【优质文档】不等式的证明及著名不等式.pdf

学习必备欢迎下载 不等式的证明及著名不等式 要点梳理： 1基本不等式 (1)定理：如果a， bR，那么 a 2b22ab，当且仅当 ab 时，等号成立 (2)定理 (基本不等式 )：如果 a，b0，那么 ab 2 _ab，当且仅当 _时，等号成立也可以表 述为：两个 _的算术平均 _它们的几何平均 (3)利用基本不等式求最值：对两个正实数x，y， 如果它们的和S是定值，则当且仅当_时，它们的积P 取得最 _值； 如果它们的积P 是定值，则当且仅当_时，它们的和S取得最 _值 2三个正数的算术几何平均不等式 (1)定理如果 a， b，c 均为正数，那么 abc 3 _ 3 abc，当且仅当 _时，等号成立 即三个正数的算术平均_它们的几何平均 (2)基本不等式的推广 对于n 个正数a1， a2， an，它们的算术平均_它们的几何平均，即 a1a2 an n _ n a1a2an， 当且仅当 _时，等号成立 3柯西不等式 (1)设 a，b，c，d 均为实数，则(a 2 b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当 adbc 时等号成立 (2)设 a1，a2，a3， an，b1，b2，b3， bn是实数，则 (a 2 1a 2 2 a 2 n)(b 2 1b 2 2 b 2 n)(a1b1 a2b2 anbn)2，当且仅当bi0(i1,2， n)或存在一个数k，使得 aikbi(i1,2， n)时，等 号成立 (3)柯西不等式的向量形式：设 ，是两个向量，则| · | | |，当且仅当是零向量，或存在实 数 k，使 k时，等号成立 4证明不等式的方法 (1)比较法：求差比较法 知道 ab? ab0，ab，只要证明 _即可，这种方法称为求差比 较法 求商比较法 由 ab0? a b1 且 a0，b0，因此当 a0，b0 时要证明ab，只要证明 _即可，这种方法称 学习必备欢迎下载 为求商比较法 (2)分析法 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的_， 直到将待证不等式归结为一个已成立的不等 式(已知条件、定理等)这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法 (3)综合法 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立， 即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法 (4)反证法的证明步骤 第一步：作出与所证不等式_的假设； 第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等 式成立 (5)放缩法 所谓放缩法， 即要把所证不等式的一边适当地_，以利于化简， 并使它与不等式的另一 边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立 (6)数学归纳法 设 Pn是一个与自然数相关的命题集合，如果： (1)证明起始命题P1(或 P0)成立； (2)在假设 Pk成立 的前提下，推出Pk1也成立，那么可以断定 Pn对一切自然数成立 1已知 a 1 b 2，则 a，b 的大小关系为 _ 2已知 a、 b、m 均为正数，且a0，b0，则 Plg(1ab)，Q 1 2lg(1a) lg(1b)的大小关系为 _ 5设 a、b、c 是正实数，且ab c9，则 2 a 2 b 2 c 的最小值为 _. 题型一柯西不等式的应用 例 1已知 3x22y26，求证： 2xy11. 学习必备欢迎下载 思维升华使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子， 二维形式的柯西不等式(a 2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当 adbc 时等号成立 跟踪训练若 3x4y2，则 x2y2的最小值为 _ 题型二用综合法或分析法证明不等式 例 2已知 a，b，c(0， )，且 abc1， 求证： (1)( 1 a1)· ( 1 b1)· ( 1 c1)8； (2)abc3. 