人教a版必修5学案：2.5等比数列的前n项和(含答案).pdf

2.5等比数列的前n 项和 材拓展 1等比数列的判定方法有以下几种 (1)定义法： an1 an q (q 是不为 0 的常数， nN * )? an是等比数列； (2)通项公式法：ancq n (c，q 均是不为 0 的常数， n N* )? an是等比数列； (3)中项公式法：a 2 n1an· an2 (an· an1· an20，nN *)? a n是等比数列； (4)前 n 项和法：若 SnA(q n1)， (A0， q0 且 q1)则a n是等比数列， 其中 A a1 1q. 例如：等比数列an 的前 n 项和是 Sn32 n t，则 t 的值是 _ 解析 an是等比数列， Sn32 nt9·1 3 nt9 1 3 n1 ， t9. 答案9 2等比数列的通项公式 (1)通项公式 ana1q n1 (其中 a 1为等比数列 an的首项， q 为其公比 ) (2)等比数列与函数的关系 由通项公式ana1q n1，可得 ana 1 q q n，当 q0，且 q1 时， yqx 是一个指数函数， 而 y a1 q q x 是一个不为零的常数与指数函数的积因此等比数列 an的图象是函数 y a1 q q x 的 图象上的一些离散点 例如：已知 an为等差数列， bn为等比数列，其公比q1，且 bn0，若 a1b1，a11 b11，则 a6与 b6的大小关系是_ 解析bn0， b10，q0. 点(n，bn)分布在函数 y b1 q q x 的图象上 点(n，an)分布在函数 ydx(a1d)的图象上 当 q1 时，它们的图象如图1 所示； 当 01 还是 0b6. 答案a6b6 3等比数列的前n 项和 等比数列前n 项和公式为 Sn na1 q1 ， a11q n 1q a1anq 1q q1 . 注意： 等比数列前n 项和公式有两种形式，运用该公式求和时，首先要判断公比q 是否 为 1，再由 q 的情况选择求和公式的形式，当公比q 不确定时，要注意对q 分 q1 和 q1 进行讨论 例如： 1a a2, an 1 _.( 其中 a0) 答案 n，a1 1a n 1 a ，a1 4等比数列的常用性质 在等比数列 an中， (1)对任意的正整数m，n，有 anamq nm. (2)对于任意的正整数m，n，p，q，若 mn pq，则有 am· anap· aq. (3)当 a10 q1 或 a10 01 时， an 是递减数列； 当 q1 时， an为常数列；当 q0，它的前n 项和为 80，且其中数值最大的项为 54，前 2n项的和为6 560.求此数列的通项公式 分析因为前 n 项和与 2n 项和已知，这为建立方程提供了条件，由此可求得首项a1与 公比 q 之间的关系，进而确定an. 解设数列的公比为q， 由 Sn80，S2n6 560，得 q1，否则 S2n 2Sn. a11q n 1 q 80， a11q 2n 1q 6 560. ，得 qn81. 将 qn81 代入 得， a1q1. 又a10，q1.数列 an 是递增数列 从而， a1qn 154， a 1q n 54q， 81a154q. 联立，解得q 3，a12. ana1qn 12× 3n1 . 三、等比数列的性质及应用 方法链接 ：对于等比数列，还有以下的常用结论： (1)如果数列 an 是等比数列， c 是不等于0 的常数，那么数列 c· an仍是等比数列； (2)如果 an， bn是项数相同的等比数列，那么数列an· bn， an bn 仍是等比数列； (3)在等比数列 an 中，间隔相同的项构成的数列，仍是等比数列 如 a1，a4， a7，a10，, ； (4)Sn为等比数列 an的前 n 项和，一般地：Sn，S2nSn，S3nS2n构成等比数列 (q1 或 n 为奇数 )； (5)若 an是公比为q 的等比数列， 则 SmnSnq nS m.