2014年上海市静安区高三上期末教学质量检测数学(文理)试卷及答案.pdf

静安区 2014 学年第一学期高三年级高考数学模拟文理合卷 （试卷满分150 分考试时间120 分钟）2014.12 一、填空题（本大题满分56 分）本大题共有14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分 1文： 1计算： 712 lim 2 2 n n n . 理：已知集合0,2xxyyM，)2lg( 2 xxyxN，则NM. 2文：同理1 理：设 8 8 7 710 8 )1(xaxaxaax，则 8710 aaaa. 3文：已知等差数列 n a的首项为3，公差为4，则该数列的前n项和 n S_ 理：不等式0 12 7 1 x 的解集是. 4文：一个不透明袋中有10 个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2 个，共有种 不同结果 .（用数值作答） 理：如图， 在四棱锥ABCDP中，已知PA底面ABCD，1PA，底面ABCD是正方形，PC 与 底 面A B C D所 成 角 的 大 小 为 6 ， 则 该 四 棱 锥 的 体 积 是. 5文：不等式0 12 4 x x 的解集是. 理 ： 已 知 数 列 n a的 通 项 公 式 12 22 nn n a（ 其 中*Nn）， 则 该 数 列 的 前n项 和 n S. 6文：同理2 理：已知两个向量a，b的夹角为30°，3a，b为单位向量，btatc)1 (, 若cb=0， 则t= . 7文：已知圆锥底面圆的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为 3 2 的扇形，则该圆锥的侧面积 是. 理：已知11)(xxxf， 4 5 )2( x f(其中)0x，则x. 8 文：已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上， 终边在射线)0(2xxy 上，则2sin. A B C D P 理： 已知ABC的顶点)6,2(A、)1 ,7(B、)3,1(C， 则ABC的内角BAC的大小是. （结果用反三角函数值表示） 9文：同理6 理：若、是一元二次方程032 2 xx的两根，则 11 = . 10文：已知两条直线的方程分别为01: 1 yxl和022: 2 yxl，则这两条直线的夹角大小 为.（结果用反三角函数值表示） 理：已知tan、tan是方程0433 2 xx的两根，、) 2 , 2 (，则= . 11文：同理10 理：直线 l 经过点)1 , 2(P且点) 1,2(A到直线 l 的距离等于1，则直线 l 的方程是. 12文：同理11 理：已知实数x、y满足1yx，则 x y2 的取值范围是. 13文：同理12 理：一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围是. 14文：同理13 理：两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛，每两名参赛选手之间都比赛一次， 胜者得 1 分，和棋各得0.5 分，输者得0分，即每场比赛双方的得分之和是1 分. 两名高一年级的学生共得8 分，且每名高二年级的学生都得相同分数，则有名高二年级 的学生参加比赛.（结果用数值作答） 二、选择题（本大题满分20 分）本大题共有4 题，每题有且只有一个正确答案考生应在答题纸的 相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分 15在下列幂函数中，是偶函数且在), 0(上是增函数的是 ( ) A 2 xy；B 2 1 xy； C 3 1 xy；D 3 2 xy 16 已知直线06)2(3: 1 ykxl与直线 02)32(: 2 ykkxl，记 32 )2(3 kk k D.0D是 两条直线 1 l与直线 2 l平行的 ( ) A充分不必要条件；B必要不充分条件； C充要条件；D既不充分也不必要条件 17已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数 1 z i 的点是 ( ) 1 2 3 4 -1 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -2 -3 PQ N M A x y AMBNCPDQ 18到空间不共面的四点距离相等的平面个数为( ) A1 个；B4 个；C7 个；D8 个 三、解答题（本大题满分74 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19( 本题满分14 分) 本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分. 在锐角ABC中， a、 b、c 分别为内角A、B、C 所对的边长，且满足 ba A 2 3sin . （1）求B 的大小； （2）若7b，ABC的面积 3 3 4 ABC S，求a c的值 . 20( 本题满分14 分) 本题共有2 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分10 分. 某地的出租车价格规定: 起步费a元，可行3 公里， 3 公里以后按每公里b 元计算，可再行7 公里； 超过 10 公里按每公里c元计算（这里a、 b 、c规定为正的常数，且bc） ，假设不考虑堵车和红绿 灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费 由行车里程唯一确定. （1）若取14a，4.2b，6.3c，小明乘出租车从学校到家，共8 公里，请问他应付出租车费多 少元？（本小题只需要回答最后结果） （2）求车费y（元）与行车里程x( 公里 ) 之间的函数关系式)(xfy. 21文： ( 本题满分14 分) 本题共有 2 个小题，第1 小题满分8 分，第 2 小题满分6 分. 