江苏省苏州市常熟市2013年中考数学调研试卷(4月份)(含解析).pdf

2013年江苏省苏州市常熟市中考数学调研试 卷（4 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共有10 小题，每小题3 分，共 30 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符 合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题纸相应位置上 1 （3 分） （ 2012?抚顺） 5 的倒数是（） A5BC5 D 考点： 倒数 分析： 乘积是 1 的两数互为倒数，所以5 的倒数是 解答： 解： 5 与的乘积是1， 所以 5 的倒数是 故选 D 点评： 本题主要考查倒数的概念：乘积是1 的两数互为倒数 2 （3 分） （ 2010?眉山）下列运算中正确的是（） A3a+2a=5a2B（2a+b） （2ab）=4a2 b2 C2a 2?a3=2a6 D（2a+b） 2=4a2+b2 考点 ： 平方差公式；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式 分析： 分别根据合并同类项、平方差公式、同底数幂的乘法及完全平方公式进行逐一计算即可 解答： 解： A、错误，应为3a+2a=5a； B、 （2a+b） （2ab）=4a 2b2，正确； C、错误，应为2a 2?a3 =2a 5； D、错误，应为（2a+b） 2=4a2+4ab+b2 故选 B 点评： 此题比较简单，解答此题的关键是熟知以下概念： （ 1）同类项：所含字母相同，并且所含字母指数也相同的项叫同类项； （ 2）同底数幂的乘法：底数不变，指数相加； （ 3）平方差公式：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的 平方差公式 （ 4）完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2 倍， 叫做完全平方公式 3 （3 分） （ 2009?昆明）某班5 位同学的身高（单位：米）为：1.5，1.6， 1.7，1.6，1.4这组数据（） A中位数是 1.7 B众数是 1.6 C平均数是 1.4 D极差是 0.1 考点 ： 众数；算术平均数；中位数；极差 分析： 根据中位数，众数，平均数，极差的定义分别求出，就可以进行判断 解答： 解： A、把这五个数按从小到大的顺序排列得到第三个为1.5，即中位数是1.5所以 A 错误； B、1.6 出现了两次所以为众数即B 正确 C、由平均数的公式得平均数为1.56所以 C 错误 D、极差为0.3所以 D 错误 故选 B 点评： 本题考查的是平均数、众数和中位数要注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数、众数和中 位数与原数据的单位相同，不要漏单位 4 （3 分） （ 2003?南京）如果，那么 x 的取值范围是（） Ax 2 Bx2 Cx 2 Dx2 考点 ： 二次根式的性质与化简 分析： 已知等式左边为算术平方根，结果x 2 为非负数，列不等式求范围 解答： 解：如果， 必有 x2 0，即 x 2故选 C 点评： 本题主要考查二次根式的化简方法的运用：a0 时，=a；a0 时，=a；a=0 时，=0 5 （3 分） （ 2011?枣庄）已知是二元一次方程组的解，则 ab 的值为（） A1 B1C2D3 考点 ： 二元一次方程的解 专题 ： 计算题；压轴题 分析： 根据二元一次方程组的解的定义，将代入原方程组，分别求得a、b 的值，然后再来求ab 的 值 解答： 解：已知是二元一次方程组的解， 由 +，得 a=2， 由，得 b=3， ab= 1； 故选 A 点评： 此题考查了二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法有两种：代入法和加减法，不管哪种方 法，目的都是 “ 消元 ” 6 （3 分） （ 2008?台湾）某段隧道全长9 公里，有一辆汽车以每小时60 公里到 80 公里之间的速率通过该隧 道下列何者可能是该车通过隧道所用的时间（） A6 分钟B8 分钟C10 分钟D12 分钟 考点 ： 一元一次不等式的应用 分析： 根据隧道的全长和汽车行驶的速度范围，列出不等式求解，可将汽车通过隧道所用的时间范围求出 解答： 解：依题意得： t， 60 公里 /时=1 公里 /分钟， 80 公里 /时=公里 /分钟 =公里 /分钟， 即 t 9， 解得 t 9， 故该车通过隧道所用的时间可能是8 分钟 故选 B 点评： 本题主要是读懂题意，列出不等式求解即可 7 （3 分） （ 2009?