【答案】 B。 【考点】 抛物线与x 轴的交点。 【分析】 根据抛物线的解析式可得C（0， 3） ，再表示出抛物线与x 轴的两个交点的横坐 标，再根据ABC 是等腰三角形分三种情况讨论，求得k 的值，即可求出答案： 根据题意，得C（0， 3） 令 y=0，则 3 k x1x0 k -，解得 x=1 或 x= 3 k 。 设 A 点的坐标为（1，0） ，则 B（ 3 k ，0） ， 当 AC=BC 时， OA=OB=1，B 点的坐标为（ 1，0） ， 3 k =1，k=3； 当 AC=AB 时，点 B 在点 A 的右面时， 22 AC1310， AB=AC=10，B 点的坐标为（101，0） ， 3101 101, k k3 ； 当 AC=AB 时，点 B 在点 A 的左面时， B 点的坐标为（ 10，0） ， - 2 - 33 10 10, k k10 。 能使 ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是3 条。故选B。 3. （2012 浙江湖州3 分） 如图，已知点A（ 4，0） ， O 为坐标原点， P 是线段 OA 上任意一 点（不含端点O，A） ，过 P、O 两点的二次函数y1和过 P、A 两点的二次函数y2的图象开口 均向下，它们的顶点分别为B、C，射线 OB 与 AC 相交于点D当 OD=AD=3 时，这两个二 次函数的最大值之和等于【】 A5B 4 5 3 C3 D4 【答案】 A。 【考点】 二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】 过 B 作 BFOA 于 F，过 D 作 DEOA 于 E，过 C 作 CMOA 于 M， BFOA，DEOA， CMOA， BFDECM。 OD=AD=3，DEOA， OE=EA= 1 2 OA=2。 由勾股定理得：DE=5。 设 P（2x，0） ，根据二次函数的对称性得出OF=PF=x， BFDECM， OBF ODE， ACM ADE 。 BFOFCMAM DEOEDEAE ，即 BFxCM2x 2255 ，解得： 5 2x 5 BF xCM 22 ，。 BF+CM=5。故选 A。 4. （2012 浙江嘉兴、舟山4 分） 已知 ABC 中， B 是 A 的 2 倍， C 比 A 大 20° ，则 A 等于【】 - 3 - A 40 °B 60 °C 80 °D 90° 【答案】 A。 【考点】 一元一次方程的应用（几何问题），三角形内角和定理。 【分析】 设 A=x，则 B=2x， C=x+20° ，则 x+2x+x+20° =180° ，解得 x=40° ，即 A=40° 。 故选 A。 5. （2012 江苏苏州3 分） 已知在平面直角坐标系中放置了5 个如图所示的正方形（用阴影 表示），点 B1在 y 轴上，点 C1、E1、E2、 C2、E3、E4、C3在 x 轴上若正方形A1B1C1D1的边长为1， B1C1O=60° ， B1C1B2C2B3C3，则点 A3到 x 轴的距离是【 】 x y E4C3E3C2E2E1 D1 C1 B2 A3 A2 A1 B3 B1 O A. 3+3 18 错 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。B. 错 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。 C. 错误！未找到引用源。D.错误！未找到引用源。 【答案】 D。 【考点】 正方形的性质，平行的性质，三角形内角和定理，解直角三角形，锐角三角函数定 义，特殊角的三角函数值。 【分析】 过小正方形的一个顶点W 作 FQx 轴于点 Q，过点 A3FFQ 于点 F， 正 方 形A1B1C1D1的 边 长 为1 ， B1C1O=60° ，B1C1B2C2B3C3， B3C3E4=60° ， D1C1E1=30° ， E2B2C2=30° 。 D1E1= 1 2 D1C1= 1 2 。 - 4 - D1E1=B2E2= 1 2 。 22 2222 B E13 cos30 B C2B C2 。 解得： B2C2= 3 3 。 B3E4= 3 6 。 34 3333 B E33 cos30 B C6B C2 ，解得： B3C3= 1 3 。 WC3= 1 3 。 