新人教A版选修2-2《1.1.3导数的几何意义》同步练习及答案.pdf

选修 2-2 1.1 第 3 课时 导数的几何意义 一、选择题 1如果曲线yf(x) 在点 (x0，f(x0) 处的切线方程为x2y30，那么 ( ) Af(x0) 0 Bf(x0) 0 Cf(x0) 0 Df(x0) 不存在 答案 B 解析 切线x2y30 的斜率k 1 2，即 f(x0) 1 20. 故应选 B. 2曲线y1 2x 22 在点 1，3 2 处切线的倾斜角为( ) A1 B. 4 C.5 4 D 4 答案 B 解析 y lim x0 1 2( x x) 22 (1 2x 22) x lim x0 ( x1 2 x) x 切线的斜率ky|x 1 1. 切线的倾斜角为 4 ，故应选B. 3在曲线yx 2 上切线的倾斜角为 4 的点是 ( ) A(0,0) B(2,4) C. 1 4， 1 16 D. 1 2， 1 4 答案 D 解析 易求y 2x，设在点P(x0，x 2 0) 处切线的倾斜角为 4 ，则2x0 1，x0 1 2， P 1 2， 1 4 . 4曲线yx 33x21 在点 (1 ， 1)处的切线方程为 ( ) Ay3x4 By 3x2 Cy 4x3 Dy 4x5 答案 B 解析 y 3x 26x， y| x1 3. 由点斜式有y1 3(x 1) 即y 3x2. 5设f(x) 为可导函数，且满足lim x0 f(1) f(1 2x) 2x 1，则过曲线yf(x) 上点 (1， f(1) 处的切线斜率为( ) A2 B 1 C1 D 2 答案 B 解析 lim x0 f(1) f(1 2x) 2x lim x0 f(12x) f(1) 2x 1，即y|x1 1， 则yf(x) 在点 (1 ，f(1) 处的切线斜率为1，故选 B. 6设f(x0) 0，则曲线yf(x) 在点 (x0，f(x0) 处的切线 ( ) A不存在B与x轴平行或重合 C与x轴垂直D与x轴斜交 答案 B 解析 由导数的几何意义知B正确，故应选B. 7 已知曲线yf(x) 在x 5 处的切线方程是yx8， 则f(5) 及f(5) 分别为 ( ) A3,3 B3， 1 C 1,3 D 1， 1 答案 B 解析 由题意易得：f(5) 58 3，f(5) 1，故应选 B. 8曲线f(x) x 3 x 2在P点处的切线平行于直线y4x 1，则P点的坐标为 ( ) A(1,0)或( 1， 4) B(0,1) C( 1,0) D(1,4) 答案 A 解析 f(x) x 3 x2，设xPx0， y3x 2 0·x 3x0·(x) 2( x)3 x， y x3x 2 013x0( x) ( x) 2， f(x0) 3x 2 01，又k 4， 3x 2 01 4，x 2 01. x0±1， 故P(1,0)或( 1， 4) ，故应选A. 9设点P是曲线yx 3 3x 2 3上的任意一点， P点处的切线倾斜角为，则 的取值 范围为 ( ) A. 0， 2 2 3， B. 0， 2 5 6， C. 2 3， D. 2 ， 5 6 答案 A 解析 设P(x0，y0) ， f(x) lim x0 (x x) 3 3(xx) 2 3 x 3 3x 2 3 x 3x 2 3，切线的斜率k3x 2 03， tan 3x 2 033. 0， 2 2 3， . 故应选 A. 10(2010·福州高二期末) 设P为曲线C：yx 22x3 上的点，且曲线 C在点P处切线 倾斜角的取值范围为0 ， 4 ，则点P横坐标的取值范围为( ) A 1， 1 2 B 1,0 C0,1 D 1 2，1 答案 A 解析 考查导数的几何意义 y 2x2，且切线倾斜角0 ， 4 ， 切线的斜率k满足 0k1，即 02x21， 1x 1 2. 二、填空题 11已知函数f(x) x 2 3，则f(x) 在(2，f(2) 处的切线方程为_ 答案 4xy10 解析 f(x) x 23， x02 f(2) 7，yf(2x) f(2) 4· x ( x) 2 y x4 x. lim x0 y x 4. 即 f(2) 4. 又切线过 (2,7) 点，所以f(x) 在(2 ，f(2) 处的切线方程为y74(x 2) 即 4xy 10. 