【优质文档】八年级轴对称与对称轴提高压轴题.pdf

学习必备欢迎下载 轴对称压轴题 1问题背景： 如图（ a） ，点 A、B 在直线 l 的同侧，要在直线l 上找一点C，使 AC 与 BC 的距离之和最小，我们可以作出点B 关 于 l 的对称点B ，连接 A B与直线 l 交于点 C，则点 C 即为所求 （1）实践运用： 如图（b） ，已知， O 的直径 CD 为 4，点 A 在 O 上，ACD=30 ° ，B 为弧 AD 的中点， P 为直径 CD 上一动点， 则 BP+AP 的最小值为_ （2）知识拓展： 如图（ c） ，在 RtABC 中， AB=10 ， BAC=45 ° ， BAC 的平分线交BC 于点 D，E、F 分别是线段AD 和 AB 上 的动点，求BE+EF 的最小值，并写出解答过程 2 （1）观察发现 如图（ 1） ：若点 A、B 在直线 m 同侧，在直线m 上找一点P，使 AP+BP 的值最小，做法如下： 作点 B 关于直线m 的对称点B ，连接 AB ，与直线m 的交点就是所求的点P，线段 AB 的长度即为AP+BP 的 最小值 如图（ 2） ：在等边三角形ABC 中， AB=2 ，点 E 是 AB 的中点， AD 是高，在AD 上找一点P，使 BP+PE 的值 最小，做法如下： 作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交 AD 于一点，则这点就是所求的点P，故 BP+PE 的最小值 为_ （2）实践运用 如图（ 3） ：已知 O 的直径 CD 为 2，的度数为 60° ，点 B 是的中点，在直径CD 上作出点P，使 BP+AP 的值最小，则BP+AP 的值最小，则BP+AP 的最小值为_ （3）拓展延伸 学习必备欢迎下载 如图（ 4） ：点 P 是四边形 ABCD 内一点，分别在边AB 、BC 上作出点M，点 N，使 PM+PN+MN 的值最小，保留 作图痕迹，不写作法 如图（ 1） ，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A、B 两镇供气泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气 管线最短？ 你可以在l 上找几个点试一试，能发现什么规律？ 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法他把管道l 看成一条直线（图（2） ） ，问题就转化 为，要在直线l 上找一点P，使 AP 与 BP 的和最小他的做法是这样的： 作点 B 关于直线 l 的对称点 B 连接 AB交直线 l 于点 P，则点 P 为所求 请你参考小华的做法解决下列问题如图在ABC 中，点 D、E 分别是 AB 、AC 边的中点， BC=6， BC 边上的高 为 4，请你在BC 边上确定一点P，使 PDE 得周长最小 （1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法） （2）请直接写出PDE 周长的最小值：_ 4 （1）观察发现： 如（ a）图，若点A，B 在直线 l 同侧，在直线l 上找一点P，使 AP+BP 的值最小 做法如下：作点B 关于直线l 的对称点B'，连接 AB' ，与直线 l 的交点就是所求的点P再如（ b）图，在等边三角 形 ABC 中， AB=2 ，点 E 是 AB 的中点， AD 是高，在AD 上找一点P，使 BP+PE 的值最小 做法如下： 作点 B 关于 AD 的对称点， 恰好与点 C 重合， 连接 CE 交 AD 于一点， 则这点就是所求的点P，故 BP+PE 的最小值为_ （2）实践运用： 如（ c）图，已知 O 的直径 CD 为 4， AOD 的度数为60° ，点 B 是的中点，在直径CD 上找一点P，使 BP+AP 的值最小，并求BP+AP 的最小值 （3）拓展延伸： 如（ d）图，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点 P，使 APB= APD保留作图痕迹，不必写出作法 学习必备欢迎下载 5几何模型： 条件：如下图，A、B 是直线 l 同旁的两个定点 问题：在直线l 上确定一点P，使 PA+PB 的值最小 方法：作点A 关于直线 l 的对称点A ，连接 A B 交 l 于点 P，则 PA+PB=A B 的值最小（不必证明） 模型应用： （1）如图 1，正方形 ABCD 的边长为2，E 为 AB 的中点， P是 AC 上一动点连接BD，由正方形对称性可知，B 与 D 关于直线AC 对称连接ED 交 AC 于 P，则 PB+PE 的最小值是_； （2）如图 2， O 的半径为2，点 A、B、C 在 O 