新北师大版八年级下第一章三角形的证明全章学案..pdf

§1.1 你能证明它们吗？（ 1） 学习目标： 1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。 2、经历“探索发现猜想证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关 性质定理。 学习重点：了解所学公理的内容，通过等腰三角形性质证明，掌握证明的基本步骤和书写格 式。 学习难点：证明等腰三角形性质时辅助线做法。 一、学前导读 1列举我们已知道的公理： （1）公理：同位角，两直线平行。 （2）公理：两直线，同位角。 （3）公理：的两个三角形全等。 （简称，字母表 示） （4） 公理：的两个三角形全等。（简称，字母表 示） （5）公理：的两个三角形全等。 （简称，字母表 示） （6）公理：全等三角形的对应边，对应角。 2什么叫做等腰三角形？ 二、课堂导学 1、自学感知 三角形全等的判定 判定一般的三角形全等还有一种方法是什么？ 推论: （简写为） 等腰三角形的性质定理 等腰三角形性质：等腰三角形的两个相等（简称：等对等） 2、合作探究 探索一：已知：在 ABC 和DEF 中， A=D，B=E，AC=DF 求证: ABCDEF 证明: 探索二：已知：如图，在ABC中，AB AC ，求证： BC A B C F E D A B C 由此得到定理 : , 简述为: 探索三：在上图中，若取BC的中点 D，并连接 AD ，那么线段 AD是 BC边上的中线外还具有怎 样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？ 推论: 简述为 归纳： 1、在等腰 ABC 中，若 AD是A 的平分线，则 2、在等腰 ABC 中，若 AD是 BC 边上的高，则 3、在等腰 ABC 中，若 AD是 BC 边上的中线，则 三、反思感悟 学而不思则罔，本节课我的反思： 四、知识反馈 1、 如图 1，若 ADC ABE，则 AD = AB ，DC = ；D = ；= BAE ； 2、如果等腰三角形有一个角等于50°，那么另两个角为 3、如图，在 ABD 中，C 是 BD 上的一点，且 ACBD，AC=BC=CD. (1) 求证: ABD 是等腰三角形 (2) 求BAD 的度数 4、如图， ABC 中，ABAC，ABC 和ACB 的角平分线 BD、CE 相交于点 O，求证： OBCOCB A B C D A B C E D O §1.1 你能证明它们吗？（ 2） 学习目标：学会证明等腰三角形中有关相等的线段及等角对等边，并体会反证法的含义。 学习重点：会证明等腰三角形的判定定理，即：“等角对等边”。 学习难点：区别等腰三角形性质定理和判定定理的证明。 一、学前导读 在等腰三角形中画出一些线段（角平分线、中线、高），你能发现其中一些相等的线段吗？ 二、课堂导学 1、自学感知 阅读课本第 6 页例 1 的证明 等腰三角形两底角的平分线 等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是三角形 2、合作探究 探索一：等腰三角形两底角的平分线相等吗？ 1已知：如图，在 ABC中，AB AC ，BD ，CE是ABC 的角平分线 求证：BD CE 。 得出定理：。 问题：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它们，并与 同伴交流。 结论： 2、议一议 在上图中 (1) 如果 ABD= 3 1 ABC,ACE= 3 1 ACB ，那么 BD=CE 吗？如果 ABD= 4 1 ABC, ACE= 4 1 ACB呢？由此你能得到一个什么结论? (2) 如果 AD= 2 1 AC,AE= 2 1 AB ， 那么 BD=CE 吗？如果 AD= 3 1 AC,AE= 3 1 AB呢？ 由此你能得到一个什 么结论 ? 你能证明得到的结论吗？ 探索二：我们知道等腰三角形的两个底角相等，反过来此命题成立吗？由此得到什么结论？ 证明：等腰三角形判定定理: 有两个相等的三角形是等腰三角形（简称：等对 等） 已知：在 ABC中， BC ，证明 :ABAC ， A E D B C 1 2 A B C 探索三：证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等。 ACABCB，ABC：:,求证中在已知 ACAB CB B ACAB 相矛盾已知又 假设证明 )( : （以上的证明过程用了反证法） 反证法的一般步骤： 1 、假设不成立； 2、由假设推出； 3、错误，原命题正确。 三、反思感悟 1证明等腰三角形两底角的平分线相等及判定定理的推导，一般的思路是什么？ 2反证法是一种比较重要的证明方法，什么命题的证明比较适合用反证法？ 