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1 PI 控制原理 1.1 比例（ P）控制 比例控制是一种最简单的控制方式。其控制器实质上是一个具有可调增益的放大器。 在信号变换过程中， P 控制器值改变信号的增益而不影响其相位。在串联校正中，加大了 控制器增益 k，可以提高系统的开环增益，减小的系统稳态误差，从而提高系统的控制精 度。控制器结构如图 1： 图1 1.2 比例 - 微分控制 具有比例 - 微分控制规律的控制器称PI 控制器，其输出信号 m(t) 同时成比例的反应出 输入信号 e(t) 及其积分，即： t i dtte T k tketm 0 )()()( （1） 式（1）中， k 为可调比例系数； i T 为可调积分时间常数。 PI 控制器如图 2所示。 图2 在串联校正时， PI 控制器相当于在系统中增加了一个位于原点的开环极点，同时也增 加了一个位于 s 左半平面的开环零点。位于原点的极点可以提高系统的型别，以消除或减 小系统的稳态误差， 改善系统的稳态性能； 而增加的负实零点则用来减小系统的阻尼程度， 缓和 PI 控制器极点对系统稳定性及动态性能产生的不利影响。只要积分时间常数 i T 足够 大，PI 控制器对系统稳定性的不利影响可大为减弱，在控制工程中，PI 控制器主要用来 改善控制系统的稳态性能。 k r(t) - c(s) e(t) m(t) ) 1 1( sT k i R(s) - C(s) E(s) M(s) 2 2 P 和 PI 控制参数设计 2.1 初始条件： 反馈系统方框图如图3 所示。K(s)D1（比例 P控制律） ， s K K(s)D I 2 （比 例积分 PI 控制律） ， )6s)(1s( 1s G1 s (s)， )2s)(1s( 1 G2(s) 2.2 P 控制器设计 2.2.1 比例系数 k 的设定 由题目给出的初始条件知，当G(s)=(s) 1 G，未加入 D(s）校正环节时，系统开环传递 函数为： 6)1)(s-s(s 1s (s)H(s)G sss65 1s 23 （2） 又系统结构图可知系统为单位负反馈系统所以闭环传递函数为： )6)(1( 1 1 )6)(1( 1 )( sss s sss s s 155 1 23 sss s （3） 则系统的闭环特征方程为：D(s)= 155 23 sss =0. 按劳斯判据可列出劳斯表如表1： ) s(DG(s) R Y e + - 图 3 3 3 s1 -5 2 s 5 1 1 s 5 24 0 0 s 1 0 表 1 由于劳斯表第一列符号不相同，所以系统不稳定，需要校正。 由任务要求得，当D(s)=D1(s),G(s)=G1(s) 时，即加入 P控制器后，系统开环传递函数 为： 6)1)(s-s(s 1)k(s (s)H(s)G （4） 其闭环传递函数为： kskss kks s )6(5 )( 23 （5） 则系统的闭环特征方程为： D(s)= 0)6(5 23 kskss 按劳斯判据可列出劳斯表如表2： 3 s 1 K-6 2 s 5 k 1 s5 304k 0 0 s k 0 表 2 要使系统稳定则必须满足劳斯表第一列全为正，即： 0304 0 k k （6） 所以系统稳定的条件为k7.5. 当单位阶跃信号输入时，系统稳态误差系数： 4 )()(lim 0 p sHsGK s （7） 由式（ 4）得系统为 1 型系统，所以 P K = 所以稳态误差： 0 1 1 1 )( P ss K R e (8) 2.2.2 加入 P控制器后系统动态性能指标计算 1）k 取不同值时的特征根 由式（5）得系统稳定的条件为k7.5。下面对 k 分别取 7.5 、15、30 来讨论分析系统 的动态性能指标。 当 k=7.5 时系统的闭环特征方程为： 05.75.15)( 23 ssssD（9） 通过 MATLAB 求得系统特征根，其程序如下： den=1,5,1.5,7.5 roots(den)% 求系统特征根 其运行结果如下： ans = -5.0000 -0.0000 + 1.2247i -0.0000 - 1.2247i 即求得其特征根分别为： 1 s =-5， 2 s =j1.2247 ， 31 s =-j1.2247,。其中有两个极点在虚轴上， 系统临界稳定。 同理通过调用 MATLAB 中的 roots 函数即可分别求得k=15，k=20 时的特征根。 