高中物理竞赛教程《质点的圆周运动》.pdf

- 1 - §2.4 质点的圆周运动 刚体平面平行运动与定轴转动 241、质点的圆周运动 (1)匀速圆周运动如图 2-4-1 所示，质点 P 在半径为 R的圆周上运动时，它 的位置可用角度 表示（习惯上以逆时针转角正，顺 时针转角为负），转动的快慢用角速度表示： t t0 lim 质点 P的速度方向在圆的切线方向，大小为 R t R t l v tt 0 00 limlim （或 v）为常量的圆周运动称为匀速圆周运动。这里的“匀速”是指匀角速 度或匀速率，速度的方向时刻在变。因此，匀速圆周运动的质点具有加速度，其 加速度沿半径指向圆心，称为向心加速度（法向加速度）。 vRRv n 22 / 向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。 (2)变速圆周运动 （或 v） 随时间变化的圆周运动， 称为变速圆周运动， 描述角速度变化快慢的物理量为角加速度 t t0 lim 质点作变速圆周运动时，速度的大小和方向都在变化。将速度增量 v分解为 与 2 v 平行的分量 / v 和 2 v 垂直的分量 1 v ，如图 2-4-2。 1 v 相当于匀速圆周运动个的 v,11 v 的大小为 RRvvv 121212 =R 质点 P的加速度为 x y O P R l 1 v 2 v 图 2-4-1 - 2 - t v t v t v a ttt0 / 00 limlimlim n aa 其中 nr aa , 就是切向加速度和法向加速度。 Ra r RRvan 22 / 为常量的圆周运动， 称为匀变速圆周运动， 类似于变速直线运动的规律， 有 t 0 2 0 2 1 tt Rv 00 tavRtvRv r00 (3)圆周运动也可以分解为二个互相垂直方向上的分运动。参看图 2-4-3 一个质 点 A 在 t=0 时刻从 x 正方向开始沿圆周逆时针方向做匀速圆周运动，在x方向上 tRxcos tRtvvxsinsin tRtaaxcoscos 2 在 y 方向上： ) 2 cos(sintRtRy ) 2 sin(costRtvvy ) 2 cos(sin 2 tRtaa y 从 x 和 y 方向上的位移、 速度和加速度时间t 表达的参数方程可以看出： 匀速圆周 运动可以分为两个互相垂直方向上的简谐运动，它们的相位相差 2 242、刚体的平面平行运动 x y O A v t R x v y v v 图 2-4-3 P R 图 2-4-2 1 v v 1 v v 2 v / v - 3 - 刚体平面平行运动的特征是， 刚体上的任意质点都作平行于一个固定平面的运 动。如圆柱沿斜面的滚动，即为平面平行运动。可取刚体上任意平行于固定平面 的截面作为研究对象。 刚体的平面平行运动， 常有两种研究方法： 一种是看成随基点 （截面上任意一 点都可作为基点）的平动和绕基点的转动的合运动；另一种是选取截面上的瞬时 转动中心 S （简称瞬心）为基点。瞬心即指某瞬间截面上速度为零的点。这样，刚 体的平面平行运动看成仅作绕瞬心的转动。 确定瞬心的方法有两种： 如图 2-4-4(a) 所示，若已知截面上两点的速度， 则与两 速度方向垂直的直线的交点即为瞬心。或 如图 2-4-4(b)所示，已知截面转动的角速 度及截面上某一点A 的速度 A v ，则在与 速度垂直的直线上，与A 点距离为 / A v 的点即为瞬心。 注意，瞬心的速度为零，加速度不一定为零。 243、刚体的定轴转动 刚体运动时， 刚体上或其延展部分有一根不动直线，该直线称为定轴， 刚体绕 这一轴转动。刚体作定轴转动时，其上各点都在与轴垂直的平面内作圆周运动， 各点作圆周运动的半径不同，在某一时刻，刚体上所有各点的角位移、角速度和 角加速度都是相同的。而各点的线位移、线速度和线加速度则随各点离开转轴的 垂直距离不同而不同。 244、一些求曲率半径的特殊方法 A B S A v B v A S A v wvA/ （a）（ b） 图 2-4-4 - 4 - 先看椭圆曲线 1 2 2 2 2 B y A x ， 要求其两 顶点处的曲率半径。介绍以下两种方法： (1)将椭圆看成是半径R=A （设 AB） 的圆在平面上的投影， 圆平面和平面 的夹角满足关系式（如图2-4-5） A B R B cos 设一个质点以速率v 在圆上做匀速圆周运动， 则向心加速度 A v a 2 ，从上图中 可以看出，当顶点的投影在椭圆的长轴（x 轴）上的 P点时，其速率和加速度分别 为： v A B vvxc o s ， A v ax 2 当质点的投影在椭圆的短轴（y 轴）上的 Q 点时，其速率和加速度分别为： vvy 2 2 c o s A v Baay 。 因此椭圆曲线在 P、Q的曲率半径分别为： A B a v x x p 22 B A a v y y Q 22 (2)将椭圆看成是二个简谐运动的合成，可以把椭 圆的参数方程（设AB） （如图 2-4-6） sin cos By Ax 可改写为 ) 2 c o s ( c o s wtBy tAx x y p Q 如图 2-4-5 Q P A B x y 图 2-4-6 - 5 - 即可进一步写出 x，y 二个方程的速度 v 和加速度 a： wtAa tAv x x cos sin 2 那么在长轴端点 P处（ 0 0t ）的曲率半径： A B A B a v p p p 2 2 2 2 )( 在短轴端点 Q 处（ 2 t ）的曲率半径 B A B A a v Q Q Q 2 2 2 2 )( 再把抛物线 y=Ax 2 ，要求其任意一点的曲率半径 （如图 2-4-7）因为抛物线可以写作参数方程 2 0 2 1 aty tvx 其中 A v a o 2 ，这样就可以导出 aa a atv vv y x y ox 0 和 对任意一个 t 值： v= 22 0 22 ）（atvvv yx a N =acos =a 22 0 0 ）（atv av v vx 所以这一点的曲率半径 0 2 3 222 0 2 av tav a v N ）（ 将 t= 0 v x 代入，可得 2 0 2 3 2 4 0 2 /1 v a x v a ）（ 因为 2 0 2 v a A ，所以抛物线 y=Ax 2 上任意一点的曲率半径 ) 2 cos( ) 2 sin( 2 wtBa tBv y y x y v a x v y v n a t a 图 2-4-7 - 6 - AxA2/41 2 3 22 ）（