四、知识反馈 1、已知：如图， CAE 是ABC 的外角， AD/BC, 且1=2 求证： AB=AC 2、证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60° 3、如图， DE BC ，CG =GB ， 1=2，求证： DGE 是等腰三角形 . §1.1 你能证明它们吗？（ 3） 学习目标：学会等边三角形判定定理的证明；掌握直角三角形中，30°角所对的直角边与斜 边的关系。 学习重点：等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。 学习难点：能够用综合法证明等边三角形的判定定理。 一、学前导读 1、已知 ABC中，AB=AC=5cm，请增加一个条件使它变为等边三角形。 你增加的条件是 2、利用刻度尺测量一下含30 0 角的三角板的斜边和较短的直角边，与同伴比较结果，交流其 关系。 二、课堂导学 1、自学感知 等边三角形的判定定理 有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 30 0 角所对的直角边与斜边关系定理 在直角三角形中，如果一个锐角是30 0，那么它所对的直角边等于 2、合作探究 探索一：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 （1）思考等腰三角形成为等边三角形的条件( 从边和角两个角度考虑 ) （2）分类讨论上述定理中当这个角分别是底角和顶角的情况 （3）得出证明过程 探索二：含 30 0 角的直角三角形的性质 用两个含 30 0 角的三角板，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的 理由。根据操作， 思考：在直角三角形中， 30 0角所对直角边与斜边有什么关系？并试着证明。 如图，在 ABC中， ACB 90°， A30°，则 B60° 延长 BC至 D，使 CD=BC ，连接 AD 定理: 在直角三角形中 , 如果一个锐角等于30 o, 那么 （1） （2） BC A B C A D 图 1-7 例题 等腰三角形的底角为15°，腰长为 2a，求腰上的高 如图： ABC中，AB AC 2a，ABC ACB 15°，CD是腰 AB上的高 求 CD的长 三、反思感悟 1本节重点探索了哪两个定理？ 2等边三角形与直角三角形关系密切，注意两者之间的转化？ 四、知识反馈 1、 证明: 三个角都相等的三角形是等边三角形 2、直角三角形的一个角等于30 o, 斜边长为 4, 用四个这样的直角三角形拼成如图所示 , 求正 方形 EFGH 的边长. 3如图所示， ABC中， ACB=90 °，CD AB ，垂足是 D ，A=60°. 求证： BD=3AD §1.2 直角三角形（ 1） 学习目标：进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。 学习重点：了解勾股定理及其逆定理的证明方法。 学习难点：结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命 题不一定成立。 一、学前导读 1、勾股定理的内容是： _ _ 它的条件是： _ 结论是： _ 2 、 每 个 命 题 都 是 由，两 部 分 组 成 。 命 题 “ 对 顶 角 相 等 ” 的 条 件 是，结论是 二、课堂导学 1、自学感知 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于，那么这个三角形是直角三角形。 互逆命题 在两个命题中 , 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_和_， 那么这两 个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定 理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。 2、合作探究 探索一：证明定理：如果三角形两边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角 三角形。 条件： 结论： 已知： （如图）在 ABC中，AB 2+AC2=BC2. 求证： ABC是直角三角形。 证明： (1) （2） 练习： 1.如果一个三角形的三边分别是6、10、8，则这个三角形是三角形 2. 如图， BADA 于 A，AD = 12，DC = 9，CA = 15，求证： BADC A B C A1B2 C1 D C B A 12 9 15 探索二： 1. 观察下列三组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？ 如果两个角是对顶角，那么它们相等。 如果两个角相等，那么它们是对顶角。 如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。 三角形中相等的边所对的角相等。 