人教A版数学必修二教案：§2.1.1平面.pdf
第二章点、直线、平面之间的位置关系 本章教材分析 本章将在前一章整体观察、认识空间几何体的基础上，以长方体为载体，使学生在直观感知的基础上， 认识空间中点、直线、 平面之间的位置关系；通过大量图形的观察、实验和说理， 使学生进一步了解平行、 垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，初步体验公理化 思想，培养逻辑思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题. 本章主要内容：2.1 点、直线、平面之间的位置关系，2.2 直线、平面平行的判定及其性质，2.3 直线、 平面垂直的判定及其性质.2.1 节的核心是空间中直线和平面间的位置关系.从知识结构上看，在平面基本性 质的基础上， 由易到难顺序研究直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系.本章在培养学生的辩证 唯物主义观点、公理化的思想、空间想象力和思维能力方面，都具有重要的作用.2.2 和 2.3 节内容的编写 是以 “ 平行 ” 和“ 垂直 ” 的判定及其性质为主线展开，依次讨论直线和平面平行、平面和平面平行的判定和性 质；直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定和性质. “ 平行 ” 和“ 垂直 ” 在定义和描述直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系中起着重要作用.在本 章它集中体现在：空间中平行关系之间的转化、空间中垂直关系之间的转化以及空间中垂直与平行关系之 间的转化 . 本章教学时间约需12 课时，具体分配如下（仅供参考）： 2.1.1 平面约 1 课时 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系约 1 课时 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系约 1 课时 2.1.4 平面与平面之间的位置关系约 1 课时 2.2.1 直线与平面平行的判定约 1 课时 2.2.3 直线与平面平行的性质约 1 课时 2.2.2 2.2.4 平面与平面平行的判定平面与平面平行的性质约 1 课时 2.3.1 直线与平面垂直的判定约 1 课时 2.3.2 平面与平面垂直的判定约 1 课时 2.3.3 直线与平面垂直的性质约 1 课时 2.3.4 平面与平面垂直的性质约 1 课时 本章复习约 1 课时 §2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 §2.1.1 平面 一、教材分析 平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体 几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平 面 ,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是本节的重点.另外 ,本节还应充分展现三 种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换. 二、教学目标 1知识与技能 （1）利用生活中的实物对平面进行描述； （2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图 （3）掌握平面的基本性质及作用； （4）培养学生的空间想象能力. 2过程与方法 （1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识； （2）让学生归纳整理本节所学知识. 3情感、态度与价值观 使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣. 三、重点难点 三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题. 四、课时安排 1 课时 五、教学过程 （一）导入新课 思路 1.(情境导入 ) 大家都看过电视剧西游记吧，如来佛对孙悟空说：“ 你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我 的手掌心 ”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线， 大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面. 思路 2.(事例导入 ) 观察长方体（图1） ，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？ 图 1 长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线 与面平行， 有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、 直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题. （二）推进新课、新知探究、提出问题 怎样理解平面这一最基本的几何概念; 平面的画法与表示方法; 如何描述点与直线、平面的位置关系？ 直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面 内？ 根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？ 如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示; 描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？ 自己总结三个公理的有关内容. 活动： 让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答 不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下： 回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等. 我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示. 点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外. 确定一条直线需要几个点？ 引导学生观察教室的门由几个点确定. 两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性. 文字语言、图形语言、符号语言. 平面的基本性质小结. 讨论结果： 平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念）， 只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的. 平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错). 我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角 形等图形来表示平面，如图2.平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2 倍.如果一个 平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3. 图 2 图 3 平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母 、 、 的前面加 “ 平面 ” 二字，如平面 、平面 、平 面 等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图 4)；（2） 用平行四边形的四个字母表示，如平面 ABCD （图 5） ； （3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图 5）. 图 4 图 5 下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表： 点 A 在直线 a 上（或直线a 经过点 A） Aa 元素与 集合间 的关系 点 A 在直线 a外（或直线a 不经过点A） Aa 点 A 在平面 内（或平面经过点 A） A 点 A 在平面 外（或平面不经过点A） A 直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图 7)，直线上有两个点在平面内，则直线全 部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内. 公理 1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述 . 空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平 面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示. 规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用 一个小写的希腊字母表示.公理 1 也可以用符号语言表示： 若 Aa,Ba,且 A,B , 则 a. 图 6 图 7 请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交. 若 Aa,Ba,且 A,B , 则 a.如图（图7） . 在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等. 