根据题意得出：WC3 Q=30° ， C3WQ=60° ， A3WF=30° ， WQ= 111 = 236 ，FW=WA3?cos30° = 133 = 326 。 点 A3到 x 轴的距离为： FW+WQ= 133+1 += 666 。故选 D。 6. （2012 湖南永州3 分） 下列说法正确的是【】 A ab=ab B 32 aaaa0（） C不等式2x1 的解集为x1 D当 x0 时，反比例函数 k y= x 的函数值y 随自变量x 取值的增大而减小 7. （2012 湖南张家界3分） 下列不是必然事件的是【】 A 角平分线上的点到角两边的距离相等 B 三角形任意两边之和大于第三边 - 5 - C 面积相等的两个三角形全等 D 三角形内心到三边距离相等 【答案】 C。 【考点】 随机事件，必然事件。 【分析】 A为必然事件，不符合题意；B为必然事件，不符合题意；C为不确定事件， 面积相等的三角形不一定全等，符合题意；D为必然事件，不符合题意。故选C。 8. （2012 四川资阳3 分） 下列计算或化简正确的是【】 A 235 a +a =aB 11 45+3= 8 33 C9=3D 11 = x+1x1 【答案】 D。 【考点】 合并同类项，二次根式的化简，算术平方根，分式的基本性质。 【分析】 根据合并同类项和二次根式的化简的运算法则，算术平方根的概念和分式的基本性 质逐一判断： A、a 2 和 a3不是同类项，不可以全并，此选项错误； B、 11 45+3= 5+38 33 ，此选项错误； C、9=3，此选项错误； D、 111 = x+1x1x1 ，此选项正确。 故选 D。 9. （2012 四川南充3 分） 下列计算正确的是【】 （A） x3+ x3=x6（B）m2· m3=m6（C）3-2=3（D）14×7=72 【答案】 D。 【考点】 合并同类项，同底数幂的乘法，二次根式的加减法，次根式的乘法。 【分析】 对每一项分别进行解答，得出正确的结果，最后选出本题的答案即可： A、x3+x3=2x3，故此选项错误；B、m2?m3=m5，故此选项错误； C、3-2再不能合并，故此选项错误；D、1474927 2，故此 选项正确。 故选 D。 - 6 - 10. （2012 四川攀枝花3 分） 下列运算正确的是【】 A 3 8=2B9=3C （ab） 2=ab2 D （ a 2）3=a6 【答案】 A。 【考点】 立方根，算术平方根，幂的乘方与积的乘方。 【分析】 根据立方根，算术平方根，幂的乘方与积的乘方的知识，对各选项分析判断后利用 排除法求解，即可求得答案： A 3 8=2，故本选项正确；B9=3，故本选项错误； C （ab） 2=a2b2，故本选项错误； D （ a2）3=a6，故本选项错误。 故选 A。 11. （2012 四川泸州2 分）已知三角形两边的长分别是3 和 6，第三边的长是方程x 2 - 6x + 8 = 0 的根，则这个三角形的周长等于【】 A、13 B、11 C、11 或 13 D、12 或 15 【答案】 A。 【考点】 因式分解法解一元二次方程，三角形三边关系。 【分析】 首先由方程x 26x80，确定第三边的边长为 2 或 4；其次考查2，3，6 或 4，3， 6 能否构成三角形，从而求出三角形的周长： 解方程 x 26x8 0，得： x 1 2 或 x24。 当第三边是2 时， 23 6，不能构成三角形，应舍去； 当第三边是4 时，三角形的周长为436 13。故选 A。 12. （2012 四川广元3 分） 一组数据2， 3， 6， 8， x 的众数是x， 其中 x 又是不等式组 240x 70x 的整数 解，则这组数据的中位数可能是【】 A. 3 B. 4 C. 6 D. 3 或 6 【答案】 D。 【考点】 一元一次不等式组的整数解，众数，中位数。 【分析】 先求出不等式组2x-40x-70 的整数解，再根据众数、中位数的定义可求 2x40 x70 0 时，函数有最小值；点 （1，4）在函数图象上；当x1 或 x3 时， y4。 【答案】 。 【考点】 函数的图象和性质，轴对称图形和中心对称图形，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】 根据图象作出判断： 函数图象不是轴对称图形。故结论错误。 函数图象是中心对称图形，对称中心是坐标原点。