三角形中相等的角所对的边相等。 在这几组的两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_和 _，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题 注意： 互逆命题是相对两个命题而言的，单独一个命题称不上互逆命题。 一个命题是真，它的逆命题可能是真，可能是假。 练习：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。 （1）. 四边形是多边形 （2） 、等边对等角； （3） 、平行四边形的两组对边相等； 2. 互逆定理 一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆 定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。 练习：找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它找出来。 （1）内错角相等，两直线平行 （2）全等三角形对应角相等 (3 ）对顶角相等 三、反思感悟 1. 运用勾股定理及其逆定理应注意什么? 2. 写一个命题的逆命题应注意什么? 四、知识反馈 写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： A：两直线平行，同位角相等。 B：如果 ab=0，那么 a=0，b=0。 2、命题：等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是_ 3、若一个直角三角形两直角边之比为3：4，斜边长 20cm ，则两直角边为 _ _ 4、已知直角三角形两直角边长分别为6 和 8，则斜边长为 _，斜边上的高为 _ _ 、在 ABC 中，已知 AB=13cm，BC=10cm, BC 边上的中线 AD=12cm 求证： AB=AC 21 E F A B C D §1.2 直角三角形（ 2） 学习目标：运用直角三角形的全等判定定理和其它相关知识的证明角平分线的性质和判定。 学习重点：直角三角形全等的判定定理（HL） 。 学习难点：直角三角形的全等判定定理和其它相关知识的证明应用。 一、学前导读 在一般三角形中，我们已学过了哪些证明三角形全等的方法： 那么在直角三角形中还多了一种方法是： 二、课堂导学 1、自学感知 斜边, 直角边 (HL)定理 斜边和一条直角边的两个直角三角形全等 证明的基本思路 : 由勾股定理得出另一条直角边相等, 再根据公理判定全等即可 阅读课本做一做 : 用三角尺作角平分线，并思考证明方法。 2、合作探究 探索：如图：已知 ACB=BDA=90° 。 要使 ACB BDA ，还需要什么条件？把他们分别 写出来，并说明理由。 例题 1：在 RtABC中， C = 90 °，且 DE AB ，CD = ED ，求证： AD是BAC的角平分线 例题 2：如图， AD是BAC的角平分线， DE AB ，DF AC ， AB = AC， 求证： EB = FC A B C D E D A BC 三、反思感悟 判定两个直角三角形应注意什么？ 四、知识反馈 1、判断下列命题的真假，并说明理由 （1） 、两个锐角对应相等的两个直角三角形全等; （2） 、斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; （3） 、两直角边对应相等的两个直角三角形全等; （4） 、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等. 证明（ 4） 已知： 求证： 2、如图， B =E = 90 °， AC = DF，BF = EC。求证： BA = ED 3、如图， ACB = ADB = 90°，AC = AD，E是 AB上的一点。求证： CE = DE C B A D E F C BA D E A B C P M N §1.3 线段的垂直平分线（ 1） 学习目标：能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理，能够用尺规作已知线段的垂直 平分线。 学习重点：能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理。 学习难点：线段垂直平分线的性质定理、判定定理的区别及应用。 一、学前导读 什么是线段的垂直平分线？如何画出线段的垂直平分线？ 二、课堂导学 1、自学感知 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 线段垂直平分线的判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 2、合作探究 探索一：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 已知：直线 MN AB ，垂足是 C，且 AC=BC ，点 P上 MN 上的任意一点。 