人教a版必修5学案：2.2等差数列(含答案).pdf

2.2等差数列 自主学习 知识梳理 1等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的差都等于_ 常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_，通常用字母 _表示 2等差中项 如果 A ab 2 ，那么 A 叫做 a与 b 的_ 3等差数列的单调性 等差数列的公差_时，数列为递增数列； _时，数列为递减数列； _ 时，数列为常数列 4等差数列的通项公式 an_， 当 d 0 时， an_， an是关于 n 的_函数；当 d0 时， an _，an是关于 n 的_函数，点 (n，an)分布在一条以 _为斜率 的直线上，是这条直线上的一列_的点 5等差数列的性质 (1)若 an是等差数列，且kl m n(k、l、 m、 nN * )，则 _ (2)若 an是等差数列且公差为d，则 a2n也是 _，公差为 _ (3)若 an是等差数列且公差为d，则 a2n1 a2n 也是 _，公差为 _ 自主探究 如果等差数列an 的首项是 a1，公差是d，你能用两种方法求其通项吗？ 对点讲练 知识点一等差数列的通项公式 例 1若 an 是等差数列， a158， a6020，求 a75. 总结方法一：先求出a1， d，然后求a75；方法二：应用通项公式的变形公式an am (nm)d 求解 变式训练 1在等差数列 an 中，已知 amn，anm，求 amn的值 知识点二等差数列的性质 例 2已知等差数列 an中， a1 a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式 总结要求通项公式，需要求出首项a1和公差 d，由 a1a4a715，a2a4a645 直接 求解很困难，我们可以换个思路，利用等差数列的性质，注意到a1a7a2a62a4问题 就简单了 变式训练2成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四 个数 知识点三等差数列的判断 例 3已知数列 an 满足 a1 4，an4 4 an1 (n2)，令 bn 1 an2. (1)求证：数列 bn 是等差数列； (2)求数列 an的通项公式 总结判断一个数列an是否是等差数列， 关键是看an1an是否是一个与 n 无关的常 数 变式训练 3若 1 bc， 1 ca， 1 ab是等差数列，求证： a 2，b2，c2 成等差数列 1证明数列 an为等差数列的方法 (1)定义法： an1 and (d 为常数， n1)? an为等差数列或 anan1d (d 为常数， n2)? an为等差数列 (2)等差中项法：2an1an an2? an 是等差数列 (3)通项法： anpnq (p、qR)? an是等差数列，只要说明an为 n 的一次函数，就 可下结论说 an是等差数列 2三个数成等差数列可设为：ad， a，ad 或 a，ad， a2d；四个数成等差数列 可设为： a3d， ad，ad， a3d 或 a，a d，a2d，a3d. 课时作业 一、选择题 1在等差数列an中， a13a8a15 120，则 2a9 a10的值为 ( ) A24 B22 C20 D 8 2已知等差数列 an中， a2 9， a3 a2 2 3，则 an 为() A14n3 B16n4 C15n39 D15n8 3等差数列 an 的公差 d0d0d0 4a1(n1)d a1常数dn(a1d)一次d孤立 5(1)akal aman (2)等差数列2d (3)等差数列4d 自主探究 解第一种方法：根据等差数列的定义，可以得到 a2 a1 d，a3a2d，a4a3d，.所以 a2 a1 d， a3 a2 d(a1d)da12d， a4 a3 d(a12d) da13d， 由此得出： ana1(n 1)d. 第二种方法：由等差数列的定义知， an an1d(n2)， 所以 a2a1d a3a2d a4a3d ? anan1d (n1)个 将以上 (n1)个等式两边分别相加， 可得 ana1(n1)d，即 an a1 (n 1)d. 对点讲练 例 1解设an 的公差为 d. 方法一由题意知 a15a114d 8， a60a159d 20， 解得 a1 64 15， d 4 15. 所以 a75 a1 74d 64 15 74× 4 1524. 