湖北省武汉市第二中学2016_2017学年高二数学上学期期末考试试题理.pdf

- 1 - 教学课件 武汉二中 20162017 学年度上学期期末考试 高二数学试卷 试卷满分： 150 分 一、选择题（每小题5 分，共 60 分） 1在武汉二中选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30 名，高二年级有40 名. 现用分层抽样的方 法在这 70 名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6 名，则在高二年级的学生中 应抽取的人数为（） A、6 B、8 C、10 D、12 2已知, ,a b cR，命题“若3abc，则 222 3abc”的否命题是( ) A、若3abc，则 222 3abc B、若3abc，则 222 3abc C、若3abc，则 222 3abc D、若 222 3abc，则3abc 3设( )f x是区间 , a b上的函数，如果对任意满足axyb的,x y都有( )()f xfy，则称 ( )f x是 , a b上的升函数，则( )f x是 , a b上的非升函数应满足（） 。 A、存在满足xy的, , x ya b使得( )( )fxfy B、不存在, , x ya b满足xy且( )( )f xf y C、对任意满足xy的, , x ya b都有( )( )f xfy D、存在满足xy的, , x ya b都有( )( )fxf y 4阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（） A、3 B、 4 C、5 D、6 5已知集合,A B C满足, , ABa b c，则满足条件的组合 ( ,)A B共有（）组。 A 、 4 B、 8 C、9 D、27 6设nml,表示三条不同的直线，,表示三个不同的平面，给出下列四个命题：若 - 2 - mlml,，则；若m，n是 l 在内的射影，nm，则lm；若 ,，则/其中真命题的个数为（） A、0 B、1 C、2 D、3 7“2a”是“直线(2)310axay与直线(2)(2)30axay相互垂直”的 （）条件。 A、充要 B、充分非必要 C、必要非充分 D、既非充分也非必要 8已知ABC中， 0 90C，2ABAC，在斜边AB上任取一点P，则满足 0 30ACP的概 率为（） A、 1 2 B、 1 3 C、 1 4 D、 1 5 9如图，一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的线条爬行到点C， 再由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B，则 它可以爬行的不同的最短路径有（）条。 A、40 B、60 C、80 D、120 10已知椭圆 2 2 1 4 y x和点 1 1 , 2 2 A 、 1 ,1 2 B ，若椭圆的某弦的中点在线段AB上，且此弦所 在直线的斜率为k，则k的取值范围为( ) 。 A、 4,2 B、 2, 1 C、 4, 1 D、 1 1, 2 11如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是边长为4 的正三角形， 底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD 内的一个动点，且满足0MP MC，则点M到直线AB的最短距 离为 ( )。 A、5 B、45 C、35 D、42 2 12已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为2，过右焦点F作直线交该双曲线于A、B两 点，P为x轴上一点，且| |PAPB，若| 8AB，则|FP（） 。 A、2 B、 4 C、8 D、16 二、填空题（每小题5 分 ，共 20 分） - 3 - 13将 4034 与 10085 的最大公约数化成五进制数，结果为。 14我校篮球队曾多次获得全国中学生篮球赛冠军！在一次比赛中，需把包括我校篮球队在内的7 个篮球队随机地分成两个小组（一组3 个队，一组4 个队）进行小组预赛，则我校篮球队和另6 个队中实力最强的队分在同一小组的概率为。 15 在 四 棱 柱 1111 ABCDABC D中 ， 底 面ABCD为 矩 形 ， 1 3,1,2ABADAA， 且 0 11 60BAADAA。则异面直线AC与 1 BD所成角的余弦值为。 16如图，,A B为抛物线 2 4yx上的两点，F为抛物线的焦点 且FAFB，C为直线AB上一点且横坐标为1，连结 FC。若| 3|BFAF，则tanC。 三、解答题（第17 题 10 分，其余每题12 分，共计 70 分） 17用数字0、2、3、4、6 按下列要求组数、计算： （1）能组成多少个没有重复数字的三位数？ （2）可以组成多少个可以被3 整除的没有重复数字的三位数？ （3）求2346即 144 的所有正约数的和。 （注：每小题结果都写成数据形式） 18已知命题p：不等式 2 80xax对任意实数2, 4x恒成立；命题q：存在实数满足 4 sin2 1a ；命题r：不等式 2 210axx有解。 （1）若pq为真命题，求a的取值 范围（2）若命题p、qr恰有两个是真命题，求实数a的取值范围。 19水是万物之本、生命之源，节约用水，从我做起。我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为 了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解 居民用水情况，通过抽样，获得了某年100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按 照 0,0.5)，0.5,1)， 4,4.5)分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图。（1）求直 方图中a的值；（ 2）设该市有30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3 吨的人数，并 说明理由； （3）若该市政府希望使85% 的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值， - 4 - 并说明理由 . 20如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD， 1AB ， 2AD ，5ACCD.（ 1）求证： PDPB； （2）求直线PB与平面PCD所成 角的正弦值； （3）在棱PA上是否存在点M，使得/ /BM平面PCD？若存在，求 AM AP 的值； 若不存在，说明理由。 D P A B C 21甲乙两人下棋比赛，规定谁比对方先多胜两局谁就获胜，比赛立即结束；若比赛进行完6 局还 没有分出胜负则判第一局获胜者为最终获胜且结束比赛。