甘孜州）下列命题中，真命题是（） A两条对角线相等的四边形是矩形 B 两条对角线垂直的四边形是菱形 C 两条对角线垂直且相等的四边形是正方形 D两条对角线相等的平行四边形是矩形 考点 ： 正方形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理 分析： 根据正方形，矩形，菱形的判定方法对各个命题进行分析，从而得到答案 解答： 解： A、应该是两条对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项是假命题； B、应该是两条对角线垂直的平行四边形是菱形，故该选项是假命题； C、应该是两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故是假命题； D、符合矩形的判定，故该命题是真命题； 故选 D 点评： 此题主要考查学生对正方形的判定，菱形的判定，矩形的判定的理解及运用，解题的关键是熟记各 种特殊四边形的判定方法 8 （3 分） （ 2013?松北区二模）如果正比例函数y=ax（a 0）与反比例函数y= （b 0 ）的图象有两个交点， 其中一个交点的坐标为（3， 2） ，那么另一个交点的坐标为（） A（2， 3）B（3， 2）C（ 2，3）D（3，2） 考点 ： 反比例函数图象的对称性 专题 ： 常规题型 分析： 利用待定系数法求出两函数解析式，然后联立两解析式，解方程组即可得到另一交点的坐标； 或根据两交点关于原点对称求解 解答： 解：由题设知，2=a?（ 3） ， （ 3）?（ 2）=b， 解得 a= ，b=6， 联立方程组得， 解得， 所以另一个交点的坐标为（3，2） 或：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交 点的坐标为（ 3，2） 故选 D 点评： 本题考查了反比例函数图象的对称性，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法，也是基本的方 法，需熟练掌握，另外，利用对称性求解更简单，且不容易出错 9 （3 分） （ 2013?常熟市模拟）如图，ABC 中， A=30 ° ，沿 BE 将此三角形对折，又沿BA 再一次对 折， C 点落在 BE 上的 C处，此时 CDB=80° ，则原三角形的ABC 的度数为（） A60° B75° C78° D82° 考点 ： 翻折变换（折叠问题） 分析： 根据翻折变换的性质可得ABE= ABE， CBD= ABE， CDB= CDB ，从而得到 ABE= A BE=CBD，设 CBD=x ，则 ABC=3x ，然后在 ABC 中，利用三角形的内角和定 理表示出 C，在 BCD 中利用三角形内角和定理表示出C，列出方程求出x 的值，即可得解 解答： 解： ABC 沿 BE 对折， ABE= ABE， 再沿 BA 对折一次， C 点落在 BE 上的 C处， CBD= ABE， CDB= CDB=80 ° ， ABE= ABE=CBD ， 设 CBD=x ，则 ABC=3x ， 在 ABC 中， C=180° A ABC=180 ° 30° 3x=150° 3x， 在 BCD 中， C=180° CBD CDB=180 ° x80° =100° x， 150° 3x=100° x， 解得 x=25° ， ABC=3x=3 × 25° =75° 故选 B 点评： 本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到ABE= ABE=CBD， 然后在两个三角形内表示出C 是解题的关键，也是本题的难点 10 （3 分） （2013?