故结论正确。 当 x0 时， 2 33 y=x+=x+2 3 xx ，函数有最小值2 3。故结论正 确。 当 x=1 时， 3 y=1+=4 1 。点（ 1，4）在函数图象上。故结论正确。 当 x0 时， y0，当 x1 时， y 不大于 4。故结论错误。 结论正确的是。 7. （2012 江苏宿迁3 分） 如图，已知P 是线段 AB 的黄金分割点，且P APB.若 S1表示以 PA 为一边的正方形的面积，S2表示长是 AB、宽是PB 的矩形的面积，则S1 S2. （填 “ ”“=”“ ” ） - 15 - 【答案】 =。 【考点】 黄金分割点，二次根式化简。 【分析】 设 AB=1，由 P 是线段 AB 的黄金分割点，且PAPB， 根据黄金分割点的定义，AP= 51 2 ，BP= 5135 1 22 。 2 11 51353535 SS1 2222 ，。 S1=S2。 8. （2012 江苏盐城3 分） 已知 1 O与 2 O的半径分别是方程 2 430xx的两根 ,且 12 O Ot2, 若这两个圆相切 ,则 t . 【答案】 2 或 0。 【考点】 圆与圆的位置关系，因式分解法解一元二次方程。 【分析】 先解方程求出O1、 O2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况列出关于t 的方程讨论求解：O1、 O2的半径分别是方程 2 430xx的两根，解得 O1、 O2的半径分别是1 和 3。 当两圆外切时，圆心距O1O2=t+2=1+3=4，解得 t=2； 当两圆内切时，圆心距O1O2=t+2=31=2，解得 t=0。 t 为 2或 0。 9. （2012 湖北黄石3 分） 如图所示，已知A 点从点（，）出发，以每秒个单位长的 速度沿着x 轴 的正方向运动，经过t 秒后，以 O、 A 为顶点作菱形OABC，使 B、C 点都在第一象限内， 且 AOC=60 0， 又以 P（，）为圆心，PC 为半径的圆恰好与OA 所在直线相切，则t= . - 16 - 【答案】 4 31。 【考点】 切线的性质，坐标与图形性质，菱形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函 数值。 【分析】 已知 A 点从（ 1，0）点出发，以每秒1 个单位长的速度沿着x 轴的正方向运动， 经过 t 秒后， OA=1+t。 ， 四边形OABC 是菱形， OC=1+t。 ， 当 P 与 OA，即与 x 轴相切时，如图所示，则切点为O，此时 PC=OP。 过点 P 作 PEOC，垂足为点E。 OE=CE= 1 2 OC，即 OE= 1 2 （1+t） 。 在 RtOPE 中，OP=4，OPE=90 0 AOC=30° ， OE=OP?cos30° =2 3，即 1 1t2 3 2 。 t4 3 1。 当 PC 为半径的圆恰好与OA 所在直线相切时，t4 31。 10. （2012 湖北荆州3 分） 如图（ 1）所示， E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点，动点P、Q 同时从点 B 出发，点 P 沿折线 BEEDDC 运动到点 C 时停止， 点 Q 沿 BC 运动到点 C 时 停止，它们运动的速度都是1cm/秒设 P、Q 同发 t 秒时， BPQ 的面积为 ycm2已知 y 与 t 的函数关系图象如图（2） （曲线 OM 为抛物线的一部分） ，则下列结论：AD=BE=5； cosABE=；当 0t5时， 22 y= t 5 ；当 29 t 4 秒时， ABE QBP；其中正确的 结论是 （填序号） - 17 - 【答案】 。 【考点】 动点问题的函数图象，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，相似三角形的 判定和性质。 【分析】 根据图（ 2）可知，当点P 到达点 E 时点 Q 到达点 C， 点 P、Q 的运动的速度都是1cm/秒， BC=BE=5。 AD=BE=5。故结论正确。 又从 M 到 N 的变化是2， ED=2。 AE=ADED=52=3。 在 RtABE 中， 2222 AB= BEAE = 53 =4， AB4 cos ABE= BE5 。故结论错误。 