上， OA OB， AOC=60 ° ，P 是 OB 上一动点，求PA+PC 的 最小值； （3）如图 3， AOB=45 ° ，P 是 AOB 内一点， PO=10，Q、R 分别是 OA 、OB 上的动点，求PQR 周长的最小 值 6如图，已知平面直角坐标系，A、B 两点的坐标分别为A（ 2， 3） ，B（ 4， 1） （1）若 P（p，0）是 x 轴上的一个动点，则当p=_时， PAB 的周长最短； （2）若 C（ a，0） ， D（a+3，0）是 x 轴上的两个动点，则当a=_时，四边形ABDC 的周长最短； （3）设 M，N 分别为 x 轴和 y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0） 、N（0，n） ，使四边形ABMN 的 周长最短？若存在，请求出m=_， n=_（不必写解答过程） ；若不存在，请说明理由 7需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A， B 两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置 学习必备欢迎下载 8如图所示，在一笔直的公路MN 的同一旁有两个新开发区A，B，已知 AB=10 千米，直线AB 与公路 MN 的夹 角 AON=30 ° ，新开发区B 到公路 MN 的距离 BC=3 千米 （1）新开发区A 到公路 MN 的距离为_； （2）现要在 MN 上某点 P处向新开发区A，B 修两条公路PA，PB，使点 P到新开发区A，B 的距离之和最短此 时 PA+PB=_（千米） 9.如图： （1）若把图中小人平移，使点A 平移到点B，请你在图中画出平移后的小人； （2）若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边l 上点 P处喝水后，再游到B，但要使游泳的路程最短，试 在图中画出点P 的位置 10如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABB1A1的对称轴为 y 轴 （1）请画出：点A、B 关于原点O 的对称点A2、 B2（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）； （2）连接 A1A2、 B1B2（其中 A2、B2为（ 1）中所画的点） ，试证明： x 轴垂直平分线段A1A2、B1B2； （3）设线段 AB 两端点的坐标分别为A（ 2，4） 、B（ 4，2） ，连接（ 1）中 A2B2，试问在 x 轴上是否存在点C， 使A1B1C 与 A2B2C 的周长之和最小？若存在，求出点 C 的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在， 请说明理由 学习必备欢迎下载 11某大型农场拟在公路L 旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B 的水果 集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益请你在图中标明加工厂所在的位置C，使 A、B 两地到加工厂C 的运 输路程之和最短 （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） 12阅读理解 如图 1，ABC 中，沿 BAC 的平分线 AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B1A1C 的平分线 A1B2折叠，剪 掉重复部分； ；将余下部分沿BnAnC 的平分线 AnBn+1折叠，点 Bn与点 C 重合，无论折叠多少次，只要最后一 次恰好重合，BAC 是ABC 的好角 小丽展示了确定BAC 是ABC 的好角的两种情形情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角 BAC 的平分线 AB1折叠，点 B 与点 C 重合；情形二： 如图 3，沿 BAC 的平分线 AB1折叠，剪掉重复部分； 将余下部分沿B1A1C 的平分线 A1B2折叠，此时点B1与点 C 重合 探究发现 （1）ABC 中， B=2 C，经过两次折叠，BAC 是不是 ABC 的好角？