人教版九年级数学上册【推荐】24.1.1圆同步练习(1).docx.pdf

初中数学试卷 鼎尚图文 * 整理制作 241圆的有关性质 241.1圆 1 在一个平面内， 线段 OA 绕它固定的一个端点O_旋转一周 _， _另一个端点A_ 所形成的图形叫做圆这个固定的端点O 叫做 _圆心 _，线段 OA 叫做 _半径 _ 2连接圆上任意两点间的线段叫做_弦_圆上任意两点间的部分叫做_弧_直 径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦 3在同圆或等圆中， 能够 _互相重合 _的弧叫等弧 4确定一个圆有两个要素，一是 _圆心 _，二是 _半径 _，圆心确定 _位置 _，半 径确定 _大小 _ 知识点 1：圆的有关概念 1以已知点O 为圆心 ，已知长为a 的线段为半径作圆，可以作 ( A) A1 个B2 个C3 个D无数个 2下列命题中正确的有( A) 弦是圆上任意两点之间的部分；半径是弦；直径是最长的弦；弧是半圆，半圆 是弧 A1 个B2 个C 3 个D4 个 3如图 ，图中弦的条数为( B) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 4过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为( A) A1 条B2 条C 3 条D无数条 5如图 ，在四边形ABCD 中， DAB DCB 90°，则 A，B，C，D 四个点是否 在同一个圆上？若在，说出圆心的位置，并画出这个圆 解：在 ，圆心是线段BD 的中点图略 知识点 2：圆中的半径相等 6如图 ，MN 为 O 的弦 ，N52°，则 MON 的度数为 ( C) A38°B52°C76°D104° ,第 6 题图 ),第 7 题图 ) 7如图 ，AB， CD 是 O 的两条直径 ，ABC 30° ，那么 BAD ( D) A45°B60°C90°D30° 8如图 ，AB，AC 为 O 的弦 ，连接 CO，BO 并延长 ，分别交弦 AB ，AC 于点 E，F， B C.求证： CE BF. 解：由 ASA证 BEO CFO，OEOF，又 OCOB，OC OEOBOF，即 CEBF 9如图 ，点 A，B 和点 C，D 分别在两个同心圆上，且 AOB COD.求证： C D. 解： AOB COD， AOB AOC COD AOC，即 AOD BOC， 又 OA OB，OCOD， AOD BOC， C D 10M，N 是 O 上的两点 ，已知 OM3 cm，那么一定有 ( D) AMN 6 cmB MN 6 cm CMN 6 cmDMN 6 cm 11如图 ，点 A，D，G，M 在半圆 O 上，四边形 ABOC ，DEOF，HMNO 均为矩形 设 BCa， EFb，NH c，则下列各式中正确的是( B) Aabc Babc Ccab D bca 12如图 ，在 ABC 中 ，AB 为 O 的直径 ，B60°，BOD 100°，则 C 的 度数为 ( C) A50°B60°C70°D80° ,第 12 题图 ),第 13 题图 ) 13如图是张老师出门散步时离家的距离y 与时间 x 之间的函数关系的图象，若用黑点 表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是( D) 14在同一平面内，点 P到圆上的点的最大距离为7，最小距离为1，则此圆的半径为 _3 或 4_ 15如图 ，AB ，CD 为圆 O 的两条直径 ，E，F 分别为 OA，OB 的中点求证：四边形 CEDF 为平行四边形 解： AO BO，E，F 分别是 AO 和 BO 的中点 ，EOFO，又 CODO，四边形 CEDF 为平行四边形 16如图 ，AB 是 O 的弦 ，半径 OC， OD 分别交 AB 于点 E，F， 且 AEBF，请你 找出线段 OE 与 OF 的数量关系 ，并给予证明 解： OEOF.证明：连接OA ，OB.OA ，OB 是 O 的半径 ，OA OB， OBA OAB. 又 AEBF， OAE OBF(SAS )， OEOF 17如图 ，AB 为 O 的直径 ，CD 是 O 的弦 ，AB，CD 的延长线交于E 点，已知 AB 2DE，E18°，求 AOC 的度数 解：连接 OD.AB 为 O 的直径 ，OC，OD 为半径 ，AB 2DE，OCODDE， DOE E，OCE ODC.