求证： PA=PB 证明： 探索二：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 已知：如图：已知PA=PB 求证：点 P在线段 AB的垂直平分线上。 证明：过 P作 PC AB ，垂足为 C， = = （垂直的定义） 又 = （已知） 、 = （公共边） Rt（HL ） = （） 即 PC平分 _ 做一做：用尺规作出已知线段AB 的垂直平分线 CD （求作完毕后，你能说明其中的道理吗？） P A C B A B l A B 仓库 仓库 例、如图，已知直线AB是线段 CD的垂直平分线， E是 AB上的一点， 1 如果 EC=10cm, 那么 ED= cm 。 2 如果 ECD=60 °，那么 EDC= 。 3 如果 CED=60 °，并且 CD=10cm ，则 EC= cm。 三、反思感悟 1应用线段垂直平分线的性质定理和判定定理应注意什么？ 2用尺规作线段垂直平分线的依据是什么？ 四、知识反馈 1、如右图，两个仓库A、B 位于河岸的同侧，为了出口方便，他们想在河岸边上建造一个码 头，使这个码头到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？请画出符合条件的食品加 工厂的位置。 2如图， DE是ABC 的 AB边的垂直平分线，分别交AB 、BC于 D、E， AE平分 BAC ，若 B=30 0，求 C的度数。 3 如图，在 ABC中，AB的垂直平分线 MN 交 AB于 D点，交 AC于 E点，且 AC=15cm ， BCE的周长等于 25cm ，1 求 BC的长？ 2 若A=36°，并且 AB=AC ，求证： BC=BE E C D BA F C A E N M B D 河岸 §1.3 线段的垂直平分线（ 2） 学习目标： 1、能够证明线段的垂直平分线相交于一点这一定理。 2、已知底边及底边上的高，能够利用直尺和圆规作出等腰三角形。 学习重点：能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和满足条件的等腰三角形。 学习难点：理解三线共点的证明方法。 一、学前导读 1等腰三角形的顶点一定在上。 2已知线段 AB ，请你用尺规作出它的垂直平分线。 A B 二、课堂导学 1、自学感知 利用尺规作三角形三边的垂直平分线。 已知： ABC （如右图）。 求作：线段 AB 、BC 、AC的垂直平分线。 你从图中发现了什么？ 2、合作探究 探索一：证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离 相等。 已知：如右图，在 ABC中，分别作 AB边、BC边的垂直平分线， 两线相交于点 P，分别交 AB边、BC边于点 E、F。 求证： AB 、BC 、AC的垂直平分线相交于点P 证明：点 P是 AB边垂直平线上的一点， = （） 同理可得， PB= = （等量代换） （到一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段 的） AB 、BC 、AC的垂直平分线。 探究二： 一、思考： 1、 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能， 能作几个？ 所作的三角形都全等吗？ 2、已知等腰三角形底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？ CB A E F B A C P 二、做一做 ：已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。 已知：线段 a、h 求作： ABC ，使 AB=AC ，且 BC=a ，高 AD=h. 三、反思感悟 1应用三角形三边垂直平分线定理应注意什么？ 2已知等腰三角形的底边及底边的高，作等腰三角形的关键是什么？ 四、知识反馈 1、如右图，在 ABC中 AB边、AC边的垂直平分线分别 交 BC边于点 D、E，并且 BC=15cm 。则 ADE 的周长为 2、如图，在 ABC中，AB=AC ，O是ABC内一点，且 OB=OC，求证： AO BC 。 3、如图，在 ABC中，AB=AC ，A=120 °，AB的垂直平分线 MN分别交 BC 、AB于点 M 、N。 求证： CM=2BM. B C D A E O C B 1 A 2 P D E O C B 1 A 2 P D E §1.4 角平分线（ 1） 学习目标：通过学习角平分线定理及逆定理的过程，掌握该定理及逆定理，并运用之进行证 明、计算、作图，以及掌握该定理在三角形中的应用。 学习重点：掌握该定理及逆定理，并运用之进行证明、计算、作图，以及掌握该定理在三角 形中的应用。 