上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理. 公理 2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 如图（图8） . 图 8 公理 2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一. 我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？ 不是，因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的， 那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征. 现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）. 问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面 是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数 个公共点在一条直线上. 这说明， 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平 面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理 3.如图（图 9） ，用符号语言表示为：P, 且 P =l, 且 Pl. 图 9 公理 3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过 这个公共点 .也就是说， 如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个 平面的两个公共点，就找出了它们的交线. 由此看出公理3 不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找 这条交线的方法. 描述点、直线、平面的位置关系常用3 种语言 :文字语言、图形语言、符号语言. “ 平面的基本性质” 小结： 名称作用 公理 1 判定直线在平面内的依据 公理 2 确定一个平面的依据 公理 3 两平面相交的依据 （三）应用示例 思路 1 例 1 如图 10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系. 图 10 活动： 学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视， 发现问题及时纠正，并及时评价. 解： 在（ 1）中， =l,a =A,a=B. 在（ 2）中， =l,a,b,a l=P,b l=P. 变式训练 1.画图表示下列由集合符号给出的关系： (1)A ,B ,A l,Bl; (2)a ,b ,a c,b c=P, =c. 解： 如图 11. 图 11 2.根据下列条件，画出图形. （1）平面 平面 =l，直线 AB ，AB l，EAB ，直线 EF =F，Fl; （2）平面 平面 =a， ABC 的三个顶点满足条件:Aa，B ，Ba，C ，Ca. 答案： 如图 12. 图 12 点评： 图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型： (1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来. (2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来. 例 2 已知直线a和直线 b 相交于点A.求证：过直线a 和直线 b 有且只有一个平面. 图 13 证明： 如图 13,点 A 是直线 a 和直线 b 的交点 ,在 a 上取一点B，b 上取一点C， 根据公理2 经过不在同一直线上的三点A、B、 C 有一个平面 ， 因为 A、 B 在平面 内，根据公理1，直线 a在平面 内, 同理直线b 在平面 内，即平面是经过直线a 和直线 b 的平面 . 又因为 A、B 在 a 上， A、C 在 b 上，所以经过直线a 和直线 b 的平面一定经过点A、B、C. 于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C 的平面有且只有一个， 所以经过直线a和直线 b的平面有且只有一个. 变式训练 求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内. 证明： 如图 14，直线 a、 b、c、d 两两相交，交点分别为A、 B、C、D、E、F, 图 14 直线 a 直线 b=A,直线 a和直线 b 确定平面设为 ，即 a,b. B、Ca， E、Fb,B、C、E、F. 而 B、Fc，C、E d, c、d, 即 a、b、c、d 在同一平面内 . 点评： 在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2 外，确定平面的依据还有： (1) 直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线. (2) 思路 2 例 1 如图 15，已知 =EF,A,C 、B,BC与 EF 相交，在图中分别画出平面ABC 与 、的交线 . 图 15 活动： 让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对作图 不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 解： 如图 16 所示，连接CB， C, B , 直线 CB. 图 16 直线 CB平面 ABC ， 平面 ABC= 直线 CB. 设直线 CB 与直线 EF 交于 D, =EF,D,D 平面 ABC. A,A 平面 ABC ， 平面 ABC= 直线 AD. 变式训练 1.如图 17，AD 平面 =B,AE 平面 =C，请画出直线DE 与平面 的交点 P，并指出点P与直线 BC 的位 置关系 . 图 17 解： AD 和 AC 是相交直线，它们确定一个平面ABC ， 它与平面的交线为直线BC，DE平面 ABC ， DE 与 的交点 P 在直线 BC 上. 2.如图 18，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 8 cm， M、N、P 分别是 AB 、A1D1、BB1的中点， 图 18 (1)画出过 M、N、P 三点的平面与平面A1B1C1D1的交线，以及与平面 BB 1C1C 的交线 . (2)设过 M、N、P三点的平面与B1C1交于点 Q，求 PQ 的长 . 解： (1)设 M、N、P 三点确定的平面为 ，则 与平面 AA 1B1B 的交线为直线MP，设 MP A1B1=R， 则 RN 是 与平面 A1B1C1D1的交线，设RN B 1C1=Q，连接 PQ，则 PQ 是所要画的平面与平面 BB1C1C 的交线 .如图 18. (2)正方体棱长为8 cm，B1R=BM=4 cm ，又 A1N=4 cm ，B1Q= 3 1 A1N, B1Q= 3 1 × 4= 3 4 （cm） .在PB1Q 中， B1P=4 cm，B1Q= 3 4 cm， PQ=10 3 4 2 1 2 1 QBPBcm. 点评： 公理 3 给出了两个平面相交的依据，我们经常利用公理3 找两平面的交点和交线. 例 2 已知 ABC 三边所在直线分别与平面 交于 P、Q、R 三点，求证： P、Q、R 三点共线 . 解： 如图 19,A、B、C 是不在同一直线上的三点, 图 19 过 A、B、C 有一个平面. 又AB =P ，且 AB, 点 P 既在 内又在 内.设 =l,则 P l, 同理可证： Q l,Rl, P、 Q、 R 三点共线 . 变式训练 三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点. 已知平面 、 、 两两相交于三条直线l1、 l2、l3，且 l1、 l2、l3不平行 . 求证：l1、l2、 l3相交于一点 . 证明： 如图 20， =l 1， =l2， =l3， 图 20 l1 ， l2 ，且 l1、 l2不平行 , l1与 l2必相交 .设 l1l 2=P， 则 Pl1 ,P l2, P =l 3. l1、l2、 l3相交于一点P. 点评： 共点、共线问题是本节的重点，在高考中也经常考查，其理论依据是公理3. （四）知能训练 画一个正方体ABCD A B C D，再画出平面ACD 与平面 BDC 的交线，并且说明理由. 解： 如图 21, 图 21 F CD ，F平面 ACD . EAC，E平面 ACD . EBD，E平面 BDC . F DC ，F平面 DC B. EF 为所求 . （五）拓展提升 O1是正方体 ABCD A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、 B1、A 作一个截面，求证：此截面与对角线 A1C 的交点 P 一定在 AO1上. 解： 如图 22,连接 A1C1、AC ， 图 22 因 AA 1CC1，则 AA1与 CC1可确定一个平面 AC1， 易知截面AD1B1与平面 AC1有公共点A、O1， 所以截面AD 1B1与平面 AC1的交线为 AO 1. 又 PA1C，得 P平面 AC1，而 P截面 AB1D1， 故 P在两平面的交线上，即PAO1. 点评： 证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上. （六）课堂小结 1.平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性. 2.通过三个公理介绍了平面的基本性质，及作用. 名称作用 公理 1 判定直线在平面内的依据 公理 2 确定一个平面的依据 公理 3 两平面相交的依据 3.利用三个公理证明共面、共线、共点问题. （七）作业 课本习题2.1 A 组 5、6.