又 ODC DOE E， OCE ODC 2E. E 18°， OCE36°， AOC OCE E36° 18° 54° 18如图 ，AB 是半圆 O 的直径 ， 四边形 CDEF 是内接正方形 (1)求证： OCOF； (2)在正方形CDEF 的右侧有一正方形FGHK ， 点 G 在 AB 上， H 在半圆上 ， K 在 EF 上 若 正方形 CDEF 的边长为2，求正方形FGHK 的面积 解： (1)连接 OD， OE，则 ODOE，又 OCD OFE90°，CDEF，RtODC Rt OEF(HL)，OCOF(2)连接OH，CFEF2， OF1，OH 2 OE2 12 2 25.设 FGGHx，则(x1)2 x2 5，x2x20，解得 x 11，x2 2(舍去 )，S 正方形FGHK12 1 241.2垂直于弦的直径 1圆是 _轴对称 _图形 ，任何一条 _直径 _所在的直线都是它的对称轴 2(1)垂径定理：垂直于弦的直径_平分 _弦，并且 _平分 _弦所对的两条弧； (2)推论：平分弦(非直径 )的直径 _垂直 _于弦并且 _平分 _弦所对的两条弧 3在圆中 ，弦长 a，半径 R， 弦心距 d，它们之间的关系是_( 1 2a) 2d2R2_ 知识点 1：认识垂径定理 1 (2014· 毕节 )如图 ， 已知 O 的半径为13， 弦 AB 长为 24， 则点 O 到 AB 的距离是 ( B) A6B5C 4D 3 ,第 1 题图 ),第 3 题图 ),第 4 题图 ) 2CD 是 O 的一条弦 ，作直径 AB ，使 ABCD，垂足为 E，若 AB 10，CD8， 则 BE 的长是 ( C) A8 B2 C2 或 8 D 3 或 7 3(2014·北京 )如图 ，O 的直径 AB 垂直于弦CD，垂足是 E， A 22.5° ，OC 4， 则 CD 的长为 ( C) A22 B4 C4 2 D8 4 如图 ， 在 O 中， 直径 AB弦 CD 于点 M， AM 18， BM 8， 则 CD 的长为 _24_ 知识点 2：垂径定理的推论 5如图 ，一条公路弯道处是一段圆弧(图中的弧AB) ，点 O 是这条弧所在圆的圆心，点 C 是 AB 的中点 ，半径 OC 与 AB 相交于点 D，AB 120 m，CD20 m， 则这段弯道的半径 是( C) A200 mB200 3 mC100 mD100 3 m ,第 5 题图 ),第 6 题图 ) 6如图 ，在 O 中，弦 AB，AC 互相垂直 ，D，E 分别为 AB ，AC 的中点 ，则四边形 OEAD 为( C) A正方形B菱形C矩形D梯形 知识点 3：垂径定理的应用 7如图是一个圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，若水面 AB 宽为 8 cm， 水的最大深度为2 cm，则输水管的半径为( C) A3 cmB 4 cmC5 cmD6 cm ,第 7题图 ),第 8 题图 ) 8古题今解：“今有圆材 ，埋在壁中 ，不知大小 ，以锯锯之 ，深一寸 ，锯道长一尺 ，问 径几何？”这是九章算术中的问题，用数学语言可表述为：如图，AB 为 O 的直径 ， 弦 CDAB 于点 E，AE1 寸， CD10 寸，则直径 AB 的长为 _26_寸 9如图是某风景区的一个圆拱形门， 路面 AB 宽为 2 米，净高 5 米 ，求圆拱形门所在 圆的半径是多少米？ 解：连接OA. CDAB ，且 CD 过圆心 O，AD 1 2AB 1 米，CDA 90°.在 Rt OAD 中 ，设 O 的半径为R，则 OA OCR，OD5R.由勾股定理 ，得 OA 2 AD2 OD 2， 即 R2(5R)212，解得 R2.6，故圆拱形门所在圆的半径为 2.6 米 10如图 ，已知 O 的半径为5，弦 AB6，M 是 AB 上任意一点 ，则线段 OM 的长可 能是 ( C) A2.5 B3.5 C4.5 D5.5 ,第 10 题图 ),第 11 题图 ) 11(2014· 黄冈 )如图 ，在 O 中 ，弦 CD 垂直于直径AB 于点 E，若 BAD 30°，且 BE2， 则 CD_4 3_ 12已知点 P是半径为5 的 O 内一点 ，OP3，则过点 P 的所有弦中 ，最长的弦长为 _10_；最短的弦长为_8_ 13如图 ，以点 P为圆心的圆弧与x 轴交于 A，B 两点 ，点 P 的坐标为 (4，2)，点 A 的 坐标为 (2，0)，则点 B 的坐标为 _(6，0)_ ,第 13 题图 ),第 14 题图 ) 14如图 ，AB 是 O 的弦 ，AB 长为 8，P 是 O 上一个动点 (不与 A，B 重合 )，过点 O 作 OCAP 于点 C，ODPB 于点 D，则 CD 的长为 _4_ 15如图 ，某窗户是由矩形和弓形组成， 已知弓形的跨度AB 3 m，弓形的高 EF1 m， 现计划安装玻璃， 请帮工人师傅求出AB 所在 O 的半径 r. 