第六章点估计教案要点.pdf
教 师 备 课 纸 1 第六章参数估计 在实际问题中 , 当所研究的总体分布类型已知, 但分布中含有一个或多个未知参 数时, 如何根据样本来估计未知参数，这就是参数估计问题. 参数估计问题分为点估计问题与区间估计问题两类. 点估计 就是用某一个函数值作为总体未知参数的估计值； 区间估计 就是对于未知参数给出一个范围， 并且在一定的可靠度下使这个范围包 含未知参数 . 参数估计问题 的一般提法 : 设有一个统计总体, 总体的分布函数为),( xF, 其中为未知参数 (可以是向 量). 现从该总体中随机地抽样, 得一样本 n XXX, 21 , 再依据该样本对参数作出估计 , 或估计参数的某已知函数).(g 第一节 点估计问题概述 一、点估计的概念 设 n XXX, 21 是取自总体X 的一个样本 , n xxx, 21 是相应的一个样本值 . 是 总体分布中的未知参数 , 为估计未知参数, 需构造一个适当的统计量 ),( ? 21n XXX 然后用其观察值 ),( ? 21n xxx 来估计的值. 称),( ? 21n XXX为的估计量 . 称),( ? 21n xxx为的估计值 . 在不致混淆的情况下 , 估计量与估计值统称为 点估计 ,简称为 估计, 并简记为 ?. 注: 估计量),( ? 21n XXX是一个随机变量 , 是样本的函数，即是一个统计量, 对 教 师 备 课 纸 2 不同的样本值 , 的估计值 ?一般是不同的 . 例1 设 X 表示某种型号的电子元件的寿命(以小时计 )，它服从指数分布： .0, 0 0, 1 ),( / x xe xfX x 为未知参数 , 0. 现得样本值为 168, 130, 169, 143, 174, 198, 108, 212, 252, 试估计未知参数. 二、评价估计量的标准 估计量的评价一般有三条标准: 无偏性 ; 有效性 ; 相合性（一致性） . 1无偏性 定义 1设),( ? 1n XX是未知参数的估计量 , 若 ,) ? (E 则称 ?为 的无偏估计量 . 注: 无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求, 其实际意义是指估计量没有系 统偏差，只有随机偏差 . 在科学技术中 , 称 ) ? (E 为用 ?估计 而产生的系统误差 . 定理 1 设 n XX, 1 为取自总体 X 的样本 ,总体 X 的均值为, 方差为 2 .则 (1) 样本均值X是的无偏估计量 ; (2) 样本方差 2 S是 2 的无偏估计量 ; (3) 样本二阶中心矩 n i i XX n 1 2 )( 1 是 2 的有偏估计量 . 2有效性 定义 2设),( ? 111n XX和),( ? 122n XX都是参数的无偏估计量 , 若 教 师 备 课 纸 3 ) ? () ? ( 21 DD, 则称 1 ?较 2 ? 有效 . 注: 在数理统计中常用到最小方差无偏估计, 其定义如下 : 设 n XX, 1是取自总体X 的一个样本 , ),( ? 1n XX是未知参数的一个估计量 , 若 ?满足: (1) ,) ? (E即 ?为 的无偏估计 ; (2) ), ? () ? (E ? 是的任一无偏估计 . 则称 ?为 的最小方差无偏估计 (也称最佳无偏估计 ). 3相合性 (一致性 ) 定义 3 设),( ? 1n XX为未知参数的估计量 , 若 ?依概率收敛于 , 即对任 意0, 有 , 1| ? |lim P n 或 , 0| ? |lim P n 则称 ?为 的(弱)相合估计量 . 例 2 设总体), 0( 2 NX, n xxx, 21 是来自这一总体的样本 . (1) 证明 n i i x n 1 22 1 ?是 2 的无偏估计 ; (2) 求). ?( 2 D 例 3 设 n XXX, 21 为来自总体 X 的样本 , X,), 2, 1(niXi均为总体均值)( XE的 无偏估计量 , 问哪一个估计量有效 ? 例 4 设总体),( 2 NX, n XX, 1 为其样本 . 试证样本方差 2 S是 2 的相合估计量 . 教 师 备 课 纸 4 课堂练习 设总体 X的 k阶矩) 1)(kXE k k 存在, 又设 n XXX, 21 是 X的一个样本 . 试证 明不论总体服从什么分布 , k 阶样本矩 n i k ikX n A 1 1 是 k 阶总体矩 k的无偏估计量 . 课后作业：P137 T 3、4 第二节 点估计的常用方法（ 1） 教 师 备 课 纸 5 一、矩估计法 矩估计法的基本思想 是用样本矩估计总体矩 . 因为由在大数定理知 , 当总体的k 阶矩存在时 ,样本的 k 阶矩依概率收敛于总体的k 阶矩.