九年级数学下册锐角三角函数第2课时余弦与正切课时训练新人教版.pdf

第 2 课时余弦与正切 关键问答 在直角三角形中，一个锐角的余弦是哪两条边的比？ 在直角三角形中，一个锐角的正切是哪两条边的比？ 1 如图 281 14，在 ABC中，B90°，AB1，BC2，则 cosA的值为 ( ) 图 28 114 A. 5 5 B. 3 3 C. 2 5 5 D. 1 2 2 如图 281 15，在 ABC中，C90°，AB5，AC3，则 tanB的值为 ( ) 图 28 115 A. 4 3 B. 3 4 C. 3 5 D. 4 5 命题点 1 求余弦函数值 热度： 97% 3 如图 28 116， 在平面直角坐标系中， 点A的坐标为 (4 ， 3) ， 那么 cos 的值是 ( ) 图 28 116 A. 3 4 B. 4 3 C. 3 5 D. 4 5 4. 如图 28117，已知 ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则cosA的值为 ( ) 图 28 117 A. 3 3 B. 5 5 C. 2 3 3 D. 2 5 5 方法点拨 在网格图中求锐角的余弦值，类似于在网格图中求锐角的正弦值. 5 如图 281 18，点 E，B，C在A上，已知A的直径为1，BE是A的一条弦， 则 cosOBE的值为 ( ) 图 28 118 AOB的长 B BE的长 C OE的长 D OC的长 方法点拨 在圆中求某个圆周角的三角函数值时，可利用同弧所对的圆周角相等，把所求角转化 到以直径为斜边的直角三角形中 6. 如图 28119，直线 y 3 4x3 分别与 x轴，y轴交于A，B两点，则cosBAO的 值是 ( ) 图 28 119 A. 4 5 B. 3 5 C. 4 3 D. 5 4 方法点拨 在平面直角坐标系中，求直线与坐标轴的夹角的余弦值，一般需要先求出直线与两坐 标轴围成的直角三角形的三边长. 7. 如图 28120，圆锥的母线长为 11 cm，侧面积为55 cm 2，设圆锥的母线与高的 夹角为 ，则 cos 的值为 _ 图 28 120 解题突破 在圆锥中求角的余弦值时，通常关注由母线、圆锥的高、 底面圆的半径所组成的直角 三角形 . 命题点 2 余弦函数的简单应用热度： 95% 8如图 28121，在ABC中，C90°，AC8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于 点D，连接BD，若 cosBDC3 5，则 BC的长是 ( ) 图 28 121 A4 cm B 6 cm C 8 cm D 10 cm 9在 RtABC中，C90°，AB15，cosB 3 5，则 BC_ 命题点 3 求正切函数值 热度： 98% 102017·兰州如图28122，一个斜坡长130 m，坡顶离水平地面的距离为50 m， 那么这个斜坡与水平地面的夹角的正切值等于( ) 图 28 122 A. 5 13 B. 12 13 C. 5 12 D. 13 12 11如图 28123，已知O的半径为5 cm，弦AB的长为 8 cm，P是AB延长线上一 点，BP2 cm，则 tan OPA的值为 ( ) 图 28 123 A. 3 2 B. 2 3 C 2 D. 1 2 12. 如图 281 24，直角三角形纸片的两直角边 AC与BC之比为 3 4. (1) 将ABC按图所示的方式折叠，使点C落在AB边上的点M处，折痕为BD； (2) 再将ABD按图所示的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF. 则 tan DEA的值为 ( ) 图 28 124 A. 3 4 B. 4 3 C. 19 25 D. 4 5 解题突破 折叠可以在保持角的度数不变的条件下，将角的位置进行转移 DEA的正切值与CBA的正切值相等吗？ 13如图 281 25，点P(12 ，a) 在反比例函数y60 x 的图象上，PHx轴于点H，则 tan POH的值为 _ 图 28 125 14 已知正方形 ABCD的边长为2，P是直线CD上一点，若DP1，则 tan BPC的值 是_ 易错警示 不要把点P在直线CD上理解为点P在线段CD上，否则会导致漏解. 15 如图 28126 是我国汉代数学家赵爽在注解 周髀算经 时给出的 “赵爽弦图” ， 图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的 13 倍， 那么 tan ADE的值为 _ 图 28 126 解题突破 若设小正方形EFGH的边长是a，则大正方形ABCD的面积如何表示？图中直角三角形 的边长也能用a表示吗？ 16. 阅读理解题：利用 45°角的正切，求tan22.5 °的值，方法如下： 解：构造RtABC，其中C90°，ABC45°，如图28127. 