解：由题意知OA OE r，EF1，OFr1.OEAB ，AF 1 2AB 1 2×3 1.5.在 Rt OAF 中，OF 2AF2OA2，即(r 1)21.52r2，解得 r13 8 ，即圆 O 的半径为 13 8 米 16如图 ，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A，B，C. (1)用尺规作图法找出BAC 所在圆的圆心；(保留作图痕迹，不写作法 ) (2)设 ABC 是等腰三角形，底边 BC8 cm， 腰 AB 5 cm，求圆片的半径R. 解： (1)分别作 AB ，AC 的垂直平分线 ， 其交点 O 为所求圆的圆心， 图略(2)连接 AO 交 BC 于 E.AB AC， AEBC， BE 1 2BC4.在 RtABE 中， AE AB 2BE2 5 242 3.连接 OB，在 RtBEO 中，OB 2BE2OE2，即 R242(R3)2，解得 R25 6 ，即所求 圆片的半径为 25 6 cm 17已知 O 的半径为13 cm，弦 ABCD，AB 24 cm，CD 10 cm，则 AB， CD 之 间的距离为 ( D) A17 cmB7 cm C12 cmD17 cm 或 7 cm 18如图 ，CD 为 O 的直径 ，CD AB，垂足为点F，AO BC，垂足为 E，BC23. (1)求 AB 的长； (2)求 O 的半径 解： (1)连接 AC， CD 为 O 的直径 ， CDAB，AFBF，AC BC.延长 AO 交 O 于 G，则 AG 为 O 的直径 ，又 AO BC，BECE， ACAB ，AB BC2 3 (2)由(1)知 ABBCAC ， ABC 为等边三角形， OAF30°，在 RtOAF 中，AF 3，可求 OA2，即 O 的半径为 2 241.3弧、弦、圆心角 1圆既是轴对称图形，又是 _中心 _对称图形 ，_圆心 _就是它的对称中心 2顶点在 _圆心 _的角叫圆心角 3在同圆和等圆中， 相等的圆心角所对的_弧_相等 ，且所对的弦也 _相等 _ 4在同圆或等圆中， 若两个圆心角、两条弧、两条弦中，有一组量是相等的，则它们 所对应的其余各组量也分别_相等 _ 知识点 1：认识圆心角 1如图 ，不是 O 的圆心角的是 ( D) A AOBB AOD C BOD D ACD ,第 1 题图 ),第 3 题图 ) 2 已知圆 O 的半径为5 cm， 弦 AB 的长为 5 cm， 则弦 AB 所对的圆心角AOB _60° _ 3(2014·菏泽 )如图 ，在 ABC 中， C 90°，A25°，以点 C 为圆心 ，BC 为半 径的圆交 AB 于点 D， 交 AC 于点 E，则BD 的度数为 _50°_ 知识点 2：弧、弦、圆心角之间的关系 4如图 ，已知 AB 是 O 的直径 ，C，D 是BE 上的三等分点，AOE 60°，则 COE 是( C) A40°B60° C80°D120° ,第 4题图 ),第 5 题图 ) 5如图 ，已知 A，B，C，D 是 O 上的点 ，1 2，则下列结论中正确的有( D) AB CD ；BD AC ； ACBD ； BOD AOC. A1 个B2 个 C3 个D 4 个 6如图 ，AB 是 O 的直径 ，BC，CD，DA 是 O 的弦 ，且 BC CDDA ，则 BCD 的度数为 ( C) A100°B110° C120°D 135° ,第 6 题图 ),第 7 题图 ) 7如图 ，在同圆中 ， 若 AOB 2COD， 则AB 与 2CD 的大小关系为( C) A.AB 2CD B.AB 2CD C.AB 2CD D不能确定 8如图 ，已知 D，E 分别为半径OA ，OB 的中点 ， C 为AB 的中点试问CD 与 CE 是 否相等？说明你的理由 解：相等理由：连接OC.D，E 分别为 O 半径 OA ，OB 的中点 ，OD1 2AO ， OE1 2BO. OAOB，ODOE.C 是AB 的中点 ，AC BC ， AOC BOC.