学习难点：掌握定理在三角形中的应用。 一、学前导读 1角平分线的定义： _ _ 2、什么叫点到直线的距离？ 二、课堂导学 1、自学感知 还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？ 定理：角平分线上的点到 用直尺和圆规作角的平分线（你能说出这样做的依据吗？） 2、合作探究 探索一：证明角平分线定理 已知: 如图,OC是AOB 的平分线 ,P 是 OC 上任意一点 ,PDOA,PE OB,垂足分别是 D, E. 求 证:PD=PE. 探索二： 写出上面定理的逆命题，这个命题是真命题吗？如果是，请证明它 证明定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 已知: 如图,PD=PE, PDOA,PE OB,垂足分别是 D,E. 求证: 点 P在AOB 的平分线上 . O A B 例题讲解： 如图， CD AB ，BE AC ，垂足分别为 D、E，BE 、CD相交于 O ，且 1 =2。 求证： OB = OC 。 三、反思感悟 1角平分线性质定理与判定定理的区别与联系是什么？ 2尺规作角平分线依据是什么？ 四、知识反馈 1. 在 RtABC 中， C=90 °，AD是BAC的平分线，若 BC=16 ，BD=10 ，则 D到 AB的距离是 _2.如图,AD,AE分别是 ABC中A的内角平分线外角平分线, 它们有什么关系 ? 并证明你的 结论。 3. 如图, 一目标在 A区, 到公路 , 铁路距离相等 , 离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的 位置( 比例尺 1:20 000). 4、如图，在 ABC中，BE AC ，AD BC ，AD 、BE相交于点 P，AE = BD。求证： P在ACB 的 角平分线上。 21 O ED A B C P CB A D E §1.4 角平分线（ 2） 学习目标：角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用。 学习重点：三角形三个内角的平分线的性质。 学习难点：角平分线的性质定理和判定定理的综合应用。 一、学前导读 说出角平分线的性质定理及判定定理 二、课堂导学 1、自学感知 画一个三角形，然后用直尺和圆规作出三条角平分线。 观察这三条角平分线有什么性质： 2、合作探究 探索一： 证明定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 已知：如图，设 ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P， 证明： P 点在 BAC的角平分线上 ,且 PD=PE=PF 探索二： 例 1：如图 , ABC 中, 已知 AC=BC, C=90 °,AD 是ABC 的角平分线 ,DEAB,垂足为 E. (1) 如果 CD=4cm, 求 AC的长; (2) 求证:AB=AC+CD. _ D _ M _ E _ F _ N _ C _ B _ A _ P A D B E C 例 2：如图， P是AOB 平分线上的一点， PC OA ，PD OB ，垂足分别为 C、D (1) 求证： OC=OD (2) 说明 OP是 CD的垂直平分线 三、反思感悟 1应用角平分线定理应注意什么？ 2解决与角平分线有关的问题应注意什么？ 四、知识反馈 1. 已知: 如图, C=90 0, B=300,AD 是 RtABC 的角平分线 . 求证:BD=2CD 2. 已知: 如图, ABC的外角 CBD和BCE的角平分线相交于点F. 求证: 点 F在DAE的平分线上 . P D A E C O B 回顾与思考（ 1） 复习目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思 路和方法，尺规作图等 复习重难点：等腰三角形、等边三角形的性质和判定 一、全等三角形的判定方法有哪些? 。 二、等腰三角形的性质： 边；角； 叙述三线合一的内容 练习： 1、已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（） A9 B 12 C 15 D 12或15 2、等腰三角形的一个角是40 度，则它的另两个角是 3（1） 、在等腰 ABC中，若 AD是A的平分线，则 （2） 、在等腰 ABC中，若 AD是 BC边上的高，则 （3） 、在等腰 ABC中，若 AD是 BC边上的中线，则 三、等腰三角形的判定：边 角 练习： 1、ABC中，D,E分别是 AC,AB上的点， BD与 CE交于点 O,给出下列四个条件： EBO= DCO BEO= CDO BE=CD OB=OC 上述四个条件中，哪两个条件可以判定ABC 是等腰三角形（用序号写出）并写出证明 四、判定等边三角形的方法有：边角 练习：已知，如右图，等腰ABC ，AB =AC ： （1）若 AB =BC ，则 ABC 为_三角形； （2）若 A=60°，则 ABC为_三角形； （3）若 B=60°，则 ABC为_三角形. 