苏教版高中数学选修2-2《2.3数学归纳法(1)》教案.pdf

教学目标： 1理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤 2通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证 明规律的途径掌握从特殊到一般是应用的一种主要思想方法 教学重点 ： 掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法 教学难点 ： 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 教学过程： 一、预习 1问题：很多同学小时候都玩过这样的游戏，（教具摆设）就是一种码放砖 头的游戏，码放时保证任意相邻的两块砖头，若前一块砖头倒下，则一定导致后 一块砖头也倒下，这样只要推倒第一块砖头就会导致全部砖头都倒下（这种游戏 称为多米诺骨牌游戏） 思考这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 只要满足以下两个条件，所有的多米诺骨牌都能倒下： （1）_； （2）_ 思考你认为条件（ 2）的作用是什么？ 思考如果条件（ 1）不要，能不能保证全部的骨牌都倒下？ 2我们知道对于数列 an，已知 a11，且 1 1 n n n a a a （n1，2，3, ）通 过对 n1，2，3，4，前 4 项的归纳，我们可以猜想出其通项公式为 1 n a n ，但归 纳推理得出的猜想不一定成立，必须通过严格的证明 要证明这个猜想，同学们自然就会从n5 开始一个个往下验证，当n 较小时 可以逐个验证，但当n 较大时，逐个验证起来会很麻烦，特别是证明n 取所有正 整数时，逐个验证是不可能的能不能寻求一种方法，通过有限个步骤的推理， 证明 n 取所有正整数都成立 思考？你认为证明数学的通项公式是 1 n a n ， 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏 有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？ 多米诺骨牌游戏原理 通项公式 1 n a n 的证明方法 （1）第一块骨牌倒下（1）当 n时，猜想成立 （2）若第 k 块倒下时，则相邻的 第 k1 块也倒下 （2）若当n时，猜想成立， 即，则当 n时，猜想也成 立，即 根据（ 1）和（ 2） ，可知不论有多 少块骨牌，都能全部倒下 根据（ 1）和（ 2） ，可知对任意的 正整数 n，猜想都成立 证明： （1） （2）假设， 3小结 数学归纳法的定义： 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： （1） （归纳奠基）证明当n 取第一个值 n0时命题成立 （2） （归纳递推）假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1 时命 题也成立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数都成立 上述证明方法叫做数学归纳法 用框图表示为： 注这两个步骤缺一不可，只完成步骤（1）而缺少步骤（ 2） ，就做出判断可 能得出不正确的结论，因为单靠步骤（1） ，无法递推下去，即n 取 n0以后的数时 命题是否正确，我们无法判定同样，只有步骤（2）而缺少步骤（ 1） ，也可能得 出不正确的结论，缺少步骤（ 1）这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤（2） 也就没有意义了 二、课堂训练 例 1证明等差数列通项公式ana1(n1)d 例 2用数学归纳法证明： 135, （ 2n1） 2 n 例 3用数学归纳法证明1 22232, n2(1)(21) 6 n nn （nN * ） 练习： 用数学归纳法证明： 135, (1)n(2n1)(1)nn 三、巩固练习 1用数学归纳法证明：“ 2 211 11 1 n na aaaan a N ， ” 在验证 n1成立时，左边计算所得的结果是 2已知： 111 ( ) 1231 f n nnn ，则(1)f k等于 3用数学归纳法证明：1×22×33×4, n(n1) 1 (1)(2) 3 n nn 4用数学归纳法证明： 2222121 (1) 1234(1)(1) 2 nn n n n 四、小结 重点： 两个步骤、一个结论； 注意： 奠基基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉 若 nk (kn0)时命题成立， 证明 nk1 时命题也成立 验证 nn0时 命题成立 命题对从 n0从开始所 有的正整数 n都成立 归纳奠基归纳递推 五、作业 课本 P94第 1，2，3 题