常熟市模拟）如图，O 是以原点为圆心，为半径的圆，点P 是直线 y=x+6 上的一 点，过点 P 作 O 的一条切线PQ， Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为（） A3B4C6D31 考点 ： 一次函数综合题 专题 ： 计算题；压轴题 分析： 由 P 在直线 y=x+6 上，设 P（m，6m） ，连接 OQ，OP，由 PQ 为圆 O 的切线，得到PQ OQ， 在直角三角形OPQ 中，利勾股定理列出关系式，配方后利用二次函数的性质即可求出PQ 的最小值 解答： 解： P 在直线 y=x+6 上， 设 P 坐标为（ m， 6m） ， 连接 OQ，OP，由 PQ 为圆 O 的切线，得到PQOQ， 在 RtOPQ 中，根据勾股定理得：OP2=PQ2+OQ 2， PQ 2=m2+（6m）2 2=2m212m+34=2（m3）2+16， 则当 m=3 时，切线长PQ 的最小值为4 故选 B 点评： 此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：切线的性质，勾股定理，配方法的应用，以及二次函 数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键 二、填空题：本大题共8 小题，每小题3 分，共 24 分把答案直接填在答题纸相对应的位置上 11 （3 分） （2005?梅州）计算： （ab）（ a+b）=2b 考点 ： 整式的加减 分析： 本题考查整式的加法运算，要先去括号，然后合并同类项 解答： 解： （ab）（ a+b）=aba+b=2b 点评： 整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项 12 （ 3 分） （2011?贵港）因式分解：x 2x= x（ x1） 考点 ： 因式分解 -提公因式法 分析： 提取公因式x 即可 解答： 解： x2x=x （x 1） 点评： 本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键 13 （ 3 分） （2013?常熟市模拟）如图，直线AB CD， A=70° ， C=40° ，则 E 等于30度 考点 ： 平行线的性质；三角形的外角性质 专题 ： 探究型 分析： 先根据平行线的性质求出EFD 的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论 解答： 解：直线ABCD， A=70 ° ， EFD= A=70° ， EFD 是CEF 的外角， E=EFD C=70° 40° =30° 故答案为： 30 点评： 本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键 14 （ 3 分） （2009?广安）一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为12cm 考点 ： 等腰三角形的性质；三角形三边关系 专题 ： 压轴题 分析： 本题没有明确说明已知的边长那一条是腰长，所以需要分两种情况讨论 解答： 解：腰长为5 时，三边为5、5、2，满足三角形的性质，周长=5+5+2=12cm ； 腰长为2cm 时， 2+2=45， 不满足构成三角形因此周长为12cm 故填 12 点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种 情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的 关键 15（3 分）（2013?常熟市模拟） 若方程 x 22x2499=0 的两根为 x 1、 x2， 且 x1x2， 则 x1 x2的值为100 考点 ： 解一元二次方程-因式分解法 专题 ： 计算题 分析： 先配方得到（ x1）2502=0，然后把方程左边分解后转化为x1+50=0 或 x150=0，再解两个 一次方程得到x1、x2（x1x2） ，最后计算x1x2 解答： 解： x22x+1 2500=0， （ x1） 2502=0， （ x1+50） （x150）=0， x1+50=0 或 x150=0 x1=51，x2=49， x1x2=51（ 49）=100 故答案为100 点评： 本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次 式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解 16 （ 3 分） （2013?