K=15时，特征根为： 1 s =-3.6608 ， 2 s =-0.6696+j1.9103 ， 31 s =-0.6696-j1.9103。 K=30时，特征根为： 1 s =-1.6194 ， 2 s =-1.6903 -j 3.9583， 31 s =-1.6903 -j 3.9583。 2）k 取不同值时的单位阶跃响应 由式（ 7）得当 k=7.5 时其闭环传递函数为： 5.75.15 5.75. 7 )( 23 1 sss s s （10） 5 当 k=15 时闭环传递函数为： 1595 1515 )( 23 2 sss s s （11） 当 k=30 时闭环传递函数为： 30245 3030 )( 233 sss s s （12） 用 MATLAB 求系统的单位阶跃响应，绘制出不同k 值时的单位阶跃响应曲线图，其程序如 下： num1=7.5,7.5; den1=1,5,1.5,7.5; t1=0:0.1:15; y1=step(num1,den1,t1); num2=15,15; den2=1,5,9,15; y2=step(num2,den2,t1); num3=30,30; den3=1,5,24,30; y3=step(num3,den3,t1); plot(t1,y1,'r.',t1,y2,'-g',t1,y3,'b'),grid 程序运行后输出曲线图如图4： 6 3）分别讨论不同 k 值时的系统动态性能指标 如图 2 知当 k=7.5 时系统单位阶跃响应为无阻尼振荡。 当 k=15 时系统传递函数为式（ 11） ，下面借助 LTIViewer 计算本控制系统单位阶跃响应时 的性能指标。 MATLAB 程序如下： num=15,15; den=1,5,9,15; step(num,den); sys=tf(num,den); ltiview; 程序运行后在弹出的LTIViewer 框中导入 sys 函数，然后对绘制的曲线进行相应的设置后 可以得到阶跃响应的各项指标点，效果图如图5 所示： 当光标移到对应点后，在浮出的文本框中可读出数据，列出如下： 上升时间： str373.0 峰值时间： . stp24.1 超调量： %7 .89% p 图 4 051015 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 k=7.5 k=15 k=30 7 调节时间： st65. 6 s （ 0.05） 当 k=30 时系统传递函数为式（ 12），同理，通过 MATLAB 绘出单位阶跃响应曲线图如图6 所示。 上升时间： str24. 0 峰值时间： . stp72.0 超调量： %2.68% p 调节时间： st69. 2 s （ 0.05） 图 5 Step Response Tim e (sec) A m p lit u d e 0123456789 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 System: sys Peak amplitude: 1.9 Overshoot (%): 89.7 At tim e (sec): 1.24 System: sys Rise Time (sec): 0.373 System: sys Settling Time (sec): 6.65 System: sys Final Value: 1 8 2.2.3 加入 P控制器后系统动态性能分析： 由式（2）得系统为含一个积分环节的三阶系统，在未加入P控制器之前通过劳斯判据 得系统处于不稳定状态。当加入适当的P控制器即比例环节后即可改善系统的稳定性。同 时根据图 4 以及不同 k 值时的暂态系能指标可知通过增大控制器的开环增益可提高系统对 阶跃信号的响应速度，降低系统的超调量，缩短系统的调节时间。从而提高了系统的跟踪 性能和稳定性。 Step Response Time (sec) A m p lit u d e 00.511.522.533.54 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 System: sys Peak amplitude: 1.68 Overshoot (%): 68.2 At time (sec): 0.72 System: sys Rise Time (sec): 0.24 System: sys Settling Time (sec): 2.69 图 6 9 2.3 PI控制器设计 2.3.1 原系统性能分析 