例如, 可用样本均值X作为总 体均值)( XE的估计量 , 一般地 , 记 总体 k 阶矩);( k k XE 样本 k 阶矩 n i k ik X n A 1 1 ; 总体 k 阶中心矩;)( k k XEXEV 样本 k 阶中心矩.)( 1 1 n i k ik XX n B 用相应的样本矩去估计总体矩的方法就称为矩估计法 . 用矩估计法确定的估计 量称为矩估计量 . 相应的估计值称为据估计值. 矩估计量与矩估计值统称为矩估计. 求矩估计的方法： 设总体X的分布函数),;( 1k xF中含有 k 个未知参数 k , 1 , 则 (1) 求总体X的前 k 阶矩k,1，一般都是这 k 个未知参数的函数 , 记为 kig kii ,2, 1),( 1 （*） (2) 从（*）中解得kjh kjj , 2, 1),( 1 (3) 再用),2, 1(ki i 的估计量 i A分别代替上式中的 i,即可得 ),2,1(ki j 的矩 估计量: ., 2, 1),( ? 1 kjAAh kjj 注： 求, 1k VV类似于上述步骤，最后用 k BB, 1 代替 k VV, 1 ，求出矩估计 j ? ), 2, 1(kI。 例 1 设总体 X 的概率密度为 其它,0 10,) 1( )( xx xf 教 师 备 课 纸 6 其中1a是未知数， n XXX, 21 是取自 X 的样本 , 求参数的矩估计 . 例 2 设总体 X 的均值及方差 2 都存在 , 且有0 2 , 但 2 ,均为未知 , 又设 n XXX, 21 是来自 X 的样本 . 试求 2 ,的矩估计量 . 例 3 设总体 X 的概率分布为 22 )1()1(2 321 k P X 其中为未知参数 .现抽得一个样本, 1,2, 1 321 xxx求的矩估计值 . 课堂练习 设总体 X 在,ba上服从均匀分布，ba,未知. n XXX, 21 是来自 X 的样本 , 试求ba,的矩估计量 . 课后作业：P142 T 2 第三节 置信区间 在区间估计理论中 , 被广泛接受的一种观点是置信区间 , 它由奈曼 (Neymann)于 教 师 备 课 纸 7 1934年提出。 一、置信区间的概念 定义 1 设为总体分布的未知参数 , n XXX, 21是取自总体 X 的一个样本 , 对 给定的数) 10(1, 若存在统计量 ),(),( 2121nn XXXXXX 使得 ,1P 则称随机区间),(为的1双侧置信区间 , 称1为置信度 , 又分别称与为 的双侧置信下限 与双侧置信上限 . 注 : 1. 置信 度1的 含义 : 在 随 机 抽 样中 , 若 重复 抽 样 多次 , 得 到 样 本 n XXX, 21 的多个样本值),( 21n xxx, 对应每个样本值都确定了一个置信区间 ),( , 每个这样的区间要么包含了的真值 , 要么不包含的真值 . 根据伯努利大数 定理, 当抽样次数充分大时, 这些区间中包含的真值的频率接近于置信度(即概率 ) 1, 即在这些区间中包含的真值的区间大约有)%1(100个,不包含的真值的区 间大约有%100个. 例如, 若令95. 01, 重复抽样 100 次, 则其中大约有 95 个区间 包含的真值 , 大约有 5 个区间不包含的真值 . 2. 置信区间),(也是对未知参数的一种估计 , 区间的长度意味着误差, 故区 间估计与点估计是互补的两种参数估计. 3. 置信度与估计精度是一对矛盾.置信度1越大, 置信区间),(包含的真值 的概率就越大 , 但区间),(的长度就越大 , 对未知参数的估计精度就越差 . 反之 , 对参数的估计精度越高 , 置信区间),(长度就越小 , ),(包含的真值的概率就 越低, 置信度1越小. 一般准则 是: 在保证置信度的条件下尽可能提高估计精度. 例 1 设总体 22 ),( NX为已知, 为未知 , 设 n XXX, 21 是来自 X 的样本 , 求 的置信水平为1的置信区间 . 教 师 备 课 纸 8 例 2 设总体),8,( NX为未知参数 , 361 ,XX是取自总体X 的简单随机样本 , 如 果以区间)1,1(XX作为的置信区间 , 那么置信度是多少 ? 二、寻求置信区间的方法 寻求置信区间的基本思想: 在点估计的基础上 , 构造合适的函数 , 并针对给定的 置信度导出置信区间 . 一般步骤 : (1) 选取未知参数的某个较优估计量 ?; (2) 围绕 ?构造一个依赖于样本与参数 的函数 );,( 21n XXXuu (3) 对给定的置信水平1,确定1与2,使 ,1 21 uP 通常可选取满足 2 21uPuP 的 1与2，在常用分布情况下 , 这可由分 位数表查得 ; (4) 对不等式作恒等变形化后为 1P, 则),(就是的置信度为1的双侧置信区间。 例 3 设总体 X 的密度为 00 0 1 );( x xe xf x 未知参数 n XX,0 1为取自 X 的样本 . (1) 试证);2( 22 n Xn W (2) 试求的1置信区间 . 