比赛过程中，每局比赛甲获胜的概率为 2 3 ，乙获胜的概率为 1 3 ，每局 比赛相互独立。求： （1）比赛两局就结束且甲获胜的概率；（2）恰 好比赛四局结束的概率；（ 3）在整个比赛过程中，甲获胜的概率。 - 5 - 22 已知椭圆C： 22 22 1 xy ab （0ab）的离心率为 3 2 ，( ,0)A a，(0,)Bb，(0,0)O，OAB 的面积为1。 （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率为2 的直线与椭圆交于P、Q两点OPOQ，求 直线l的方程；（3）在x上是否存在一点E使得过E的任一直线与椭圆若有两个交点M、N则 都有 22 11 |EMEN 为定值？若存在，求出点E的坐标及相应的定值。 - 6 - 武汉二中20162017 学年度上学期期末考试 高二数学参考答案 一、选择题 二、填空题 13 、 (5) 31032 14、 3 7 15、 2 5 16、 1 2 三、解答题 17、解： （1）百位数子只能是2、3、4、6 中之一，百位数字确定后，十位和个位 数字的组成共有 2 4 A种方法，所以可以组成没有重复数字的三位数共有 12 144 48NC A个3分 （2）由题意，能被3整除的且没有重复数字的三位数只能是由2、4、0 或 2、4、 3 或 2、 4、 6 或 0、3、6 组成。共有 12312 222322 220NC AAC A个7分 （3） 42 14423， 144的所有正约数的和为 2342 3 (1 2222 )(1 33 )403N10 分 18、解： （1）若命题p为真命题，则 8 ax x 对任意实数2, 4x恒成立 min 8 2ax x ，即2a。3 分 若命题q为真命题，则 max 4 sin21 1a ， 43 1031 11 a a aa 又pq为真命题，32a6 分 即a的取值范围为 3, 2)7 分 （2）若不等式 2 210axx有解，则 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案B A A B D C B C B A C C - 7 - 当0a时，显然有解；当0a时， 2 210axx有解； 当0a时， 2 210axx有解， 440a， 10a， 不等式 2 210axx有解等价于1a，10 分 若命题p、qr恰有两个是真命题，则必有32a或11a 即a的取值范围为 3, 2)( 1,1)。12 分 19、解：（ 1）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1 频率 =( 频率 / 组距 ) 组距 0.50.080.160.40.520.120.080.0421a 0.3a4分 （2）由图，不低于3吨人数所占百分比为 0.50.120.080.04 =12% 全市月均用水量不低于3吨的人数为：3012%=3.6 ( 万) 8分 （3）由图可知，月均用水量小于2.5 吨的居民人数所占百分比为： 0.50.080.160.30.40.520.73 即 73% 的居民月均用水量小于2.5 吨, 同理， 88% 的居民月均用水量小于3吨，故 2.53x 假设月均用水量平均分布，则 85%73% 2.50.52.9 88%73% x （吨） . 注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差。12分 20、 （1）证明：面PAD面ABCDAD，ABAD， AB面PADPDAB 又PDPAPD面PABPDPB3 分 （2）取AD中点为O，连结CO，PO， 5CDACCOADPAPDPOAD 以O为原点，如图建系，易知(0,0,1)P，(1,1,0)B，(0,1,0)D，(2,0,0)C， 则 (1 ,1, 1)PB ， (0, 1, 1)PD ， (2,0, 1)PC ， ( 2, 1,0)CD 。 设 00 (,1)nxy为面 PDC 的法向量，则 - 8 - 0 1 , 1,1 2 0 n PD n n PC ，则PB与面PCD夹角有 1 1 1 3 2 sincos, 31 1 13 4 n PB n PB n PB 7 分 （3）假设存在M点使得/ /BM面PCD，设 AM AP ，0,', 'My z，由（ 2）知0,1,0A， 0,0,1P，0,1,1AP，1,1,0B，0,' 1, 'AMyz， 0,1,AMAPM，1,BM / /BM面PCD，n为PCD的法向量，0BM n 即 1 0 2 1 = 4 综上所述，存在M点，即当 1 4 AM AP 时，M点即为所求。12 分 21、解： （1）由题意可知比赛两局就结束且甲获胜必须第一、第二局比赛都是甲获胜，概率为 224 339 P；3 分 （2）由题意知前两局比赛为平手，第三、第四局比赛为同一个人胜，其概率为 22 1 2 212120 333381 PC ；7 分 （ 3）由题意知在整个比赛过程中第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四比赛两人也为平手， 第五、第六局都为甲获胜，或者在第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四局比赛两人 也为平手，第五、第六局比赛为平手但第一局是甲获胜。其概率为 22 2 11 22 212212132 3333333243 PCC 。12 分 - 9 - 22、解： （1）由已知， 3 1 ,1 22 c ab a ，又 222 abc，解得2,1,3abc， 椭圆的方程为 2 2 1 4 x y。3 分 （2）设直线l的方程为2yxt，则由 2 2 1 4 2 x y yxt 可得 2 2 2 2 4 xyx y t ， 即 2 22 (44)16(16)0 yy tt xx OPOQ 2 2 2 16 142 44 t tt t 直线l的方程为22yx即220xy。7 分 （3）设(,0)E m、 11 (,)M x y、 22 (,)N xy，当直线n不为x轴时的方程为xtym， 联立椭圆方程得： 2 2 1 4 xtym x y 222 (4)2(4)0tytmym 2 1212 22 24 , 44 tmm yyy y tt 8分 2 1212 222222222 1212 ()211111 |(1)(1)(1) yyy y EAEBtytyty y 222 222 1(328)(28) 1(4) mmt tm 10 分 当且仅当 22 32828mm即 2 15 5 m时 22 11 5 |EAEB （定值）。 即在x轴上存在点E使得 22 11 |EAEB 为定值5，点E的坐标为 2 15 ,0 3 或 2 15 ,0 3 。经检验，当直线AB为x轴时上面求出的点E也符合题意。 12 分 （也可以通过特殊情形猜出定点坐标和定值然后再证明结论）