12若函数f(x) x1 x，则它与 x轴交点处的切线的方程为_ 答案 y2(x1) 或y 2(x1) 解析 由f(x) x1 x0 得 x±1，即与x轴交点坐标为 (1,0)或( 1,0) f(x) lim x0 (x x) 1 xx x1 x x lim x0 1 1 x(xx) 1 1 x 2. 切线的斜率k11 12. 切线的方程为y2(x1) 或y2(x1) 13曲线C在点P(x0，y0) 处有切线l，则直线l与曲线C的公共点有 _个 答案 至少一 解析 由切线的定义，直线l与曲线在P(x0，y0) 处相切，但也可能与曲线其他部分有 公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个 14曲线yx 33x26x 10 的切线中，斜率最小的切线方程为 _ 答案 3xy110 解析 设切点P(x0，y0) ，则过P(x0，y0) 的切线斜率为，它是x0的函数，求出 其最小值 设切点为P(x0，y0) ，过点P的切线斜率k3x 2 0 6x063(x01) 2 3. 当 x0 1 时k有最小值3，此时P的坐标为 ( 1， 14) ，其切线方程为3xy110. 三、解答题 15求曲线y 1 x x上一点P4， 7 4 处的切线方程 解析 y lim x0 1 xx 1 x (xxx) x lim x0 x x(xx) x x xx x lim x0 1 x(xx) 1 xxx 1 x 2 1 2x . y|x4 1 16 1 4 5 16， 曲线在点P4， 7 4 处的切线方程为： y7 4 5 16( x4) 即 5x16y80. 16已知函数f(x) x 3 3x及yf(x) 上一点P(1， 2) ，过点P作直线l. (1) 求使直线l和yf(x) 相切且以P为切点的直线方程； (2) 求使直线l和yf(x) 相切且切点异于点P的直线方程yg(x) 解析 (1)y lim x0 (xx) 33( xx) 3x 3 3x x 3x 2 3. 则过点P且以P(1 ， 2) 为切点的直线的斜率 k1f(1) 0， 所求直线方程为y 2. (2) 设切点坐标为(x0，x 3 03x0) ， 则直线l的斜率k2f(x0) 3x 2 03， 直线l的方程为y(x 3 03x0) (3x 2 03)(xx0) 又直线l过点P(1 ， 2) ， 2(x 3 03x0) (3x 2 03)(1 x0) ， x 3 03x02 (3x 2 03)(x01) ， 解得x0 1( 舍去 ) 或x0 1 2. 故所求直线斜率k3x 2 03 9 4， 于是：y( 2) 9 4( x1) ，即y 9 4x 1 4. 17求证：函数yx 1 x图象上的各点处的切线斜率小于 1. 解析 y lim x0 f(xx)f(x) x lim x0 xx 1 x x x1 x x lim x0 x·x(xx) x (xx) ·x·x lim x0 (xx)x1 (xx)x x 21 x 21 1 x 21， yx 1 x图象上的各点处的切线斜率小于 1. 18已知直线l1为曲线yx 2x 2 在点 (1,0) 处的切线， l2为该曲线的另一条切线，且 l1l2. (1) 求直线l2的方程； (2) 求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积 解析 (1)y|x1 lim x0 (1 x) 2(1 x) 2(1 21 2) x 3， 所以l1的方程为：y3(x1) ，即y3x3. 设l2过曲线yx 2 x2 上的点B(b，b 2 b2) ， y|xblim x0 (b x) 2( b x) 2(b 2 b2) x 2b1，所以l2的方程为：y(b 2 b2) (2b1)·(xb) ，即y(2b1)xb 22. 因为l1l2，所以 3×(2b1) 1，所以b 2 3，所以 l2的方程为：y 1 3x 22 9 . (2) 由 y3x 3， y 1 3x 22 9 ， 得 x1 6， y 5 2， 即l1与l2的交点坐标为 1 6， 5 2 . 又l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0) ， 22 3 ，0 . 所以所求三角形面积S 1 2× 5 2 ×1 22 3 125 12 .