_（填 “ 是 ” 或“ 不是 ” ） （2）小丽经过三次折叠发现了BAC 是ABC 的好角， 请探究 B 与 C （不妨设 B C）之间的等量关系 根 据以上内容猜想：若经过n 次折叠 BAC 是 ABC 的好角，则 B 与 C（不妨设 B C）之间的等量关系为 _ 应用提升 （3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15° 、 60° 、105° ，发现 60° 和 105° 的两个角都是此三角形的好角 请你完成，如果一个三角形的最小角是4° ，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的 好角 13如图， ABC 中 AB=AC ，BC=6 ，点 P 从点 B 出发沿射线BA 移动，同时，点Q 从点 C 出发沿 线段 AC 的延长线移动，已知点P、Q 移动的速度相同，PQ 与直线 BC 相交于点D （1）如图 ，当点 P 为 AB 的中点时，求CD 的长； （2）如图 ，过点 P 作直线 BC 的垂线垂足为E，当点 P、 Q 在移动的过程中，线段BE、DE、CD 中是否存在长 度保持不变的线段？请说明理由； 学习必备欢迎下载 14 （2012?东城区二模）已知：等边ABC 中，点 O 是边 AC ，BC 的垂直平分线的交点，M，N 分别在直线AC ， BC 上，且 MON=60 ° （1）如图 1，当 CM=CN 时， M、N 分别在边 AC、BC 上时，请写出AM 、 CN、MN 三者之间的数量关系； （2）如图 2，当 CM CN 时，M、N 分别在边AC 、BC 上时， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明； 若不成立，请说明理由； （3）如图 3，当点 M 在边 AC 上，点 N 在 BC 的延长线上时，请直接写出线段AM 、CN、MN 三者之间的数量关 系 15如图，线段CD 垂直平分线段AB， CA 的延长线交BD 的延长线于E，CB 的延长线交AD 的延长线于F， 求证： DE=DF 16如图，在 ABC 和DCB 中， AB=DC ，AC=DB ，AC 与 DB 交于点 M求证： （1）ABC DCB； （2）点 M 在 BC 的垂直平分线上 17如图， ABC 的边 BC 的垂直平分线DE 交 BAC 的外角平分线AD 于 D，E 为垂足， DFAB 于 F，且 AB AC，求证： BF=AC+AF 18已知 ABC 的角平分线AP 与边 BC 的垂直平分线PM 相交于点P，作 PK AB，PLAC，垂足分别是K、L， 求证： BK=CL 学习必备欢迎下载 19某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村A、B 的距离必须相等，且到两条公路m、 n 的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置（要有作图痕迹） 20如图，在 ABC 中， AB=AC ， A=120 ° ，BC=9cm ， AB 的垂直平分线MN 交 BC 于 M，交 AB 于 N，求 BM 的长 21 如图，在ABC 中， BAC 的平分线与BC 的垂直平分线PQ 相交于点P， 过点 P 分别作 PNAB 于 N， PMAC 于点 M，求证： BN=CM 22如图己知在 ABC 中， C=90° ， B=15° ，DE 垂直平分AB，E 为垂足交BC 于 D，BD=16cm ，求 AC 长 学习必备欢迎下载 2013年 10 月初中数学组卷 参考答案与试题解析 一解答题（共22 小题） 1 （2013?日照）问题背景： 如图（ a） ，点 A、B 在直线 l 的同侧，要在直线l 上找一点C，使 AC 与 BC 的距离之和最小，我们可以作出点B 关 于 l 的对称点B ，连接 A B与直线 l 交于点 C，则点 C 即为所求 （1）实践运用： 如图（b） ，已知， O 的直径 CD 为 4，点 A 在 O 上，ACD=30 ° ，B 为弧 AD 的中点， P 为直径 CD 上一动点， 则 BP+AP 的最小值为2 （2）知识拓展： 如图（ c） ，在 RtABC 中， AB=10 ， BAC=45 ° ， BAC 的平分线交BC 于点 D，E、F 分别是线段AD 和 AB 上 的动点，求BE+EF 的最小值，并写出解答过程 考点 ：轴对称 -最短路线问题 分析：（1）找点 A 或点 B 关于 CD 的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN 的交点 P就是 所求作的位置根据题意先求出CAE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB 的最小值； （2）首先在斜边AC 上截取 AB =AB ，连结 BB ，再过点B 作 B F AB，垂足为F，交 AD 于 E， 连结 BE，则线段BF 的长即为所求 解答：解： （1）作点 B 关于 CD 的对称点E，连接 AE 交 CD 于点 P 此时 PA+PB 