过点 P 作 PFBC 于点 F， ADBC， AEB= PBF， sinPBF=sinAEB= AB4 = BE5 。 PF=PBsinPBF= 4 5 t。 当 0t5时， 21142 y=BQ PF=tt= t 2255 。故结论正确。 当 29 t 4 秒时，点P 在 CD 上， 此时， PD= 29 4 BEED= 291 52= 44 ，PQ=CDPD=4 115 = 44 。 AB4BQ54 = 15 AE3PQ3 4 ， ， ABBQ = AEPQ 。 又 A=Q=90° ， ABE QBP。故结论正确。 综上所述，正确的有。 11. （2012 湖北武汉3 分）如图，点 A 在双曲线y k x 的第一象限的那一支上，AB 垂直于 x 轴与点 B， 点 C 在 x 轴正半轴上， 且 OC2AB，点 E 在线段 AC 上，且 AE3EC，点 D 为 OB 的中点， 若 ADE 的面积为3，则 k 的值为 - 18 - 【答案】 16 3 。 【考点】 反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，同 底三角形面积的计算，梯形中位线的性质。 【分析】 如图，连接DC， AE=3EC， ADE 的面积为3， CDE 的面积为1。 ADC 的面积为4。 点 A 在双曲线y k x 的第一象限的那一支上， 设 A 点坐标为（ k x x ，） 。 OC2AB， OC=2x。 点 D 为 OB 的中点，ADC 的面积为梯形BOCA 面积的一半，梯形BOCA 的面积为 8。 梯形 BIEA 的面积 = 11k x+2xy3x=8 22x ，解得 16 k= 3 。 12. （2012 湖北武汉3 分）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为 (3，0)，点 B 为 y 轴正半轴 上的一点，点 C 是第一象限内一点，且AC2设 tan BOCm，则 m 的取值范围是 【答案】 5 m 2 。 【考点】 锐角三角函数定义，勾股定理，一元二次方程根的判别式。 【分析】 如图，设C 点坐标为（xy，） 。 tanBOCm， ECx =m CDy ，即 x=my 。 A 的坐标为 (3，0)， DA= 3 x 。 又 AC2由勾股定理，得 2 2 3x+y =4， - 19 - 即 2 2 3my+y =4，整理得 22 1+my6my+5=0 由 2 22 = 6m41+m5=16m200得 2 5 m 4 。 tanBOCm0， 5 m 2 。 13. （2012 四川德阳3 分） 有下列计算： （ m 2）3=m6， 2 4a4a12a1， m 6÷ m2=m3， 1565027，31448332122，其中正确的运算有 . 【答案】 。 【考点】 幂的乘方，同底数幂的除法，二次根式的性质与化简，二次根式的四则运算。 【分析】 （ m2） 3 =m 2× 3=m6，正确； 2 4a4a12a1，错误； m6÷ m2=m4，错误； 27506=335 26=1566=15，正确； 2 122 33 48=422 312 2=142，正确。 正确的运算有：。 14. （ 2012 四 川 巴 中3 分 ） 已 知a、 b、 c 是 ABC三 边 的 长 ， 且 满 足 关 系 式 222 cabab0， 则 ABC 的形状为 【答案】 等腰直角三角形。 【考点】 非负数的性质，算术平方根，非负数的性质，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形 的判定。 【分析】 222 cabab0， c 2 a2b2=0，且 ab=0。 由 c 2a2b2=0 得 c2=a2b2，根据勾股定理的逆定理， 得 ABC 为直角三角形。 又由 ab=0 得 a=b， ABC 为等腰直角三角形。 15. （2012 四川内江6 分） 已知 A（1，5） ，B（3， 1）两点，在x 轴上取一点M，使 AM BN 取得最大值时，则M 的坐标为 【答案】（ 7 2 ，0） 。 【考点】 一次函数综合题，线段中垂线的性质，三角形三边关系，关于 x 轴对称的点的坐标， - 20 - 待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。 【分析】 如图，作点B 关于 x 轴的对称点B，连接 AB并延长与x 轴的交点，即为所求的M 点。 