当未加入 PI 控制器时系统为二阶系统，其开环传递函数为： )2)(1( 1 )()( ss sHsG （13） 系统闭环传递函数为： 33 1 )( 2 ss s （14） 借助 MATLAB 可绘制出系统单位阶跃响应曲线, 具体程序如下： num=1; den=1,3,3; step(num,den); sys=tf(num,den); ltiview; 程序运行后可得如下响应曲线图6： 图 6 Step Response Time (sec) A m p l i t u d e 00.511.522.533.54 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 System: sys Rise Time (sec): 1.58 System: sys Settling Time (sec): 2.51 10 由图 6 可看出该二阶系统处于过阻尼状态。 其稳态态误差系数：)()(lim 0 p sHsGK s （15） = )2)(1( 1 lim 0 ss s =0.5 （16） 所以其稳态误差为： p ss k e 1 1 )( =0.667 （ 17） 2.3.2 加入 PI 控制器后系统性能指标 初始条件条件： D(s)=) )( 1 1()( 1 1 2 skk k s k ksD（18） 由式（ 18）知系统中串入了PI 控制器，比例系数为k，积分时间常数 1 kkTi。 当 D(s)=D2(s),G(s)=G 2(s) 时，系统开环传递函数： )2)(1( 1 )()()( 1 sss k ksHsG （19） = )2)(1( 1 sss kks k （20） = sss kks 23 23 1 （21） 其闭环传递函数为： 1 23 1 )2(3 )( kskss kks s （22） 则闭环特征方程为： D(s)= 0)2(3 1 23 kskss 根据劳斯判据可列出劳斯表如表3： 3 s1 K+2 2 s3 1 k 1 s 3 2 1 kk 0 0 s1k0 表 3 11 劳斯判据中要满足系统稳定则劳斯表第一列必需满足符号相同。即： 0 02 1 1 k kk （23） 所以系统稳定的条件为：20 1 kk 稳定时的允许区域如图7： 当单位阶跃信号输入时，系统稳态误差系数： )()(lim 0 p sHsGK s （24） = )2)(1( lim 1 0 sss kks k s = （25） 所以稳态误差： 0 1 1 1 )( P ss K R e （26） 2.3.3 k和 1 k取不同值对系统系能的影响 下面在保持系统稳定且保证积分时间常数大于原系统的时间常数的情况即1 1 kk的 范围内分别取三组参数求取系统的闭环传递函数的特征根。 1）当 k=6， 1 k=5 时，将参数带入式（ 22）得系统传递函数为： 583 56 )( 23 sss s s（27） 通过 MATLAB 求特征方程，具体程序如下： 0 - 2 2 k 1 k 图 7 12 den=1,3,8,5 roots(den)% 求系统特征根 程序运行后输出结果如下： ans = -1.0992 + 2.2427i -1.0992 - 2.2427i -0.8016 所以特征根为： 1 s =-0.8016 ， 2 s =-1.0992+j2.2427 ， 31 s =-1.0992-j2.2427。 通过调用 MATLAB 中 step 函数绘制单位阶跃响应曲线，程序如下： num=6 5; den=1 3 8 5; sys=tf(num,den); t=0:0.1:10; step(sys,t)% 求单位阶跃响应曲线 运行后输出响应曲线如图8。 图 8 Step Response Time (sec) A m p lit u d e 012345678910 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 System: sys Settling Time (sec): 3.39 System: sys Peak am plitude: 1.19 Overshoot (%): 18.9 At tim e (sec): 1.4 13 如图 8 所示，通过对绘制的曲线进行相应的设置后可以在Figure 上得到阶跃响应的各项 指标点，当光标移到对应点后，在浮出的文本框中可读出数据，列出如下： 上升时间： str635.0 峰值时间： .st p 4. 