解等比数列问题时，熟练运用上述 性质，进行整体代换，可以简化解题过程，提高解题速度 例 3在等比数列 an中， (1)若 q 1 2，S 9977，求 a3a6, a99的值； (2)若 an的前 m 项和为 2，其后 2m 项和为 12，求再后3m 项的和 解(1)S99(a1a4 ,a97) (a2 a5 , a98)(a3a6 ,a99) 1 q 2 1 q 1 (a3 a6,a99)7(a3a6,a99)77 a3a6, a9911. (2)涉及 an的前 6m 项，把每 m 项之和依次记作：A1，A2，A3，A4， A5，A6，则它们成 等比数列公比记作q. 且 A12，A2A312，A2A32q2q212， q2 或 q 3. 当 q2 时， A4A5A6 A1(q3q4q5) 2×(232425) 112； 当 q 3 时， A4A5 A6A1(q3q4q5) 2×(3)3(3)4(3)5 378. 后 3m 项的和为112 和 378. 四、错位相减求前n 项和 方法链接： 等比数列 an的前 n 项和公式的推导方法即错位相减法是很重要的方法， 必 须熟练掌握 该法主要应用于已知数列求和中，各项的组成是等差数列和等比数列对应项乘 积构成的新数列的求和问题 例 4设数列 an的前 n 项和为 Sn2n2，bn为等比数列，且 a1b1，b2(a2a1)b1. (1)求数列 an和 bn的通项公式； (2)设 cn an bn，求数列 cn 的前 n 项和 Tn. 解(1)当 n1 时， a1S12； 当 n2 时， anSnSn12n22(n 1)24n2， a1也满足上式 故an的通项公式为 an4n2， 即an是 a12，公差 d4 的等差数列 设bn的公比为 q，则 b1qdb1，d4， q1 4. 故 bnb1qn 12×1 4 n1， 即bn的通项公式为 bn 2 4 n1. (2)cn an bn 4n 2 2 4 n1 (2n1)4n 1， Tnc1c2, cn 13×45×4 2, (2n1)4 n1， 4Tn1×43× 4 2 5×43, (2n3)4 n1(2n1)4n. 两式相减得 3Tn 12×(44 243, 4n 1)(2n1)4n 1 3(6n5)4 n5， Tn 1 9(6 n 5)4 n 5 五、等差中项与等比中项的运用 方法链接： 一个等比数列，除可以按定义设为a1，a1q，a1q2，,之外，若已知连续三 项，常可设为 a q，a，aq，然后应用等差中项或等比中项建立方程求解 例 5互不相等的三个数之积为8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成 等差数列，求这三个数排成的等差数列 解设三个数为 a q，a，aq， a 3 8，即 a 2， 三个数为 2 q ， 2， 2q. (1)若 2 为 2 q和 2q 的等差中项，则 2 q2q4， q22q10， q1，与已知矛盾； (2)若 2q 为 2 q与 2 的等差中项，则 1 q12q， 2q 2q10，q1 2或 q1(舍去 )， 三个数为4,1， 2； (3)若 2 q为 2q 与 2 的等差中项，则 q1 2 q， q2q20，q 2 或 q1(舍去 )， 三个数为4,1， 2. 综合 (1)(2)(3) 可知，这三个数排成的等差数列为4,1， 2 或 2,1,4. 六、等差数列与等比数列的公共项问题 方法链接： 1.一般地，两个等差数列若存在公共项，则它们的公共项按原来的顺序构成 一个新的等差数列公差是原来两个等差数列公差的最小公倍数 2一般地，一个等差数列与一个等比数列若存在公共项，则它们的公共项按原来的顺 序构成一个新的等比数列 例 6设 An为数列 an的前 n 项和， An 3 2(an1) (nN * )，数列 bn的通项公式为bn 4n3 (nN *) (1)求数列 an的通项公式； (2)将数列 an、 bn的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列dn， 证明数列 dn 的通项公式为 dn3 2n1 (nN*) (1)解由已知 An 3 2(an1) (n N * ) 当 n1 时， a1 3 2(a11)，解得 a13. 