一元二次方程知识点和应用.pdf

. WORD 格式整理 . . . .专业知识分享 . . 一、相关知识点 1理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 （1）明确只有当二次项系数0a时，整式方程0 2 cbxax才是一元二次方程。 （2）各项的确定 ( 包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程 3一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4列出实际问题的一元二次方程 二解法 1明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而 把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3体会不同解法的相互的联系； 4值得注意的几个问题： (1) 开平方法： 对于形如nx 2 或)0()( 2 anbax的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未 知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如nx 2 的方程的解法： 当0n时，nx; 当0n时，0 21 xx; 当 0n 时，方程无实数根。 （2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为nmx 2 )(的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤： 移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； “系数化1” ：根据等式的性质把二次项的系数化为1； 配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为nmx 2 )(的形式； 求解：若0n时，方程的解为nmx，若0n时，方程无实数解。 （3）公式法：一元二次方程)0(0 2 acbxax的根 a acbb x 2 4 2 当04 2 acb时，方程有两个实数根, 且这两个实数根不相等； 当04 2 acb时，方程有两个实数根, 且这两个实数根相等，写为 a b xx 2 21 ； . WORD 格式整理 . . . .专业知识分享 . . 当04 2 acb时，方程无实数根. 公式法的一般步骤：把一元二次方程化为一般式；确定cba,的值； 代入acb4 2 中计算其值，判 断方程是否有实数根；若04 2 acb代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。 （因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一 元二次方程。 ） （4）因式分解法： 因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即： 若0ab，则00ba或； 因式分解法的一般步骤： 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得 到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 （5）选用适当方法解一元二次方程 对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次 根式的化简问题。 方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。 （6）解含有字母系数的方程 （1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型； （ 2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定 不要忘记对字母的取值进行讨论。 三、根的判别式 1了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合 题意的参数取值范围。 （1）=acb4 2 （2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程0 2 cbxax（0a） 当 时0 0a 方程有实数根； （当 时0 0a 方程有两个不相等的实数根；当 时0 0a 方程有两个相等的实数根；） 当 时0 0a 方程无实数根； 从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。 2常见的问题类型 （1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况 （2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 （3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况 . WORD 格式整理 . . . .专业知识分享 . . 先计算出判别式（关键步骤）； 用配方法将判别式恒等变形； 判断判别式的符号； 总结出结论 . （ 4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方 程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方 程可能会有两个实数根或无实数根。 （ 5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面 分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧 （6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合 （7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题 四、一元二次方程的应用 1. 数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。 2. 几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要 结合几何知识检验。 3. 增长率问题（下降率） ：在此类问题中，一般有变化前的基数（a） ，增长率（x） ，变化的次数（n） ， 变化后的基数（b）,这四者之间的关系可以用公式bxa n )1(表示。 4. 其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。 五实际应用 （1）有 100 米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600 平方米，在场地的北面有一堵50 米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40 米、宽 10 米的仓库，但面积只有400 平方米，不合要求，问应 如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？ （2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿 符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？（36 岁） (3) 已 知 ：cba,分 别 是 A B C的 三 边 长 ， 当0m 时 ， 关 于x的 一 元 二 次 方 程 02)()( 22 axmmxbmxc有两个相等的实数根，求证：ABC是直角三角形。 . WORD 格式整理 . . . .专业知识分享 . . （4）已知：cba,分别是ABC的三边长，求证：方程0)( 222222 cxacbxb没有实数根。 （5）当m是什么整数时， 关于x的一元二次方程044 2 xmx与05444 22 mmmxx的根 都是整数？（ 1m ） （6）已知关于x的方程0 22 1 2 2 2 2 mxx m xx，其中m为实数，（1）当m为何值时，方程没有实 数根？（ 2）当m为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。 答案：（1）2m（2）21, 1x. （二）一元二次方程的解法 1开平方法解下列方程： （1）01255 2 x（5,5 21 xx）（ 2）289)3(169 2 x（ 13 22 , 13 56 21 xx） （3）0361 2 y（原方程无实根）（4）0)31( 2 m（0 21 mm） 2配方法解方程： （1）052 2 xx（61x）（2）015 2 yy（ 2 215 x） 3公式法解下列方程： （1）263 2 xx（ 3 33 x）（2）pp323 2 （3 21 pp） . WORD 格式整理 . . . .专业知识分享 . . 4因式分解法解下列方程： （1）09 4 1 2 x（6x）（ 2）0454 2 yy（5,9 21 yy） （3）03108 2 xx（ 2 3 , 4 1 21 xx）（4）0217 2 xx（3,0 21 xx） 5解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）： （1）128)72(2 2 x（2 2 7 x）（2） 222 )2(212mmmm（ 2 62 m） 6解含有字母系数的方程（解关于 x 的方程）： （1）02 222 nmmxx (nmxnmx 21 ,) （2）1243 22 aaxax（1, 13 21 axax） （三）一元二次方程的根的判别式 1不解方程判别方程根的情况： （1） 4xxx73 2 （有两个不等的实数根）（2）xx4)2(3 2 （无实数根） 2k为何值时，关于x 的二次方程096 2 xkx （1）有两个不等的实数根（01kk且） . WORD 格式整理 . . . .专业知识分享 . . （2）有两个相等的实数根（1k） （3）无实数根（ 1k ） 3已知关于的方程mxmx1)2(4 2 有两个相等的实数根求的值和这个方程的根 ( 2 1 ,2 21 xxm或 2 3 ,10 21 xxm) 4若方程054)1(2 22 aaxax有实数根，求：正整数a. （3, 2, 1aaa） 5对任意实数m ，求证：关于x 的方程042) 1( 222 mmxxm无实数根 . 6k为何值时，方程0)3()32() 1( 2 kxkxk有实数根 . 7设m为整数， 且404m时，方程08144)32(2 22 mmxmx有两个相异整数根，求m 的值及方程的根。 （当m=12 时，方程的根为26,16 21 xx；当m=24 时，方程的根为52,38 21 xx） . WORD 格式整理 . . . .专业知识分享 . . 3某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20 件，每件盈利40 元，为了扩大销售增加盈利，尽快 减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1 元，商场每天可多售出 2 件，若商场平均每天要盈利1200 元，每件衬衫应降价多少元？（20 元） 4已知甲乙两人分别从正方形广场ABCD 的顶点 B、C同时出发，甲由C向 D运动，乙由B向 C 运动，甲 的速度为每分钟1千米，乙的速度每分钟2千米， 若正方形广场周长为40 千米， 问几分钟后， 两人相距102 千米？ (2分钟后 ) 7某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款200 万元资金，用于生产这种产品，签订的合同上约定 两年到期时一次性还本付息, 利息为本金的8%,该产品投放市场后由于产销对路, 使公司在两年到期时除还 清贷款的本金和利息外, 还盈余 72 万元 , 若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同, 试求这 个百分数 . (20%) 8如图，东西和南北向两条街道交于O点，甲沿东西道由西向东走， 速度是每秒4 米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3 米，当乙通 过 O点又继续前进50 米时，甲刚好通过O点，求这两人在相距85 米 时，每个人的位置。 （甲离 O84米，乙离O13米） 9已知关于x 的方程01)1( 2 mxxn有两个相等的实数根. (1) 求证：关于y 的方程0322 2222 nmmyym必有两个相等的实数根。 东 北 B A B A O . WORD 格式整理 . . . .专业知识分享 . . (2) 若方程 的一根的相反数恰好是方程的一个根，求代数式nnm12 2 的值。（14）