常熟市模拟）一盒内有四张牌，分别标记号码1、2、3、4已知小明以每次取一张且取 后不放回的方式取两张牌，若每一种结果发生的机会都相同，则这两张牌的号码数总和是奇数的概率是 考点 ： 列表法与树状图法 专题 ： 计算题 分析： 列表得出所有等可能的情况数，找出号码和为奇数的情况数，即可求出所求的概率 解答： 解：列表如下： 1 2 3 4 1 （2，1）（3，1）（4，1） 2 （1，2）（3，2）（4，2） 3 （1，3）（2，3）（4，3） 4 （1，4）（2，4）（3，4） 所有等可能的情况数有12 种，其中号码和是奇数的情况数有8 种， 则 P= 故答案为： 点评： 此题考查了树状图与列表法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 17 （ 3分） （2013?常熟市模拟）如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，连接 AE 、BD、CF，则图中灰色四 边形的周长为2+ 考点 ： 正多边形和圆 分析： 根据正六边形的性质得出BC=1=CD=GH ，CG=HD ，进而得出四边形CDHG 的周长 解答： 解：如图： ABCDEF 为正六边形， ABC=120 ° ， CBG=60 ° ， 又 BC=1=CD=GH ， CG=HD ， 四边形CDHG 的周长 =（1+）× 2=2+ 故答案为： 2+ 点评： 本题主要考查的是正多边形和圆，先根据已知得出GH=1 以及 CG 的长是解题关键 18 （3 分） （2013?常熟市模拟）如图，已知双曲线y=（k0）经过 RtOAB 斜边 OB 的中点 D，与直角 边 AB 相交于点C点 A 在 x 轴上若 DOC 的面积为3，则 k=4 考点 ： 反比例函数系数k 的几何意义 专题 ： 压轴题 分析： 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个 定值，即S=|k| 解答： 解：如图，过D 点作 DEx 轴，垂足为E RtOAB 中， OAB=90 ° ， DEAB ， D 为 RtOAB 斜边 OB 的中点 D， DE 为 RtOAB 的中位线， OED OAB ， = 双曲线的解析式是， SAOC=SDOE= k， SAOB=4SDOE=2k， 由 SAOBSAOC=SOBC=2SDOC=6，得 2k k=6， 解得 k=4 故答案为： 4 点评： 主要考查了反比例函数中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、 y 轴垂线， 所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正 确理解 k 的几何意义 三、解答题：本大题共11 小题，共76 分，把解答过程写在答题纸相应的位置上，解答时应写出必要的计 算过程、推演步骤或文字说明作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔 19 （ 5 分） （2009?沈阳）计算： 考点 ： 实数的运算；实数的性质；负整数指数幂；二次根式的性质与化简 分析： 按照实数的运算法则依次计算，注意：（） 1 =3 解答： 解：原式 =23+1=2 点评： 本题考查二次根式的化简、负整数指数幂的概念、绝对值的相关知识和实数的有关运算，比较简单， 是对学生基本概念和基本技能的一种考查 20 （ 5 分） （2013?常熟市模拟）化简求值：，其中， 考点 ： 分式的化简求值 专题 ： 探究型 分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a、 b 的值代入进行计算即可 解答： 解：原式 =÷ =× =， 当 a=1，b=+1 时，原式 = 点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键 21 （ 5 分） （2013?常熟市模拟）x 取哪些整数值时，不等式5x+23（x1）与x15x 都成立？ 考点 ： 一元一次不等式组的整数解 分析： 先求出不等式组的解集，在取值范围内可以找到整数解 解答： 解：根据题意解不等式组得 x3 故 x 取整数 2， 1，0， 1，2，时，不等式5x+2 3（x1）与x15x 都成立 点评： 考查了一元一次不等式组的整数解，解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循 以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了 22 （ 6 分） （2013?