1 超调量： %9.18% p 调节时间： st39. 3 s （ 0.05） 2）当 k=20， 1 k=5时，将参数带入式（ 22）得系统传递函数为： 5223 520 )( 23 sss s s （28） 运用 MATLAB 即可算出特征根为： 1 s =-0.2342 ， 2 s =-1.3829 + j4.4091， 31 s =-1.3829 - j4.4091 。 同时可求出系统单位阶跃响应曲线如图9： 上升时间： str876.0 峰值时间： .st p 7.0 图 9 Step Response Time (sec) A m p li tu d e 012345678910 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 System: sys Peak amplitude: 1.29 Overshoot (%): 29.3 At time (sec): 0.7 System: sys Settling Time (sec): 4.88 System: sys Time (sec): 0.4 Amplitude: 0.876 14 超调量： %3.29% p 调节时间： st88. 4 s （ 0.05） 3）当 k=20， 1 k=10 时，将参数带入式（ 22）得系统闭环传递函数为： 10223 1020 )( 23 sss s s （29） 运用 MATLAB 即可算出特征根为： 1 s =-0.4810 ， 2 s =-1.2595 + j4.3820， 31 s =-1.2595 - j4.3820 。 系统单位阶跃响应曲线如图10： Step Response Time (sec) A m p lit u d e 012345678910 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 System: sys Peak amplitude: 1.36 Overshoot (%): 36 At time (sec): 0.7 System: sys Rise Time (sec): 0.294 System: sys Settling Time (sec): 3.15 图 10 上升时间： str294.0 峰值时间： .st p 7.0 超调量： %36% p 调节时间： st15. 3 s （ 0.05） 将 k=20， 1 k=10带入式（ 22）得系统开环传递函数为： 15 G(s)H(s)= sss s 23 1020 23 (30) G(s)H(s)= )21)(1( )5. 01 (5 sss s （31） 所以系统的开环频率特性为： G(j)H(j )= )21)(1( )5.01 (5 jjs j (32) 通过 MATLAB 绘制系统波特图，其程序如下： num=20,10%描述闭环系统传递函数的分子、分母多项式 den=1,3,2,0 bode(num,den)%调用bode图绘制函数 grid%添加栅格 程序运行后 Figure 上显示 bode图如图 11. ： 16 根据bode图可轻易得出系统相位裕度：=32 2.3.4 加入 PI 控制器后系统动态性能分析 由式（18）知本系统中 PI 控制器的积分时间常数 1 kkTi，比例系数由 k 决定。通过改变 积分时间常数的大小即可调节加入积分器后对系统稳定性及动态过程的影响 为便于分析 k 和 1 k取不同参数时对系统性能的影响，在此借助MATLAB 分别求取出在 5 组 不同 PI 控制器参数下以及未加PI 控制器校正时系统的单位阶跃响应曲线并绘制在一张图 上以便于对比分析控制器取不同参数时对系统暂态性能的影响，以及加PI 控制器后对稳 态性能的影响。具体MATLAB 程序如下： t1=0:0.1:5; num0=4,5; Bode Diagram Frequency (rad/sec) -60 -40 -20 0 20 40 M a g n it u d e ( d B ) 10 -1 10 0 10 1 10 2 -180 -135 -90 -45 System: sys Phase Margin (deg): 32 Delay Margin (sec): 0.133 At frequency (rad/sec): 4.21 Closed Loop Stable? Yes P h a s e ( d e g ) 图 11 17 