如图，正方体 1111 DCBAABCD的棱长为2，点P为面 11A ADD的对角线 1 AD的中点 .PM平面 ABCD 交AD于点M， BDMN于点 N . （1）求异面直线PN 与 11C A所成角的大小； （结果用反三角函数值表示） （2）求三棱锥BMNP的体积 . 理： ( 本题满分14 分) 本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分. 如图，长方体 1111 DCBAABCD中，2ADAB，4 1 AA，点P为面 11A ADD的对角线 1 AD上的 动点（不包括端点）.PM平面 ABCD 交AD于点M，BDMN于点 N . （1）设xAP，将 PN 长表示为x的函数； （2）当 PN 最小时，求异面直线PN 与 11C A所成角的大小 . （结果用反三角函数值表示） A B C D A1 B1 C1 D1 P M N A B C D A1 B1 C1 D1 P M N 22( 本题满分 16 分) 本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分4 分，第 3 小题满分8 分. 已知函数)1(log)( 2 xxxf a （其中1a）. （1）判断函数)(xfy的奇偶性，并说明理由； （2）文：求函数)(xfy的反函数)( 1 xfy； 理：判断 nm nfmf)()( （其中Rnm,且0nm）的正负号，并说明理由； （3）若两个函数)(xF与)(xG在闭区间,qp上恒满足2)()(xGxF，则称函数)(xF与)(xG在闭 区间,qp上是分离的 . 试判断)(xfy的反函数)( 1 xfy与 x axg)(在闭区间 2, 1上是否分离？若分离，求出实数a 的 取值范围；若不分离，请说明理由. 23( 本题满分16 分) 文：本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题 满分 7 分. 理：本题共有3 个小题，第1 小题满分6 分，第 2 小题满分3 分，第 3 小题满分7 分. 在数列 n a中，已知1 2 a，前n项和为 n S，且 2 )( 1 aan S n n .（其中*Nn） （1）文：求 1 a； 理：求数列 n a的通项公式； （2）文：求数列 n a的通项公式； 理：求 2 lim n Sn n ； （3）设 n n n a b 3 1 lg，问是否存在正整数p、q（其中qp1） ，使得 1 b， p b， q b成等比数列？ 若存在，求出所有满足条件的数组),(qp；否则，说明理由. 静安区 2014 学年第一学期高三年级高考数学模拟文理合卷参考答 案 一填空题（本大题满分56 分）本大题共有14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分 1理：)2,0(；文： 12 1 ；2.理：25628 ；文：)2,0( 3. 理：)4, 2 1 (；文：nn 2 2；4. 理： 2 1 ；文： 45 5. 理：) 2 1 2(4 n n ；文：)4, 2 1 (；6. 理：2，文：2562 8 7. 理： 2 21 log2x；文： 3；8. 5 5 arccos；文： 5 4 9. 理： 3 1 ；文：2；10. 3 2 ；文： 10 103 arccos（或 3 1 arctan） 11. 理： 03213yx 或 03213yx ；文： 3 1 12理：2,2；文：03213yx或03213yx 13.理：12S；文： 2, 2；14. 理： 2 2 8 n Cnk7 或者 14；文：12S 二、选择题（本大题满分20 分）本大题共有4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的 相应编号上，填上正确的答案，选对得5 分，否则一律得零分. 15D ； 16B ； 17 D ； 18C 三、解答题（本大题满分74 分）本大题共5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 写出必要的步骤. 19( 本题满分14 分) 本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分. （1）根据正弦定理 B b A a sinsin ，得 b B ba Asin 2 3sin ，所以 2 3 sin B，（ 4 分） 又由角 B 为锐角，得 3 B；（6 分） （2）BacS ABC sin 2 1 ，又 3 3 4 ABC S ，所以3ac，（8 分） 根据余弦定理Baccabcos2 222 ，得 1037cos2 222 Bacbca ，（12 分） 所以accaca2)( 222 =16，从而ac=4（14 分） 20( 本题满分14 分) 本题共有2 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分10 分. （1）他应付出租车费26 元；（4 分） （2） , )10(107c )013(3b )30(, xcbax xbax xa y 文 21( 本题满分14 分 ) 本题共有2 个小题，第1 小题满分8 分，第 2 小题满分6 分. （1） 因为点 P为面 11A ADD的对角线 1 AD的中点 .PM平面 ABCD ， 所以PM为 1 ADD的中位线， 得 1PM ， 又BDMN，所以 2 2 2 2 MDNDMN（2 分） 因为在底面ABCD 中，BDACBM,DN， 所以ACMN /， 又ACCA/ 11 ，PNM 为异面直线PN 与 11C A所成角的平面角，（6 分） 在 PMN 中，PMN 为直角，2tanPNM，所以2arctanPNM。 即异面直线PN 与 11C A所成角的大小为2arctan。（8 分） （2） 2 2 22BN，（9分） BNMNPMV BMNP 2 1 3 1 ，（12 分） 计算得三棱锥BMNP的体积为 4 1 。