常熟市模拟）解方程： 考点 ： 解分式方程 分析： 本题考查解分式方程的能力，观察可得最简公分母是（x+2） （x2） ，方程两边乘以最简公分母，可 以把分式方程化为整式方程，再求解 解答： 解：方程两边同乘以（x+2） （x2） ，得 x（x2） +（x+2） （x+2）=8， x 2+x2=0，即（ x1） （x+2）=0， 解得 x1=1，x2=2 检验： x2= 2 是原方程的增根 故原方程的解为：x=1 点评： 考查了解分式方程， （1） 解分式方程的基本思想是“ 转化思想 ” ， 把分式方程转化为整式方程求解（2） 解分式方程一定注意要验根 23 （ 6 分） （2013?常熟市模拟）为响应建设“ 美丽乡村 ” ，大桥村在河岸上种植了柳树和香樟树，已知种植 柳树的棵数比香樟树的棵数多22 棵，种植香樟树的棵树比总数的三分之一少2 棵问这两种树各种了多少 棵？ 考点 ： 二元一次方程组的应用 分析： 设种植柳树x 棵，种植樟树y 棵，根据题目之间的数量关系建立方程求出其解即可 解答： 解：设种植柳树x 棵，种植樟树y 棵，由题意，得 ， 解得： 答：种植柳树38 棵，种植樟树16 棵 点评： 本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据题意 之间的数量关系建立方程是关键 24 （ 6 分） （2011?随州）为了加强食品安全管理，有关部门对某大型超市的甲、乙两种品牌食用油共抽取 18 瓶进行检测，检测结果分成“ 优秀 “ 、“ 合格 “ 和“ 不合格 ” 三个等级，数据处理后制成以下折线统计图和扇形 统计图 （1）甲、乙两种品牌食用油各被抽取了多少瓶用于检测？ （2）在该超购买一瓶乙品牌食用油，请估计能买到“ 优秀 ” 等级的概率是多少？ 考点 ： 折线统计图；扇形统计图；概率公式 专题 ： 图表型；数形结合 分析： （ 1）读折线统计图可知，不合格等级的有1 瓶，读扇形统计图可知甲种品牌有不合格的，且只有1 瓶，由此可求出甲种品牌的数量，据此解答即可 （ 2）根据随机事件概率大小的求法，找准两点：符合条件的情况数目；全部情况的总数；二者 的比值就是其发生的概率的大小 解答： 解： （1）1÷ 10%=10（瓶） ，1810=8（瓶）， 即甲种品牌有10 瓶，乙种品牌有8 瓶 （2）甲，乙优秀瓶总数为10 瓶，其中甲品牌食用油的优 秀占到 60%， 甲的优秀瓶数为10× 60%=6（瓶） 乙的优秀瓶数为：10（ 10× 60%）=4（瓶） ， 又乙种品牌共有8 瓶， 能买到 “ 优秀 ” 等级的概率是= 点评： 本题考查的是扇形统计图和折线统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信 息是解决问题的关键 25 （ 8 分） （2013?常熟市模拟）如图，在ABC 中， BAC=90 ° ，AD 是中线， E 是 AD 的中点，过点A 作 AFBC 交 BE 的延长线于F，连接 CF （1）求证： AD=AF ； （2）如果 AB=AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论 考点 ： 正方形的判定；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线 分析： （ 1）由 E 是 AD 的中点， AFBC，易证得 AEF DEB，即可得AD=BD ，又由在 ABC 中， BAC=90 ° ， AD 是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得AD=BD=CD=BC， 即可证得： AD=AF ； （ 2）由 AF=BD=DC ，AFBC，可证得：四边形ADCF 是平行四边形，又由AB=AC ，根据三线合 一的性质，可得AD BC，AD=DC ，继而可得四边形ADCF 是正方形 解答： （ 1）证明： AFBC， EAF= EDB， E 是 AD 的中点， AE=DE ， 在 AEF 和DEB 中， ， AEF DEB（ ASA ） ， AF=BD ， 在 ABC 中， BAC=90 ° ， AD 是中线， AD=BD=DC=BC， AD=AF ； （2）解：四边形ADCF 是正方形 AF=BD=DC ， AFBC， 四边形ADCF 是平行四边形， AB=AC ， AD 是中线， ADBC， AD=AF ， 四边形ADCF 是正方形 点评： 此题考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质此题难度适中， 注意掌握数形结合思想的应用 26 （ 8 分） （2011?