此时 AMBM=AMB M=AB 。 不妨在 x 轴上任取一个另一点M，连接 MA、M B、M B 则 M AM B=MAM B AB（三角形两边之差小于第三边）。 MAM BAM-BM，即此时AMBM 最大。 B是 B（3， 1）关于 x 轴的对称点，B（3，1） 。 设直线 AB解析式为y=kx+b，把 A（1，5）和 B（3，1）代入得： kb5 3kb1 ，解得 k2 b7 。直线 AB解析式为y=2x+7。 令 y=0，解得 x= 7 2 。 M 点坐标为（ 7 2 ，0） 。 16. （2012 四川资阳3 分） 如图， O 为矩形 ABCD 的中心， M 为 BC 边上一点， N 为 DC 边 上一点， ONOM，若 AB6，AD4，设OMx，ONy，则y 与 x 的函数关系式为 【答案】 y= 2 3 x。 【考点】 矩形的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】 如图，作OFBC 于 F， OECD 于 E， ABCD 为矩形，C=90° 。 OFBC，OECD， EOF=90° 。 EON+FON=90° 。 ONOM， EON=FOM 。 OEN OFM。 OEON OFOM 。 O 为矩形 ABCD 的中心， OEAD42 OFAB63 。 ON2 = OM3 ，即 y= 2 3 x。 - 21 - 17. （2012 四川自贡4 分）正方形 ABCD 的边长为 1cm，M、N 分别是 BCCD 上两个动点， 且始终保持AMMN，当 BM= cm 时，四边形ABCN 的面积最大，最大面积为 cm2 【答案】 1 2 ， 5 8 。 【考点】 正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。 【分析】 设 BM=xcm，则 MC=1xcm， AMN=90° ， AMB+NMC=90° ， NMC+ MNC=90° ， AMB=90° NMC=MNC。 ABM MCN， ABBM MCCN ，即 1x 1xCN ，解得 CN=x（1x） 。 22 ABCN 1111115 S1 1x 1x xxx 2222228 四形 （）（） 边 。 1 2 0，当 x= 1 2 cm 时， S四边形ABCN最大，最大值是 5 8 cm 2。 18. （2012 辽宁朝阳3 分） 下列说法中正确的序号有 。 在 RtABC 中， C=900，CD 为 AB 边上的中线，且CD=2，则 AB=4； 八边形的内角和度数为10800； 2、 3、4、3 这组数据的方差为0.5； 分式方程 13x1 = xx 的解为 2 x= 3 ； 已知菱形的一个内角为600，一条对角线为2 3，则另一对角线为2。 【答案】 。 【考点】 直角三角形斜边上中线的性质，多边形内角和定理，方差，解分式方程，菱形的性 质，等边三角形的判定，勾股定理。 【分析】 在 RtABC 中， C=90° ，CD 为 AB 边上的中线，且CD=2， 根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，得AB=2CD=4。正确。 八边形的内角和度数是（8-2）× 180° =1080° 。正确。 - 22 - 2、3、4、3 的平均数是 1 2+3+4+3 =3 4 ， 2、3、4、 3 的方差是 2222 1 233343330.5 4（ ） （） （） （）。正确。 由 13x1 = xx 去分母得： 1=3x1，解得： x= 2 3 。经检验x= 2 3 是原方程的解。 正确。 四边形ABCD 是菱形， AC BD，AO=OC，OD=OB，AB=AD。 BAD=60° ， ABD 是等边三角形。AB=AD=BD，AB=BD=2BO。 分为两种情况： 当 BD=2 3=AB 时， BO=3，由勾股定理得：AO=3，AC=6。 当 AC=2 3时， AO=3，由勾股定理得：BO=1，BD=2。 另一对角线为2 或 6。错误。 故答案为：。 19. （2012 贵州黔南5 分） 如图，四边形ABCD 是矩形， A，B 两点在 x轴的正半轴上，C， D 两点在抛物线 2 yx6x上，设 OA=m（0m3） ，矩形 ABCD 的周长为 l，则 l 与 m 的函数解析式为 。 