五、反证法： A B C D 练习：如图，直线c 与直线 a,b 都相交， 12，求证： a 与 b 不平行。 六、逆命题与逆定理： 逆命题：逆定理： 练习：说出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是 七、随堂练习： 1、等腰直角三角形的一个底角的度数是（） A30°B45°C60°D90° 2、如下左图， ABC是等边三角形， AD BC ，DE AB ，垂足分别为 D，E，如果 AB =8 cm，则 BD =_cm ，BDE =（_）°, BE =_cm. 3 如右图，点 A的坐标是 (2,2) ，若点 P在 x 轴上，且 APO 是等腰三角形，则点P的坐标不 可能 是（）A(4，0) B （10） C （-22 ，0） D （2，0） 4、如图，在 ABC中，AB =AC ，BD AC ，CE AB ，O是 BD与 CE的交点，求证： BO =CO . 5、如右图，已知 ABC和BDE都是等边三角形，求证： AE =CD . 回顾与思考（ 2） 1 2 3 4 -1 1 2 x y A 0 a b c 1 2 CB P A 复习目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思 路和方法，尺规作图等 复习重难点：线段垂直平分线的做法，角平分线的做法，利用直角三角形、线段垂直平分线、 角平分线的性质灵活解题 一、直角三角形性质：边角 直角三角形判定：边；角 练习：1 已知直角三角形两直角边长分别为6 和 8， 则斜边长为 _， 斜边上的高为 _ 2、已知：在四边形ABCD中， D = 90 °，DC = 3cm，AD = 4cm，AB = 12cm，BC = 13cm. 求四边形 ABCD 的面积 . 二、特殊的直角三角形性质： 在直角三角形中 , 如果一个锐角等于30 o, 那么 练习：1、RtABC中，C=90 °，CD AB ，垂足为 D ，若A=60°，AB=4 cm ，则 AC=_ ； BC=_ ；CD=_ 。 三、 “HL ”证明两直角三角形全等： 练习： 1、如下图， CD AD ，CB AB ，AB=AD ，求证： CD=CB. 四、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 推理式： （如图） 直线 MN AB ，且 AC=BC P是 MN上的点 练习： 1、如上右图，已知AB是线段 CD的垂直平分线， E是 AB上的一点，如果 EC=7cm ，那 么 ED= cm；如果 ECD=60 °，那么 EDC= . 五、证明一点在线段的垂直平分线上：到线段两个端点的距离相等的 点在这条线段的垂直平分线上 推理式： （如图） PA=PB P点在 AB的垂直平分线上 练习：已知： ABC中，边 AB 、BC的垂直平分线相交于点O 求证：点 P在 AC的垂直平分线上 六、三角形三边的垂直平分线定理： D C B A 13 12 4 3 N A P B C M C A D BE C B A O DCB A O 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 练习：已知： ABC中，AB=AC ，AD是 BC边一上的中线， AB的垂直平分线交AD于 O 求证： OA=OB=OC 七、角平分线性质： 角平分线上的点到角两边的距离相等推理式：点P 在AOB 的平分线 OC上 PD OA ，PE OB 练习： 1、如图， CD AB ，BE AC ，垂足分别为 D 、E，BE 、CD相交于 O ，且1 =2 求证： OB = OC 八、证明点在角平分线上 在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上 推理式： PD上 OA ，PE OB PD=PE 九、三角形的角平分线定理： 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 十、比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边垂直平分线三条角平分线 三角形 锐角三角形交于三角形内一点 交 于 三 角 形 内 一 点 钝角三角形交于三角形外一点 直角三角形交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的 距离相等 到 三 角 形 三 边 的 距离相等 十一、作图： 1、如图，求作一点P，使 PA=PB ，PC=PD 2、如图 , 一目标在 A区, 到公路 , 铁路距离相等。在图上标出它的位置 2 1 E D C P O B A 21 O ED A B C 点 P 在么 AOB 的角平分线上 ·P