教 师 备 课 纸 9 第四节 正态总体的置信区间（ 1） 一、单正态总体均值的置信区间(1) 设总体),( 2 NX其中 2 已知 , 而为未知参数 , n XXX, 21是取自总体X 的一个样本 . 对给定的置信水平1, 由上节例 1 已经得到的置信区间 教 师 备 课 纸 10 , 2/2/ n uX n uX 例 1 某旅行社为调查当地一旅游者的平均消费额, 随机访问了 100 名旅游者 , 得知平 均消费额80x元. 根据经验 , 已知旅游者消费服从正态分布, 且标准差12元, 求 该地旅游者平均消费额的置信度为 95%的置信区间 . 二、单正态总体均值的置信区间(2) 设总体 ),( 2 NX 其中, 2 未知, nXXX,21是取自总体 X 的一个样本 . 此时可用 2 的无偏估计 2 S代替 2 , 构造统计量 nS X T / , 从第五章第三节的定理知).1( / nt nS X T 对给定的置信水平1, 由 1) 1( / ) 1( 2/2/ nt nS X ntP, 即,1)1() 1( 2/2/ n S ntX n S ntXP 因此, 均值的1置信区间为 .) 1(,) 1( 2/2/ n S ntX n S ntX 例2某旅行社随机访问了 25名旅游者 , 得知平均消费额80x元, 子样标准差12s元, 已知旅游者消费额服从正态分布, 求旅游者平均消费额的 95%置信区间 . 例 3 有一大批糖果 .现从中随机地取 16 袋, 称得重量 (以克计 )如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 试求总体均值的置信水平为0.95 的置信 区间. 教 师 备 课 纸 11 三、单正态总体方差的置信区间 上面给出了总体均值的区间估计，在实际问题中要考虑精度或稳定性时，需要 对正态总体的方差 2 进行区间估计 . 设总体),( 2 NX其中, 2 未知,nXXX,21是取自总体 X 的一个样本 . 求方差 2 的置信度为1的置信区间 . 2 的无偏估计为 2 S, 从第五章第三节的定理知 , ) 1( 1 22 2 nS n , 对给定的置信水平1, 由 ,1 ) 1( ) 1( )1( ) 1( ,1) 1( 1 ) 1( 2 2/1 2 2 2 2/ 2 2 2/ 2 2 2 2/1 n Sn n Sn P nS n nP 于是方差 2 的1置信区间为 ) 1( ) 1( , ) 1( ) 1( 2 2/1 2 2 2/ 2 n Sn n Sn 而方差的1置信区间 . ) 1( ) 1( , ) 1( )1( 2 2/1 2 2 2/ 2 n Sn n Sn 例 4为考察某大学成年男性的胆固醇水平, 现抽取了样本容量为25的一样本 , 并测得 样本均值,186x样本标准差12s. 假定所论胆固醇水平),( 2 NX与 2 均未知 . 试分别求出以及的 90%置信区间 . 课堂练习 已知某地区农户人均生产蔬菜量为X (单位:kg), 且),( 2 NX现随机抽取 9 个 农户, 得人均生产蔬菜量为 75, 143, 156, 340, 400, 287, 256, 244, 249 问该地区农户人均生产蔬菜量最多为多少)05.0(? 教 师 备 课 纸 12 第六章习题课 一、知识总结： 1、点估计问题概述 （1）点估计概念 （2）评价估计量的标准：无偏性、有效性、相合性（一致性） 2、点估计的常用方法 （1）矩估计 （2）最大似然估计 3、置信区间 （1）置信区间的概念 教 师 备 课 纸 13 （2）寻求置信区间的方法 4、正态总体的置信区间 （1）单正态总体的置信区间 （2）双正态总体的置信区间 二、典型例题讲解 1.设总体 X在区间,0上服从均匀分布 , nXXX,21是取自总体 X的简单随机样 本, , 1 1 n i i X n X).,max( 1)(nn XXX求常数,ba使 )(21 ? , ? n bXXa均为的无偏估 计, 并比较其有效性 . 2. 设总体 X 服从均匀分布 U,0，它的密度函数为 1 0 ( ; ) 0 x f x 其它 求未知参数的矩估计量 3. 设总体 X 的概率分布为 22 )1()1(2 321 k P X 其中为未知参数 .现抽得一个样本, 1,2, 1 321 xxx求的最大似然估计值 . 4.设总体的期望和方差 2 均存在，如何求的置信区间为1-的置信区间 . 5.设总体),( 2 NX其中未知, .4 2 n XX, 1为其样本 . (1) 当16n时, 试求置信度分别为0.9 及 0.95 的的置信区间的长度 . (2) n 多大方能使的 90%置信区间的长度不超过1? (3) n 多大方能使的 95%置信区间的长度不超过1? 教 师 备 课 纸 14