【答案】 2 l2m8m12。 【考点】 矩形的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】 求 l 与 m 的函数解析式就是把m 当作已知量，求l，先求 AD，它的长就是D 点的 纵坐标，再把D 点纵坐标代入函数解析式求C 点横坐标， C 点横坐标与D 点横坐标的差就 是线段 CD 的长，用l=2（AD +AB） ，建立函数关系式： 把 x=m 代入抛物线 2 yx6x中，得 AD= 2 m6m， 把 y= 2 m6m代入抛物线 2 yx6x中，得 22 m6mx6x，解得 x1=m， x2=6m。 C 的横坐标是6m。 AB=6mm=62m。 矩形的周长是 22 l2m6m262m2m8m12（）（）。 - 23 - 20. （2012 山东济宁3 分） 在 ABC 中，若 A、 B 满足 |cosA 1 2 |+（sinB 2 2 ）2=0， 则 C= 【答案】 75° 。 【考点】 非负数的性质，绝对值，偶次方，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理。 【分析】 |cosA 1 2 |+（sinB 2 2 ） 2=0， cosA1 2 =0，sinB 2 2 =0。 cosA= 1 2 ，sinB= 2 2 。 A=60° ， B=45° 。 C=180° A B=180° 60° 45° =75° 。 21. （2012 广西北海3 分） 如图，点 A 的坐标为（ 1，0） ，点 B 在直线y2x4 上运动， 当线段 AB 最 短时，点 B 的坐标是 。 【答案】（ 76 55 ，） 。 【考点】 直线上点的坐标与方程的关系，垂直线段最短的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】 如图，由题意，根据垂直线段最短的性质，当线段AB 最短时点B 的位置B1，有 AB1 BD。 过点 B1作 B1E 垂直 x 轴于点 E。 由点 C、D 在直线y2x4 可得， C（2，0） ， D（0， 4） 设点 B1（x ，2x4） ，则 E（x ，0） 。 由 A（ 1，0） ，得 AE= x1，EB1=2x4=42x，CO=2， DO=4。 易得 AB1E DCO， AEEB DOCO ，即 x+142x 42 。 解得 76 x2x4= 55 ，。 B1（ 76 55 ，） 。 当线段AB 最短时，点B的坐标是（ 76 55 ，） 。 - 24 - 三、解答题 1. （2012 海南省 13 分） 如图，顶点为P（4， 4）的二次函数图象经过原点（0，0） ，点 A 在该图象上， OA 交其对称轴l于点 M，点 M、N 关于点 P 对称，连接AN、ON （ 1）求该二次函数的关系式. （ 2）若点 A 的坐标是（ 6， 3） ，求 ANO 的面积 . （ 3）当点 A 在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： 证明： ANM =ONM ANO 能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A 的坐标，如果不能，请说 明理由 . 【答案】解： （ 1）二次函数图象的顶点为P（ 4， 4） ，设二次函数的关系式为 2 y=a x44。 又二次函数图象经过原点（0，0） ， 2 0=a 044，解得 1 a= 4 。 二次函数的关系式为 21 y=x44 4 ，即 21 y=x2x 4 。 （ 2）设直线 OA 的解析式为y=kx，将 A （6，3）代入得3=6k ，解得 1 k= 2 。 直线 OA 的解析式为 1 y=-x 2 。 把x=4代入 1 y=x 2 得y=2。 M（ 4， 2） 。 又点 M、N 关于点 P 对称， N（ 4， 6） ，MN=4。 ANO 1 S6 412 2 。 （ 3）证明：过点A 作 AHl于点 H， ，l与 x 轴交于点D。则 - 25 - 设 A（ 2 000 1 xx2x 4 ，） , 则直线 OA 的解析式为 2 00 0 0 1 x2x 1 4 y=x=x2 x x4 。 则 M（ 0 4 x8，） ，N（ 0 4x，） ，H（ 2 00 1 4x2x 4 ，） 。 