延长CB到点D， 使BDAB，连接AD，则D1 2 ABC22.5°. 设ACa，则BCa，ABBD2a.又CD BCBD(1 2)a，tan22.5 ° tanD AC CD a （12）a 21. 请你仿照此法求tan15°的值 图 28 127 模型建立 若已知一个锐角的正切值，利用阅读理解的方法，可以求这个角的一半的正切值. 命题点 4 正切函数的简单应用热度： 95% 17如图 281 28，在边长为12 的正方形ACBE中，D是边AC上一点，若tan DBA 1 5，则 AD的长为 ( ) 图 28 128 A4 B 2 3 C 2 2 D 2 18. ? 如图 281 29，在 Rt BAD中，延长斜边BD到点C，使CD1 2BD ，连接AC，若 tanB 5 3，则 tan CAD的值为 ( ) 图 28 129 A. 3 3 B. 3 5 C. 1 3 D. 1 5 解题突破 ? 思维一：构造以CAD为一锐角的直角三角形求解； 思维二：将CAD转移到某个直角三角形中，通过求与其相等的角的正切值得解. 19如图 28 130，在 RtABC中，C90°，边AB的垂直平分线分别交边BC，AB 于点D，E. 如果BC8，tanA 4 3，那么 BD_ 图 28 130 命题点 5 锐角三角函数的综合应用 热度： 95% 20在 RtABC中，C90°， sinAsinB34，则 tanA的值是 ( ) A. 3 4 B. 4 3 C. 3 5 D. 4 5 21 ? 如图 28131，在 Rt ABO中，斜边AB1. 若OCBA，AOC36°， 则( ) 图 28 131 A点B到AO的距离为 sin54 ° B点B到AO的距离为 tan36° C点A到OC的距离为 sin36 °·sin54 ° D点A到OC的距离为 cos36°·sin54 ° 解题突破 ? 点B到AO的距离是线段BO的长，过点A作ADOC于点D，则AD的长就是点A到OC 的距离 22在ABC中，C90°， sinB 5 13，则 cos B_ 23 如图 28132，在ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线， C45°， sinB 1 3， AD1. (1) 求BC的长； (2) 求 tan DAE的值 图 28 132 24. ? 已知：如图28133，CAOA，E，F是AC上的两点，AOFAOE. (1) 求证： tan AOF tan AOE； (2) 锐角的正切函数值随角度的增大而_ 图 28 133 模型建立 ? 锐角的正切函数值随角度的增大而增大. 25 ? 在如图28 134 所示的直角三角形中，我们知道sin a c，cos b c，tan a b， sin 2 cos2a 2 c 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 21. 即一个角的正弦和余弦的平方和为1. (1) 请你根据上面的探索过程，探究sin ，cos 与 tan 之间的关系； (2) 请你利用上面探究的结论解答下列问题：已知 为锐角，且tan 1 2，求 sin 2cos 2sin cos 的值 图 28 134 模型建立 ? 由本题可得到同角正弦、余弦的数量关系，以及同角正弦、余弦与正切之间的关系 (1)sin 2A cos 2A 1； (2)tanA sinA cosA . 详解详析 1A 2.B 3D 解析 由勾股定理得OA3 2425， 所以 cos 4 5. 故选 D. 4D 解析 连接BD，如图 由勾股定理得 AB1 232 10， AD2 2222 2，BD1 212 2， AB 2 AD 2 BD 2， ADB90°， cosA AD AB 2 2 10 2 5 5 . 故选 D. 5D 解析 连接CE，则其必过A点，由同弧所对的圆周角相等可得ECOOBE， 所以 cosOBE cosECO OC CE OC. 6A 解析 当x0 时，y3，当y0 时，x 4， 直线y3 4x3 与 x轴，y轴的交点坐标分别为A(4，0) ，B(0 ，3) ，OA4，OB 3. 由勾股定理，得AB5，则 cosBAO OA AB 4 5. 7. 4 6 11 解析 设圆锥的底面圆的半径为r，依题意得2r×1 2× 1155，解得 r 5， 则圆锥的高为11 2524 6，所以 cos 4 6 11 . 8A 解析 因为 cosBDC 3 5 CD BD ，所以CD 3 5BD . 又因为MN垂直平分AB，所以BD AD，所以 3 5BD BDAC 8 cm，所以BD5 cm，CD 3 cm，所以BC4 cm. 99 解析 由题意得cosB 3 5 BC AB . 又因为AB15，所以BC9. 