当 n2 时， anAnAn1 3 2(anan 1)， 由此解得 an 3an1，即 an an13 (n2) 所以数列 an是首项为 3，公比为3 的等比数列， 故 an3 n (n N* ) (2)证明由计算可知a1，a2不是数列 bn中的项 因为 a3274×63，所以 d127 是数列 bn中的第 6 项设 ak3 k 是数列 bn中的 第 m 项， 则 3 k4m 3 (k， m N*)， 因为 ak13k 13· 3k3(4m3)4(3m2)1， 所以 ak1不是数列 bn 中的项 而 ak23k 29· 3k9(4m 3)4(9m6)3， 所以 ak2是数列 bn 中的项 由以上讨论可知d1a3，d2a5，d3a7， , ，dna2n1. 所以数列 dn的通项公式是 dna2n13 2n1 (nN *) 区突破 1求和时项数不清而致错 例 1求 1222, 2n的和 错解 1 22 2, 2n12 n 12 2n1. 点拨 错因在于没有搞清项数，首项为12 0，末项为 2n，项数应为n1 项 正解 这是一个首项为1，公比为2 的等比数列前n1 项的和， 所以， 12 22 , 2n 12 n1 12 2n 11. 2利用等比数列求和公式忽视q1 的情形而致错 例 2已知等比数列 an中， a3 4，S312，求数列 an的通项公式 错解 设等比数列的公比为q， 则 a3a1q 24， S3a 11q 3 1q 12， 解得 q 1 2. 所以 ana3qn 34·1 2 n3 1 2 n5. 点拨 上述解法中忽视了等比数列前n 项和公式中q 1 这一特殊情况 正解 当 q1 时， a34，a1a2a34， S3a1a2a312，q1 符合题意 an4. 当 q1 时， a3a1q 24， S3a 11q 3 1q 12， 解得： q 1 2，an a3q n3 1 2 n5. 故数列通项公式为an4 或 an 1 2 n5 . 3忽略题目中的隐含条件而致错 例 3已知数列 1，a1，a2， 4 成等差数列，1，b1， b2，b3， 4 成等比数列，求 a2a1 b2 的值 错解 1，a1，a2， 4 成等差数列，设公差为 d， 则 a2a1d1 3(4)(1) 1. 1， b1，b2，b3， 4 成等比数列 b2 2(1)× (4)4，b2± 2. 当 b22 时， a2a1 b2 1 2 1 2， 当 b2 2 时， a2 a1 b2 1 2 1 2. a2 a1 b2 ± 1 2. 点拨 注意 b2的符号已经确定，且 b20 且 b 1，b，r 均为常数 )的图象上 (1)求 r 的值； (2)当 b2 时，记 bn n1 4an (nN *)，求数列 b n的前 n 项和 Tn. 解(1)由题意， Snbnr， 当 n2 时， Sn1bn 1r. 所以 anSnSn1bn 1(b1) 由于 b0 且 b1， 所以 n2 时， an是以 b 为公比的等比数列 又 a1br，a2 b(b1)， a2 a1b，即 b b1 br b，解得 r 1. (2)由(1)知， nN * ，an(b1)bn 1 2n 1， 所以 bn n1 4×2 n1n1 2 n1. Tn 2 2 2 3 2 3 4 2 4, n1 2 n1， 1 2Tn 2 2 3 3 2 4 , n 2 n1n 1 2 n2， 两式相减得 1 2Tn 2 2 2 1 2 3 1 2 4, 1 2 n1 n1 2 n2 1 2 1 2 3× 1 1 2 n1 1 1 2 n1 2 n23 4 1 2 n1 n1 2 n2， 故 Tn 3 2 1 2 n n1 2 n13 2 n3 2 n1，nN *. 赏析本题主要考查数列的通项及求和的有关知识，考查运算能力和综合解题能力