OD=4，ND= 0 x， HA= 0 x4，NH= 2 00 1 xx 4 。 000 2 2 0000 00 00 4 x44 x4 x4OD4HA4 tan ONM=tan ANM= 1 NDxNHxx4x x4x +64 xx 4 ，。 tanONM=tanANM 。 ANM= ONM。 能。理由如下：分三种情况讨论： 情况 1，若 ONA 是直角，由，得ANM=ONM =45 0， AHN 是等腰直角三角形。HA=NH，即 2 000 1 x4=xx 4 。 整理，得 2 00 x8x +16=0，解得 0 x =4。 此时，点A 与点 P 重合。故此时不存在点A，使 ONA 是直角。 情况 2，若 AON 是直角，则 222 OA +ON =AN。 22 2 22222222 00000000 11 OA =x+x2xON =4 +xAN = x4+x2x +x 44 ， 22 2 22222 00000000 11 x+x2x+4 +x= x4+x2x +x 44 。 整理，得 32 000 x8x16x =0，解得 0 x =0， 0 x =44 2。 舍去 0 x =0， 0 x =44 2（在l左侧）。 当 0 x =4+42时， 0 y =4。 此时存在点A（4+42 4，） ，使 AON 是直角。 情况 3，若 NAO 是直角， 则 AMN DMO DON， MDOD ODND 。 - 26 - OD=4，MD= 0 8x，ND= 0 x， 0 0 8x4 4x 。 整理，得 2 00 x8x +16=0，解得 0 x =4。 此时，点A 与点 P 重合。故此时不存在点A，使 ONA 是直角。 综上所述，当点A 在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，存在点A （4+4 24，） ，使 AON 是直角，即 ANO 为直角三角形。 【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，对称的性质，锐角 三角函数定义， 等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解一 元二次方程。 【分析】（1）由二次函数图象的顶点为P（4， 4）和经过原点，设顶点式关系式，用待定 系数法即可求。 （2）求出直线OA 的解析式，从而得到点M 的坐标，根据对称性点N 坐标，从而 求得 MN 的长，从而求得ANO 的面积。 （3）根据正切函数定义，分别求出ANM 和 ONM 即可证明。 分 ONA 是直角， AON 是直角， NAO 是直角三种情况讨论即可得出结 论。 当 AON 是直角时，还可在RtOMNK 中用直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半求解： OP=PN=PM，OP= 22 4 +4 =4 2 PN= 0 x4 ， 4 2= 0 x4 。 0 x =4+42。 2. （2012 宁夏区 10 分） 在矩形 ABCD 中， AB=2，AD=3,P 是 BC 上的任意一点（P 与 B、 C 不重合），过点 P 作 APPE，垂足为P，PE 交 CD 于点 E. (1)连接 AE，当 APE 与 ADE 全等时，求BP 的长； (2)若设 BP 为 x，CE 为 y，试确定y 与 x 的函数关系式。当x 取何值时， y 的值最大？最大 值是多少？ (3)若 PE BD，试求出此时BP 的长 . - 27 - 【答案】 解： （1） APE ADE， AP=AD=3。 在 Rt ABP 中， AB=2， BP= 2222 APAB325。 （2） APPE， Rt ABPRtPCE。 ABBP PCCE ，即 2x 3xy 。 2 13 yxx 22 。 22 13139 yxx(x) 22228 当 3 x 2 时， y的值最大，最大值是 9 8 。 （2）设 BP=x, 由（ 2）得 2 13 CExx 22 。 PEBD， ， CPE CBD。 CPCE CBCD ，即 2 13 xx 3x 22 32 ， 化简得 2 3x13x120。 解得 1 4 x 3 或 2 x3（不合题意，舍去） 。 当 BP= 4 3 时，PEBD。 