思维升华用综合法证明不等式是“由因导果 ”，分析法证明不等式是“执果索因 ”，它们是两种 思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时， 往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提， 充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野 设 a，b，c0，且 ab bcca1. 求证： (1)abc3；(2) a bc b ac c ab 3(abc) 学习必备欢迎下载 题型三放缩法或数学归纳法 例 3若 nN * ，Sn1×22×3n n1 ，求证： n n 1 2 1 k k1 ， 1 k 2 kk1 .上面不等式中kN * ，k1. 求证： 3 2 1 n1|b|； ab2； a 2 b 0，y0，M xy 2xy， N x 2x y 2 y，则 M、N 的大小关系为 _ 学习必备欢迎下载 6若 a，bR，且 ab，M a b b a，N ab，则 M、N 的大小关系为 _ 7若 a，b，c(0， )，且 ab c1，则abc的最大值为 _ 8已知 a， b，c 为正实数，且a2b3c9，则3a2bc的最大值为 _ 9设 ab2，b0，则当 a_时， 1 2|a| |a| b 取得最小值 10设a0， b0，则以下不等式ab 2ab ab， a|ab| b； a 2b24ab3b2； ab2 ab2 中恒成立的序号是_ B 组专项能力提升 1已知 x0，y0，且 1 x 9 y 1，则 xy 的最小值为 _ 2函数 yx 2· (13x)在 0，1 3 上的最大值是 _ 3已知 a， b，m，n 均为正数，且ab1，mn2，则 (ambn)(bman)的最小值为 _ 4已知 a， b 为实数，且a0，b0. 则 ab 1 a a 21 b 1 a 2的最小值为 _ 5P x x1 y y1 z z1(x0，y0，z0)与 3 的大小关系是 _ 6已知 x 22y2 3z218 17，则 3x2yz 的最小值为 _ 7设 a，b，c 都是正数，那么三个数a 1 b，b 1 c， c 1 a_.(填序号 ) 都不大于2； 都不小于2； 至少有一个大于2； 至少有一个不小于2. 学习必备欢迎下载 答案 基础知识自主学习 要点梳理 1(2)a b正数不小于 (即大于或等于 ) (3)xy大xy小 2(1)a bc不小于(2)不小于a1a2 an 4(1)ab0 a b1 (2)充分条件(4)相反 (5)放大或缩小 夯基释疑 1ab 2Mbc 解析分子有理化得a 1 32 ，b 1 65 ，c 1 76 abc. 4PQ 解析 1 2lg(1 a)lg(1b)lg 1a1b . (1a)(1b)1(ab)ab12 abab(1ab)2， 1a 1b 1ab， lg(1ab)lg1a 1b 1 2lg(1a) lg(1 b)， 即 lg(1ab)1 2lg(1 a) lg(1 b)PQ. 5 2 解析(a b c) 2 a 2 b 2 c (a) 2 (b) 2 (c) 2 · ( 2 a) 2 ( 2 b) 2 ( 2 c) 2 a· 2 a b· 2 b c· 2 c 2 18. 2 a 2 b 2 c 2. 2 a 2 b 2 c 的最小值为2. 题型分类深度剖析 例 1证明由于 2xy 2 3( 3x) 1 2( 2y)， 由柯西不等式(a1b1a2b2) 2(a2 1a 2 2)(b 2 1b 2 2)得 (2xy) 2 (2 3) 2 (1 2) 2(3 x2 2y2) (4 3 1 2)×6 11 6 ×611，|2xy|11，2x y11. 跟踪训练1 4 25 解析由柯西不等式 (3242) · (x 2y2)(3x4y)2， 得 25(x 2y2)4，所以 x2y24 25. 不等式 中当且仅当 x 3 y 4 时等号成立，x 2 y 2 取得最小值，由方程组 3x 4y2， x 3 y 4， 解得 x 6 25， y 8 25. 因此当 x 6 25，y 8 25时， x 2y2取得最小值，最小值为 4 25. 例 2证明(1)a，b， c(0， )， ab2ab，b c2bc，ca2ca， 学习必备欢迎下载 ( 1 a1) · (1 b1) · (1 c 1) bc ac ab abc 2 bc· 2 ac· 2 ab abc 8. (2)a，b，c(0， )， ab2ab，b c2bc，ca2ca，2(a bc)2ab2 bc 2 ca， 两边同加abc 得 3(abc) abc 2 ab2bc2 ca(abc) 2. 