den0=1,3,6,5; y0=step(num0,den0,t1);%k=4,k1=5时的阶跃响应曲线 num1=6,5; den1=1,3,8,5; y1=step(num1,den1,t1);%k=6,k1=5时的阶跃响应曲线 num2=20,5; den2=1,3,22,5; y2=step(num2,den2,t1);%k=20,k1=5时的阶跃响应曲线 num3=20,10; den3=1,3,22,10; y3=step(num3,den3,t1);%k=20,k1=10时的阶跃响应曲线 num4=200,50; den4=1,3,202,50; y4=step(num4,den4,t1);%k=200,k1=50时的阶跃响应曲线 num5=1; den5=1,3,3; y5=step(num5,den5,t1);% 未加校正时的阶跃响应曲线 plot(t1,y0,'-+',t1,y1,'-r',t1,y2,'-g*',t1,y3,'b' ,t1,y4,':',t1,y5,'o' ),grid 响应曲线图如图 12： 18 00.511.522.533.544.55 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 未 加 PI 控 制 器 k=20 k1=10 k=6 k1=5 k=20 k1=5 k=4 k1=5 k=200 k1=50 图 12 根据图 12 以及前面计算出的加入不同参数的PI 控制器后的系统暂态性能和稳态性能 指标可知，加入 PI 控制器后系统的稳态误差为0，从而改善了系统的稳态性能，同时不同 的参数对系统的动态性能影响不同。如图12 所示，当系统比例系数k 过大时会使系统超 调量加大，不利于系统的稳定，当积分时间常数 1 kk较小会降低系统响应速度，增大积分 时间常数可提高系统的响应速度，增大积分时间常数可提高系统的响应速度，从而改善积 分环节对系统的暂态性能的不利影响。 3 P 和 PI 控制器特点比较 19 3.1 比例（ P）控制器： 在串联校正中，加大比例系数可以提高系统的开环增益，减小系统的稳态误差，从而 提高系统的控制精度，但也会降低系统的相对稳定性。 3.2 比例- 积分（ PI）控制器： 在串联校正时， PI 控制器相当于在系统中加入了一个位于原点的开环极点，从而提高 了系统型别，改善了其稳态性能。同时也增加了一个位于S平面左半平面的开环零点，减 小了阻尼程度，缓和了系统极点对于系统稳定性及动态过程产生不利影响。 20 4 心得体会 通过本次课程设计，我加深了对自动控制原理课程知识的理解，其中一些在理论课 上没搞懂的问题，在课程设计的过程中自己通过查阅大量的资料也搞懂了。特别是系统稳 定性分析，系统的校正以及比例环节，积分环节对系统稳定性以及系统动态性能和稳态性 能的影响。在整个课程设计过程中大量借助MATLAB 软件进行控制系统分析，加强了我对 MATLAB 语言的运用能力， 让我掌握了许多 MATLAB 在控制科学的中的运用， 诸如 MATLAB 中 计算单位阶跃响应函数step() ，计算任意输入响应函数lism() ，特征根的求解 roots ，二 维绘图函数 plot()， 根轨迹绘制函数 rlocus()等等。 在书写课程设计说明书时运用了visio 软件绘图，使用 WORD 软件编辑，使我掌握了许多关于办公软件的应用。 同时，在此次课程设计中，我感受到了查阅各类书籍的重要性，通过查阅图书馆的书 籍可以开拓我们的视野，让我了解到自动控制原理在很多领域中的运用让我的思维不仅仅 局限在课堂上，对同一个问题有多种分析思路、解决方法。 总之，这次课程设计不仅增加了我的知识积累，加强了我的独立思考能力和动手 能力以及发现问题解决问题的能力为将来的学习和工作打下了很好的基础。同时也让我认 识到运用计算机分析的优越性与学习MATLAB 工程软件的重要性。课程设计的过程中我与 同学、老师进行了深入的交流，通过交流我收获很大。 21 5 参考文献 1 胡寿松著 . 自动控制原理 . 北京：科学技术出版社， 2001.12 2 陈贵银著 . 自动控制原理与系统 . 北京：北京理工大学出版社，2009.3 3 谢克明等著 . 自动控制原理 . 北京：电子工业出版社，2009.1 4 熊新民著 . 自动控制原理与系统 . 北京：电子工业出版社， 2003.4 5 王万良 . 自动控制原理 . 高等教育出版社 ,2008 6 葛哲学 . 精通 MATLAB. 电子工业出版社 ,2008