又 OCOC， DCO ECO(SAS )，CDCE 9如图 ，在 O 中，AB AC ，B70°，则 A_40°_ ,第 9 题图 ),第 10 题图 ) 10如图 ，AB 是半圆 O 的直径 ，E 是 OA 的中点 ，F 是 OB 的中点 ，MEAB 于点 E， NFAB 于点 F.在下列结论中：AM MN BN ； ME NF； AEBF； ME2AE. 正确的有 _ _ 11如图 ，A，B，C，D 在 O 上，且AB 2CD ，那么 ( C) AAB 2CD BAB 2CD CAB 2CD DAB 与 2CD 大小不能确定 12如图 ，在 O 中，弦 AB ，CD 相交于点P，且 AC BD ，求证： AB CD. 解： AC BD， AC BD ，AB CD ，AB CD 13如图 ，以 ?ABCD 的顶点 A 为圆心 ，AB 为半径作圆 ，交 AD ，BC 于 E， F，延长 BA 交 A 于 G，求证： GE EF . 解：连接AF，四边形ABCD 为平行四边形，AD BC， GAE B，EAF AFB. 又 AB AF， B AFB ， GAE EAF ，GE EF 14如图 ，AB 是 O 的直径 ，AC CD ，COD60°. (1)AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证： OCBD. 解： (1)AOC 是等边三角形理由：AC CD ， AOC COD60°.又 OA OC， AOC 是等边三角形 (2)AC CD ， AOC COD 60° ， BOD 180° (AOC COD) 60° .ODOB， ODB 为等边三角形 ， ODB 60°， ODB COD60°， OCBD 15如图 ，在 AOB 中 ，AO AB，以点 O 为圆心 ，OB 为半径的圆交AB 于 D， 交 AO 于点 E， AD BO.试说明 BD DE ，并求 A 的度数 解：设 Ax°.AD BO，又 OBOD，ODAD ， AOD A x°， ABO ODB AOD A2x°.AO AB ， AOB ABO 2x°，从而 BOD 2x° x° x° ，即 BOD AOD ，BD DE .由三角形的内角和为180° ，得 2x 2x x180，x36，则 A 36° 16如图 ，MN 是 O 的直径 ，MN 2，点 A 在 O 上 ，AN 的度数为60°，点 B 为AN 的中点 ，P是直径 MN 上的一个动点 ，求 PA PB 的最小值 解：作点 B 关于 MN 的对称点B.因为圆是轴对称图形，所以点 B 在圆上连接AB ， 与 MN 的交点为P 点，此时 PAPB 最短 ，ABB 所对的圆心角为90°，连接 OB ， 则 AOB 90°，ABAO 2OB 2 2，PAPBAB 2，即 PAPB 的最小 值为2 241.4圆周角 1顶点在 _圆_上，并且两边和圆 _相交 _的角叫圆周角 2在同圆或等圆中， _同弧 _或_等弧 _所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 _圆心角 _的一半在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_相等 _ 3半圆或直径所对的圆周角是_直角 _，90°的圆周角所对的弦是_直径 _ 4 圆内接四边形对角_ 互补_ ，外角等于_内对角 _. 知识点 1：认识圆周角 1下列图形中的角是圆周角的是( B) 2在 O 中，A，B 是圆上任意两点，则AB 所对的圆心角有_1_个，AB 所对的圆周 角有 _无数 _个，弦 AB 所对的圆心角有_1_个，弦 AB 所对的圆周角有_无数 _个 知识点 2：圆周角定理 3如图 ，已知点 A，B，C 在 O 上，ACB 为优弧 ， 下列选项中与AOB 相等的是 ( A) A2CB4B C4A D B C ,第 3题图 ),第 4 题图 ) 4(2014·重庆 )如图 ，ABC 的顶点 A，B，C 均在 O 上，若 ABC AOC 90°， 则 AOC 的大小是 ( C) A30°B45°C60°D70° 知识点 3：圆周角定理推论 5如图 ，已知 AB 是 ABC 外接圆的直径，A35° ，则 B 的度数是 ( C) A35°B45°C55°D65° ,第 5 题图 ),第 6 题图 ),第 7 题图 ) 6如图 ，CD AB 于 E，若 B60°，则 A_30°_ 7如图 ，O 的直径 CD 垂直于 AB ，AOC 48°，则 BDC _24°_ 8如图 ，已知 A，B，C，D 是 O 上的四个点 ，AB BC，BD 交 AC 于点 E，连接 CD，AD. 