【考点】 矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数 的最值，平行的性质，解一元二次方程。 【分析】（1）由 APE ADE 可得 AP=AD=3，在RtABP 中，应用勾股定理即可求得 BP 的长。 （2）由 AP PE，得 Rt ABPRtPCE，根据相似三角形的对应边成比例可列式 得 y 与 x 的函数关系式。化为顶点式即可求得当 3 x 2 时， y 的值最大，最大值是 9 8 。 （3）由PEBD，得 CPE CBD，根据相似三角形的对应边成比例可列式可 求得 BP 的长。 - 28 - 3. （2012 广东省 9 分） 如图，抛物线 213 y=xx9 22 与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于 点 C，连接 BC、AC （1）求 AB 和 OC 的长； （2）点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动（点 E 与点 A、B 不重合），过点 E 作直线 l 平行 BC，交 AC 于点 D设 AE 的长为 m， ADE 的面积为s，求 s 关于 m 的函数关系式，并写 出自变量 m 的取值范围； （3）在（ 2）的条件下，连接CE，求 CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与 BC 相切的圆的面积（结果保留 ） 【答案】 解： （1）在 2 13 y=xx9 22 中， 令 x=0，得 y= 9， C（0， 9） ； 令 y=0，即 213 xx9=0 22 ，解得： x1=3，x2=6，A（ 3，0） 、B（ 6， 0） 。 AB=9，OC=9。 （2）EDBC， AED ABC， 2 AED ABC SAE SAB ，即： 2 sm 1 9 9 9 2 。 s= 1 2 m 2（0m9） 。 （3） SAEC= 1 2 AE? OC= 9 2 m， SAED=s= 1 2 m 2， SEDC=SAECSAED = 1 2 m 2+9 2 m= 1 2 （m 9 2 ） 2+81 8 。 CDE 的最大面积为 81 8 ， - 29 - 此时， AE=m= 9 2 ，BE=ABAE= 9 2 。 又 22 BC6 +9 =3 13， 过 E 作 EFBC 于 F，则 RtBEFRtBCO，得： EFBE OCBC ，即： 9 EF 2 93 13 。 27 EF13 26 。 以 E 点为圆心，与BC 相切的圆的面积SE= ? EF 2=729 52 。 【考点】 二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次 函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。 【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C 点坐标；当y=0 时，可确定A、B 点 的坐标，从而确定AB、OC 的长。 （2）直线 lBC，可得出 AED ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此 得到关于s、m 的函数关系式；根据题目条件：点E 与点 A、B 不重合，可确定m 的取值范 围。 （3）首先用m 列出 AEC 的面积表达式，AEC、 AED 的面积差即为CDE 的 面积，由此可得关于SCDE关于 m 的函数关系式，根据函数的性质可得到SCDE的最大面积 以及此时 m 的值。 过 E 做 BC 的垂线 EF，这个垂线段的长即为与BC 相切的 E 的半径， 可根据相 似三角形 BEF、 BCO 得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。 4. （2012 广东深圳9 分） 如图，已知 ABC 的三个顶点坐标分别为A(4，0)、B(1， 0)、 C( 2，6) (1)求经过 A、B、C 三点的抛物线解析式； (2)设直线 BC 交 y 轴于点 E，连接 AE，求证： AE=CE; (3)设抛物线与y 轴交于点 D，连接 AD 交 BC 于点 F，试问以 A、B、F，为顶点的三角形与 ABC 相似吗？ 请说明理由 - 30 - 【答案】 解： （1）抛物