方法二因为 a60a15 (6015)d， 所以 d a60a15 6015 208 6015 4 15， 所以 a75 a60(7560)d2015× 4 1524. 变式训练 1解方法一设公差为d， 则 da man mn nm mn 1， 从而 amnam(mnm)dnn· (1)0. 方法二设等差数列的通项公式为ananb(a，b 为常数 )，则 am ambn， ananbm， 得 a 1， bmn.所以 amna(mn)b0. 例 2解因为 a1a72a4，a1a4a73a4 15， 所以 a45.又因为 a2a4a6 45，所以 a2a69， 即(a42d)(a42d)9， (5 2d)(52d)9， 解得 d± 2. 若 d2，an a4 (n 4)d2n3； 若 d 2， ana4(n4)d 132n. 变式训练 2解设这四个数为a3d， ad，a d，a3d，则由题设得 a3d ad ad a3d 26， ad ad 40 4a26， a 2d240. 解得 a 13 2 ， d 3 2 或 a 13 2 ， d 3 2. 所以这四个数为2,5,8,11 或 11,8,5,2. 例 3(1)证明an4 4 an1 (n2)， an14 4 an (nN *) bn1bn 1 an12 1 an2 1 2 4 an 1 an2 an 2 an2 1 an2 an2 2 an2 1 2. bn1bn 1 2，nN * . bn是首项为 1 2，公差为 1 2的等差数列 (2)解b1 1 a12 1 2，d 1 2. bnb1(n1)d1 2 1 2(n1) n 2. 1 an2 n 2，an 2 2 n. 变式训练 3证明 1 bc， 1 ca， 1 ab是等差数列， 1 bc 1 ab 2 ca. (ab)(ca)(bc)(ca)2(ab)(bc) (ca)(ac 2b)2(ab)(bc) 2ac2ab2bca2c22ab2ac2bc2b2 a2c22b2， a2，b2，c2成等差数列 课时作业 1A设等差数列 an公差为 d. a13a8 a15120， 5a8120，a8 24， 2a9a102(a8d)(a8 2d)a824. 2Ca2 9，a 3 a2 2 3， a3 2 3×(9)6，da3a215， ana2(n2)d 9 (n2)×1515n39. 3D由 a2· a412， a2 a48， d0 ? a26， a42 ? a18， d 2， 所以 ana1(n1)d，即 an8(n 1)(2)， 得 an 2n 10. 4C方法一设 an首项为 a1，公差为 d，则 a3a4a5a6a7a12d a1 3da14da15da16d5a120d， 即 5a120d 450，a14d90， a2a8a1da17d2a18d180. 方法二a3a7 a4a62a5a2 a8， a3a4a5a6a75 2(a2a8)450， a2a8180. 5D2an12an1，an1an1 2. 故数列 an是首项为 2，公差为 1 2的等差数列 a101 a1100d2100×1 252. 6.4 3 解析nm3d1， d11 3(nm) 又n m 4d2，d2 1 4(nm) d1 d2 1 3 nm 1 4 n m 4 3. 7.12 5 解析 1 a6 1 a4 1 4 1 62d，即 d 1 24. 所以 1 a10 1 a6 4d 1 4 1 6 5 12，所以 a10 12 5 . 8.1 2 解析由题意设这4 个根为 1 4， 1 4d， 1 4 2d， 1 4 3d. 则 1 4 1 43d 2，d 1 2， 这 4 个根依次为 1 4， 3 4， 5 4， 7 4， n1 4× 7 4 7 16，m 3 4× 5 4 15 16或 n 15 16，m 7 16， |mn| 1 2. 9解设 ana1(n1)d， 则 a4a9a6a7(a1 3d)(a1 8d)(a15d)(a16d) (a 2 111a1d24d 2) (a2 111da130d 2) 6d20，所以 a 4a9a6a7. 10解(1)依题意有 a13，d7 34， an34(n1)4n1. 设 an4n1135，得 n34， 135 是数列 an的第 34 项 由于 4m194(m5)1，且 mN *， 4m19 是数列 an的第 m5 项 (2)am、at是数列 an中的项， am4m 1，at4t1. 2am 3at2(4m 1)3(4t1)4(2m3t1)1. 2m3t1N *， 2am 3at是数列 an 中的第 2m3t1 项