求证： DB 平分 ADC. 解： AB BC，AB BC ， BDC ADB ， DB 平分 ADC 知识点 4：圆内接四边形的对角互补 9如图 ，四边形 ABCD 是圆内接四边形，E 是 BC 延长线上一点 ，若 BAD 105°， 则 DCE 的大小是 ( B) A115°B105°C100°D95° ,第 9题图 ),第 10 题图 ) 10如图 ，A，B，C，D 是 O 上顺次四点 ， 若 AOC160°，则 D_80°_， B_100°_. 11如图 ，?ABCD 的顶点 A，B，D 在 O 上，顶点 C 在 O 的直径 BE 上，连接 AE， E36° ，则 ADC 的度数是 ( B) A44°B54°C72°D53° ,第 11 题图 ),第 12 题图 ) 12(2014· 丽水 )如图 ，半径为 5 的 A 中，弦 BC，ED 所对的圆心角分别是BAC ， EAD. 已知 DE6，BAC EAD 180°，则弦 BC 的弦心距等于 ( D) A. 41 2 B. 34 2 C4 D3 13 如图 ， AB 是 O 的直径 ，点 C 是圆上一点 ， BAC 70°， 则 OCB_20°_ ,第 13 题图 ),第 14 题图 ),第 15 题图 ) 14如图 ，ABC 内接于 O，点 P 是AC 上任意一点 (不与 A，C 重合 )，ABC 55°， 则 POC 的取值范围是 _0° POC110°_ 15如图 ，C 经过原点 ，并与两坐标轴分别交于A，D 两点 ，已知 OBA 30°，点 A 的坐标为 (2，0)，则点 D 的坐标为 _(0，2 3)_ 16如图 ，在 ABC 中， ABBC2，以 AB 为直径的 O 分别交 BC，AC 于点 D， E，且点 D 为边 BC 的中点 (1)求证： ABC 为等边三角形； (2)求 DE 的长 解：(1)连接 AD. AB 是 O 的直径 ， ADB 90°.点 D 是 BC 的中点 ， AD 是 BC 的垂直平分线 ， AB AC.又 ABBC， ABAC BC， ABC 为等边三角形(2) 连接 BE，AB 是直径 ， AEB90°， BEAC. ABC 是等边三角形 ，AE EC， 即 E 为 AC 的中点又 D 是 BC 的中点 ，DE 是 ABC 的中位线 ，DE 1 2AB 1 2×2 1 17(2014· 武汉 )如图 ，AB 是 O 的直径 ，C，P 是AB 上两点 ，AB 13，AC 5. (1)如图 ， 若点 P 是AB 的中点 ，求 PA 的长； (2)如图 ， 若点 P 是BC 的中点 ，求 PA 的长 解：(1)连接 PB. AB 是 O 的直径 ，P 是AB 的中点 ，PAPB， APB90°，可求 PA 2 2 AB 132 2 (2)连接 BC，OP 交于点 D，连接 PB.P 是BC 的中点 ，OP BC，BD CD.OA OB，OD 1 2AC 5 2.OP 1 2AB 13 2 ，PDOPOD 13 2 5 2 4.AB 是 O 的直径 ， ACB 90° ， 由勾股定理可求BC12， BD 1 2BC 6， PB PD 2BD2 4262 213. AB是 O 的 直 径 ， APB 90 ° ， PAAB 2PB2 13 2（ 2 13） 23 13 18已知 O 的直径为10， 点 A，B，C 在 O 上 ，CAB 的平分线交 O 于点 D. (1)如图 ，若 BC 为 O 的直径 ，AB 6，求 AC，BD，CD 的长； (2)如图 ， 若 CAB 60° ，求 BD 的长 解： (1)BC 为 O 的直径 ， CAB BDC90°.在 RtCAB 中， AC BC 2AB2 10 2628.AD 平分 CAB ，CD BD ，CDBD.在 RtBDC 中，CD 2 BD2 BC 2100，BD2 CD250，BD CD 5 2 (2)连接 OB，OD.AD 平分 CAB ， 且 CAB 60°， DAB 1 2CAB 30°， DOB 2DAB 60°.又 O 中 OB OD， OBD 是等边三角形， O 的直径为 10，OB 5，BD 5