（14 分） 理 21( 本题满分14 分 ) 本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分. （1）在APM中， 5 52x PM， 5 5x AM；（2 分） 其中520x；（3 分） 在 MND 中，) 5 5 2( 2 2 xMN， （4 分） 在 PMN 中，2 5 52 10 9 PN 2 xx，)52, 0(x（6 分） （6 分） （10 分） （1 4 分） （2）当 9 52 x)52, 0(时， PN 最小，此时 3 4 PN（8分） 因为在底面ABCD 中，BDACBM,DN， 所以ACMN /， 又ACCA/ 11 ，PNM 为异面直线PN 与 11C A所成角的平面角，（11 分） 在 PMN 中，PMN 为直角， 4 2 tanPNM，所以 4 2 arctanPNM， 异面直线 PN 与 11C A所成角的大小 4 2 arctan（或 3 1 arcsin等）（14 分） 22( 本题满分 16 分) 本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分4 分，第 3 小题满分8 分. （1）因为01 2 xxxx，所以函数)(xfy的定义域为实数集R； （ 1 分） 又0)1(log)1(log)1(log)()( 2222 xxxxxxxfxf aaa ， 所以函数)(xfy是奇函数（4 分） （2）因为1a，所以)1(log)( 2 xxxf a 在),0上递增，以下给出证明：任取 21 0xx， 设 1 2 11 1xxu， 2 2 22 1xxu，则)( 11 21 2 2 2 1 2 2 2 1 21 xx xx xx uu =0) 1 11 )( 2 2 2 1 21 21 xx xx xx，所以 21 0uu，即10 2 1 u u ， 0log)()( 2 1 21 u u xfxf a （6 分） 又)1(log)( 2 xxxf a 为奇函数，所以)()(nfnf且)1(log)( 2 xxxf a 在),(上 递增 所以)( nmnm与)()()()(nfmfnfmf同号，0 )()( nm nfmf 所以，当1a时，0 )()( nm nfmf （8 分） （3） x x a axf 2 1 2 1 )( 1 ，Rx（10 分） 2 2 1 2 1 x x x a a a在区间2, 1上恒成立，即2 1 2 1 x x a a， 或4 1 x x a a在区间 2, 1上恒成立，（12 分） 令ta x 因为1a，, 2 aata x ， t t 1 在, 2 aat递增，所以4 1 ) 1 ( min a a t t，解得32a； 所以，),32(a（16 分） 文： (1)同理 22（1） ； （ 2 ） 由01 2 xx且 当x时01 2 xx， 当x时xx1 2 得 )1(log)( 2 xxxf a 的值域为实数集。 解)1(log 2 xxy a 得 x x a axf 2 1 2 1 )( 1 ，Rx（8 分） （3）2 2 1 2 1 x x x a a a在区间2, 1上恒成立，即2 1 2 1 x x a a， 或4 1 x x a a在区间 2, 1上恒成立，（11 分） 令ta x 因为1a，, 2 aata x ， t t 1 在, 2 aat递增，所以4 1 ) 1 ( min a a t t，解得32a； 所以，),32(a（16 分） 23文 ( 本题满分16 分) 本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满 分 7 分. （1）因为 2 )( 1 aan S n n ，令1n，得0 2 )( 11 1 aa a，所以0 1 a；（3 分） 或者令2n，得 2 )(212 21 aa aa，所以0 1 a （2）当2n时， 2 ) 1( 2 )(1( 111 1 nn n anaan S 22 )1( 1 11 nn nnn naan SSa ， 1 1 n n a a n n ，推得 13 3 1 n a an ，（7 分） 又1 2 a，32 23 aa，所以nan 1 当2, 1n时 也成立，所以1na n ， （*Nn）（9 分） 理 23( 本题满分16 分 ) 本题共有3 个小题，第1 小题满分6 分，第 2 小题满分3 分，第 3 小题满 分 7 分. （1）因为 2 )(1aan S n n ，令2n，得 2 )(212 21 aa aa，所以0 1 a； （ 2 分） （或者令1n，得0 2 )( 11 1 aa a） 当2n时， 2 ) 1( 2 )(1( 111 1 nn n anaan S 22 )1( 1 11 nn nnn naan SSa ， 1 1 n n a a n n ，推得 13 3 1 n a an ，（5 分） 又1 2 a，32 23 aa，所以nan 1 当2, 1n时也成立，所以1nan， （*Nn） （ 6 分） （2） 2 lim n Sn n = 2 1 （9 分） （3）文理相同：假设存在正整数p、q，使得 1 b， p b 、q b 成等比数列，则1 lg b ，p blg 、q blg 成等 差数列，故 qp qp 33 1 3 2 ， （* ）（11 分） 由于右边大于 3 1 ，则 3 1 3 2 p p ，即 6 1 3 p p 考 查 数 列 p p 3 的 单 调 性 ， 因 为0 3 21 33 1 11ppp ppp ， 所 以 数 列 p p 3 为 单 调 递 减 数 列（14 分） 当2p时， 6 1 9 2 3 p p ，代入（ * ）式得 9 1 3 q q ，解得3q；当3p时， 9 1 3 p p （舍） 综上得：满足条件的正整数组),(qp为)3, 2(（16 分） （说明：从不定方程 qp qp 33 1 3 2 以具体值代入求解也参照上面步骤给分）