又 abc1，(abc) 23， abc3. 跟踪训练2证明(1)要证 abc3， 由于 a，b， c0，因此只需证明(abc) 2 3. 即证： a 2b2c22(abbcca)3，而 abbcca1， 故需证明： a 2b2c22(abbcca) 3(abbcca) 即证： a 2b2c2abbcca. 而这可以由abbcca a 2b2 2 b 2c2 2 c 2a2 2 a 2b2c2 (当且仅当abc 时等号成立 )证 得 原不等式成立 (2) a bc b ac c ab ab c abc . 在 (1)中已证 abc3. 因此要证原不等式成立，只需证明 1 abc abc.即证 a bcb acc ab 1， 即证 a bcb accababbc ca. 而 a bcab· ac ab ac 2 ，b ac abbc 2 ，c ab bcac 2 .abcb ac c abab bcca (a bc 3 3 时等号成立 ) 原不等式成立 例 3证明n(n1)n2，Sn1 2 n n n1 2 . 又 n n 1 k2k(k1)，k2， 1 k k1 a2，a0，b0 得 ba. 又 c b 1 1x (1x) 1 1x 2 1x x 2 1x 0 得 cb，知 c 最大 44 解析(1 1 x )(1 1 y )(1 1 xy) 2 4. 5M x 2xy y 2xy xy 2xy M. 6MN 解析ab， a b b2a， b a a2b， a b b b a a2a2b， a b b a ab.即 MN. 7.3解析(abc) 2 (1× a1×b1×c) 2(121212)(abc)3. 当且仅当abc1 3时，等号成立 (abc) 23.故 abc的最大值为3. 8.39解析3a2bc3 a2b 1 3 3c3 1 1 3 a 2b3c 39， 故最大值为39. 9 2 解析由于 a b2，所以 1 2|a| |a| b ab 4|a| |a| b a 4|a| b 4|a| |a| b ，由于 b0，|a|0，所 以 b 4|a| |a| b 2 b 4|a|· |a| b 1，因此当a0 时， 1 2|a| |a| b 的最小值 是 1 41 5 4；当 a0，b0，ab 2 ab.ab 2ab ab.故不恒成立 中 ab|ab|恒成立 中 a2b24ab3b2a24ab4b2(a 2b)2 0，故 不恒成立 中由 ab0 及 ab 2 ab2 22 恒成立，因此只有 正确 B 组 学习必备欢迎下载 116 解析x0，y0， 1 x 9 y 1， xy(xy) · 1 x 9 y y x 9x y 106 1016，当且仅当 y x 9x y 时，上式等号成立 又 1 x 9 y 1，x 4，y12 时， (xy)min16. 2. 4 243 解析由 yx 2· (13x)4 9· 3 2x· 3 2x(13x) 4 9 3 2x 3 2x13x 3 3 4 243. 3 2 解析由柯西不等式(a 2b2)(c2d2)(ac bd)2， 当且仅当 adbc 时“”成立，得 (am bn)(bman) (am· anbmbn) 2mn(ab)22. 49 解析因为 a0，b0，所以 ab1 a3 3 a×b×1 a3 3 b0， 同理可证： a 21 b 1 a 23 3 1 b0. 由 及不等式的性质得 ab 1 a a 21 b 1 a 2 3 3 b×3 3 1 b9. 5P3 解析P3 x x1 1 y y 1 1 z z 1 1 1 x 1 1 y1 1 z1 0，P3. 6 23解析(x 22y23z2)32( 2) 2 1 3 2(3x 2y· 23z· 1 3) 2 (3x2yz)2， 当且仅当x3y9z 时，等号成立(3x2y z) 212， 即 2 33x2yz2 3. 当 x 9 3 17 ，y 33 17 ，z 3 17时， 3x2yz 2 3，最小值为 2 3. 7解析a 1 bb 1 c c1 a a 1 a b 1 b c 1 c 2226.a 1 b，b 1 c， c 1 a三数之和不小于 6，即三个数中至少有一个不小于2.