10C 解析 在直角三角形中，根据勾股定理可知水平的直角边长为120 m ，正切值 为对边比邻边，故斜坡与水平地面的夹角的正切值 50 120 5 12. 故选 C. 11D 解析 过点O作OCAB于点C. 因为AB8 cm，所以ACBC4 cm. 因为OA 5 cm，所以OC3 cm. 又因为BCBPCP6 cm，所以 tan OPA OC CP 1 2. 12A 解析 由折叠可得EBDEDB，BDCBDM. 因为BDMEBD90°， 所以BDCEDB90°，即EDC90°，所以DEBC，所以DEAABC，所以 tan DEAtan ABC AC BC 3 4. 13. 5 12 解析 点P(12 ，a) 在反比例函数y60 x 的图象上，a 60 125. PHx轴 于点H， PH5，OH12， tan POH 5 12. 142 或 2 3 解析 此题有两种情况：当点P在边CD上时， BC2，DP1，C90°，CP 1， tan BPC BC CP 2； 当点P在边CD的延长线上时， DP1，DC2，CP3. 又BC2，C90°， tan BPC BC CP 2 3. tan BPC的值是 2 或 2 3. 15. 2 3 解析 设小正方形EFGH的边长是a，则小正方形EFGH的面积是a 2，大正方形 ABCD的面积是13a 2. 图中的四个直角三角形是全等的， AEDH， 设AEDHx，在 RtAED中，AD 2AE2 DE 2，即 13a2 x 2( xa) 2， 解得x12a，x2 3a( 舍去 )， AE2a，DE3a， tan ADE AE DE 2a 3a 2 3. 16解：构造RtABC，其中C90°，ABC30°，如图，延长CB到点D，使BD AB，连接AD，则D 1 2 ABC15°，设ACa，则由构造的三角形得：AB 2a，BC3 a，BD2a，则CD2a3a(2 3)a，tan15° tanDAC CD a （23）a 23. 17A 解析 过点D作DFAB于点F，由CAB45°，得DFAF. 又 tan DBA 1 5 DF BF ，所以 6AFAB12 2，所以AF2 2，所以AD2AF4. 18D 解析 如图，过点C作CEAD，交AD的延长线于点E. tanB 5 3，即 AD AB 5 3， 设AD5x(x0) ，则AB3x. CDEBDA，CEDBAD， CDEBDA， CE AB DE AD DC BD 1 2， CE3 2x， DE5 2x， AE15 2 x， tan CAD CE AE 1 5. 19. 25 4 解析 在 RtABC中，C90°，BC 8，tanA4 3， AC BC tanA 8 4 3 6， ABAC 2 BC 210，cos B BC AB 4 5. 边 AB的垂直平分线交边AB于点E，BE1 2AB 5. 在 RtBDE中，BED90°， cosB BE BD 4 5， BD 5BE 4 25 4 . 20A 21C 解析 ABOC， BAOAOC36°. 在 RtBOA中，BOA90°，AB 1，sin36 ° BO AB ， BOABsin36 °sin36 °， 故选项 A，B均错误； 如图，作ADOC，垂足为D. BAO36°，AOB90°，ABO54°. 在 RtAOD中， sin AODsin36 ° AD AO ， ADAO·sin36 °. 在 RtABO中， sin ABOsin54 ° AO AB ， AOAB·sin54 °， ADAB·sin54 °·sin36 °sin54 °·sin36 °，故选项 C正确， 选项 D错误 故选 C. 22. 12 13 23解： (1) 在ABC中，AD是BC边上的高， ADBADC90°. 在ADC中，ADC90°，C45°，AD1， DCAD1. 在ADB中，ADB90°， sinB 1 3， AD1， AB AD sinB 3， BDAB 2 AD 22 2， BCBDDC2 21. (2) AE是BC边上的中线， CE1 2BC 2 1 2， DECECD2 1 2， tan DAE DE AD 21 2. 24解： (1) 证明：CAOA， FOA和EOA均为直角三角形， tan AOF AF OA ，tan AOE AE OA . AFAE， tan AOFtan AOE. (2) 由(1) 可知锐角的正切函数值随角度的增大而增大故填“增大” 25解： (1) sin a c，cos b c， tan a b， sin cos a c b c a btan ，即 tan sin cos . (2) tan 1 2， sin cos 1 2， 2sin cos， sin 2cos 2sin cos sin 4sin 2sin 2sin 3sin 4sin 3 4. 【关键问答】 在直角三角形中，一个锐角的余弦是这个角的邻边与斜边的比 在直角三角形中，一个锐角的正切是这个角的对边与邻边的比