太原）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE 的高度他们在这 棵树正前方一座楼亭前的台阶上A 点处测得树顶端D 的仰角为 30° ，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C 处， 测得树顶端D 的仰角为 60° 已知 A 点的高度 AB 为 2米， 台阶 AC 的坡度为（即 AB： BC=） ， 且 B、C、E 三点在同一条直线上请根据以上条件求出树DE 的高度（测倾器的高度忽略不计） 考点 ： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题 专题 ： 应用题；压轴题 分析： 通过构造直角三角形分别表示出BC 和 AF，得到有关的方程求解即可 解答： 解：如图，过点A 作 AFDE 于 F， 则四边形ABEF 为矩形， AF=BE ，EF=AB=2 ， 设 DE=x， 在 RtCDE 中， CE=， 在 RtABC 中，AB=2 ， BC=2， 在 RtAFD 中， DF=DE EF=x2， AF=（x 2） ， AF=BE=BC+CE ， （x2）=2+， 解得 x=6 答：树高为6 米 点评： 本题考查了解直角三角形的知识，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系求解 27 （ 8 分） （2013?常熟市模拟）如图，正方形ABCD 中，点 A、B 的坐标分别为（0，10） （8，4） ，点 C 在第一象限，且CE x 轴于 E 点，动点P 在正方形ABCD 的边上，从A 出发沿 ABCD 以每秒 1 个 单位的速度作匀速运动，同时点Q（1，0）以相同的速度在x 轴上沿正方向运动，当P 点到达 D 点时，两 点同时停止，设运动时间为t 秒 （1）当点 Q 运动至（ 20.5，0）时，则动点P 在BC边上； （2）求正方形点C 坐标； （3）问是否存在t（0 t 10）值，使 OPQ 的面积最大？若存在，求出t 值；若不存在，说明理由 考点 ： 相似形综合题 分析： （ 1）根据题意，得出正方形的边长，结合P，Q 点的速度，分析可得答案； （ 2）在 RtAFB 中，过点C 作 CEx 轴于点 E，与 FB 的延长线交于点H，易得 ABF BCH， 进而可得C 得坐标； （ 3）过点 P 作 PMy 轴于点 M，PNx 轴于点 N，易得 APM ABF ，根据相似三角形的性质， 有=，设 OPQ 的面积为S，计算可得答案 解答： 解： （1）过点 B 作 BF y 轴于点 F， 根据题意， AF=10 4=6，BF=8， AB=10， 当点 Q 运动至（ 20.5，0）时，运动时间为：20.51=19.5（秒）， 动点 P 在 BC 边上；（2）过点 C 作 CEx 轴于点 E，与 FB 的延长线交于点H ABC=90 ° =AFB= BHC ABF+ CBH=90 ° ， ABF= BCH， FAB= CBH ， 在 ABF 和BCH 中 ， ABF BCH （AAS） AF=BH=6 ， CH=BF=8 ， OE=FH=8+6=14 ， CE=8+4=12 所求 C 点的坐标为（14，12） （3）过点 P 作 PMy 轴于点 M，PN x 轴于点 N， 则 APM ABF = = AM=t，PM=t PN=OM=10 t，ON=PM=t 开始时Q（1，0） ，动点 Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动， OQ=1+t， 设 OPQ 的面积为S（平方单位） S=× （10t） （ 1+t）=5+tt2（ 0 t 10） a=0 当 t=时， OPQ 的面积最大 故答案为： BC 点评： 此题主要考查了相似形与函数的综合应用，要熟练掌握相似的性质和正方形的性质，并能够将他们 与二次函数的应用有效的结合起来；解决此类问题，注意数形结合得思想的运用 28 （9 分） （2013?常熟市模拟）如图，在梯形ABCD 中，AB BC，AD BC，顶点 D，C 分别在射线AM 、 BN 上运动，点E 是 AB 上的动点，在运动过程中始终保持DECE，且 AD+DE=AB （各动点都不与A，B 重合）经过 C、D、E 三点作圆请探索以下2 个问题： （1）当 AB=8 时，若动点E 恰好是过 C、D、E 三点的圆与AB 的切点，求CD 长？ （2）当 AB=a 时，说明 BEC 的周长等于2a 考点 ： 圆的综合题 分析： （ 1）先设圆心为O，连结 OE，根据 OEAB ，ABBC，AD BC，得出 OEAD BC， AE=BE=4 ， 则 OE 是梯形 ABCD 的中位线，设AD=x ，则 DE=8 x，得出 4 2 +x 2=（8x）2，求出 AD=3 ，根据 AB BC，AD BC，得出 AED+ ADE=90 ° ，根据 AED+ BEC=90° ，得出 AED= BEC，则 ADE BEC，得出=，最后根据OE=（ 3）=，即可得出CD=2OE= （ 2）设 AD=x ，AE=m ，则 DE=ax，在 Rt ADE 中，得出a2m2=2ax，再根据 ADE BEC， 得出=，则 CBEC= =2a 解答： 解： （1） DECE， CD 是过 C、D、E 三点作圆得直径， 设圆心为O，并连结OE， 点 E 恰好是过C、D、E 三点的圆与AB 的切点， OEAB ， 又 ABBC，AD BC， OEAD BC， OC=OD， AE=BE=4 ， OE 是梯形 ABCD 的中位线， 设 AD=x ，则 DE=8 x， 42+x 2=（8x）2， 解得： x=3，即 AD=3 ， ABBC，AD BC， A= B=90 ° ， AED+ ADE=90 ° ， DECE， AED+ BEC=90 ° ， AED= BEC， ADE BEC ， =， BC=， OE=（3）=， CD=2OE= （2）设 AD=x ，AE=m ，则 DE=ax， 在 RtADE 中， （ ax）2=m 2+x2， a 2m2 =2ax， 又 ADE BEC ， =， CBEC= =2a， 即 BEC 的周长等于2a 点评： 此题考查了圆的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用了转化及整体代 入的数学思想 29 （ 10 分） （2013?常熟市模拟）如图，抛物线y=ax 2+bx（a0）与双曲线 y=相交于点 A，B已知点A 的坐标为（ 1，4） ，点 B 在第三象限内，连结AB 交 y 轴于点 E，且 S BOE=SAOB （ O 为坐标原点） （1）求此抛物线的函数关系式； （2）过点 A 作直线平行于x 轴交抛物线于另一点C问在 y 轴上是否存在点P，使 POC 与OBE 相似， 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由； （3）抛物线与x 轴的负半轴交于点D，过点 B 作直线 ly 轴，点 Q 在直线 l 上运动， 且点 Q 的纵坐标为t， 试探索：当SAOBSQODSBOC时，求 t 的取值范围 考点 ： 二次函数综合题 专题 ： 综合题；压轴题 分析： （ 1）首先求得反比例函数的解析式，然后求得点B 的坐标， 利用待定系数法求得抛物线的解析式即 可； （ 2）根据 POC 与 OBE 相似，得到OP=4 或 8，从而求得点P 的坐标即可； （ 3） 求得点 Q、点 E、 点 D 的坐标， 从而表示出SAOB=3，SQOD= ， SBOC=8，得到 3 8，从而求得t 的取值范围； 解答： 解： （1）点 A（1，4）在双曲线y=上，得 k=4 SBOE= SAOB， |xA|：|xB|=1：2 xB=2， 点 B 在双曲线y=上， 点 B 的坐标为（ 2， 2） 点 A，B 都在 y=ax2+bx（a0）上， 解得： 所求的二次函数的解析式为：y=x 2+3x； （2）点 C 坐标为（ 4，4） ，若点 P 在 y 轴的正半轴，则 POC=45 ° ，不符合题意 所以点 P 在 y 轴的负半轴上，则POC=45° 此时有 POC=BOE=135 ° ， 所以或时， POC 与OBE 相似 OP=4 或 8 所以点 P 的坐标为（ 0， 4）或（ 0， 8） ； （3）设点 Q 的坐标为（2，t） 直线 AB 经过点 A（1，4） ，B（ 2， 2） 直线 AB 的函数关系式为y=2x+2 E（0，2） 由 y=x 2+3x 可知点 D（ 3，0） SAOB=3，SQOD= ，SBOC=8 38 当 t 0 时， 2 t 当 t0 时，t 2 综上： 2 t或t 2 点评： 此题考查了二次函数的综合题目，第一问的解答关键是掌握待定系数法的运用，求解第二问需要我 们会根据相似三角形的性质求线段的长，涉及到了分类讨论的数学思想，此类综合题目，难度较大， 注意逐步分析