最小，且等于AE 作直径 AC ，连接 C E 根据垂径定理得弧BD=弧 DE ACD=30 ° ， AOD=60 ° ， DOE=30 ° ， AOE=90 ° ， C AE=45 ° ， 又 AC 为圆的直径，AEC =90° ， C =C AE=45 ° ， CE=AE=AC =2， 即 AP+BP 的最小值是2 故答案为： 2； （2）如图，在斜边AC 上截取 AB =AB ，连结 BB AD 平分 BAC ， 点 B 与点 B 关于直线 AD 对称 过点 B作 B FAB ，垂足为F，交 AD 于 E，连结 BE， 则线段 B F 的长即为所求 （点到直线的距离最短） 学习必备欢迎下载 在 RtAFB 中， BAC=45 ° ，AB=AB=10 ， BF=AB ?sin45° =AB ?sin45° =10×=5， BE+EF 的最小值为 点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出对应点P 位置是解题关键 2 （2013?六盘水）（1）观察发现 如图（ 1） ：若点 A、B 在直线 m 同侧，在直线m 上找一点P，使 AP+BP 的值最小，做法如下： 作点 B 关于直线m 的对称点B ，连接 AB ，与直线m 的交点就是所求的点P，线段 AB 的长度即为AP+BP 的 最小值 如图（ 2） ：在等边三角形ABC 中， AB=2 ，点 E 是 AB 的中点， AD 是高，在AD 上找一点P，使 BP+PE 的值 最小，做法如下： 作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交 AD 于一点，则这点就是所求的点P，故 BP+PE 的最小值 为 （2）实践运用 如图（ 3） ：已知 O 的直径 CD 为 2，的度数为 60° ，点 B 是的中点，在直径CD 上作出点P，使 BP+AP 的值最小，则BP+AP 的值最小，则BP+AP 的最小值为 （3）拓展延伸 学习必备欢迎下载 如图（ 4） ：点 P 是四边形 ABCD 内一点，分别在边AB 、BC 上作出点M，点 N，使 PM+PN+MN 的值最小，保留 作图痕迹，不写作法 考点 ：圆的综合题；轴对称-最短路线问题 专题 ：压轴题 分析：（1）观察发现：利用作法得到CE 的长为 BP+PE 的最小值；由AB=2 ，点 E 是 AB 的中点，根据 等边三角形的性质得到CE AB， BCE=BCA=30 ° ，BE=1，再根据含30 度的直角三角形三 边的关系得CE=； （2）实践运用：过B 点作弦 BECD，连结 AE 交 CD 于 P 点，连结 OB、OE、OA、 PB，根据 垂径定理得到CD 平分 BE，即点 E 与点 B 关于 CD 对称，则AE 的长就是BP+AP 的最小值； 由于的度数为60° ， 点 B 是的中点得到BOC=30 ° ，AOC=60 ° ， 所以 AOE=60 ° +30° =90° ， 于是可判断 OAE 为等腰直角三角形，则AE=OA=； （3）拓展延伸：分别作出点P 关于 AB 和 BC 的对称点 E 和 F，然后连结EF，EF 交 AB 于 M、 交 BC 于 N 解答：解： （1）观察发现 如图（ 2） ，CE 的长为 BP+PE 的最小值， 在等边三角形ABC 中， AB=2，点 E 是 AB 的中点 CEAB ， BCE=BCA=30 ° ，BE=1， CE=BE=； 故答案为； （2）实践运用 如图（ 3） ，过 B 点作弦 BECD，连结 AE 交 CD 于 P点，连结 OB、OE、OA、PB， BECD， CD 平分 BE，即点 E 与点 B 关于 CD 对称， 的度数为60° ，点 B 是的中点， BOC=30 ° ， AOC=60 ° ， EOC=30° ， AOE=60 ° +30° =90° ， OA=OE=1 ， AE=OA=， AE 的长就是BP+AP 的最小值 故答案为； （3）拓展延伸 如图（ 4） 点评：本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中经常 用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称最短路径问题 学习必备欢迎下载 3 （2012?凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题 如图（ 1） ，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A、B 两镇供气泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气 管线最短？ 你可以在l 上找几个点试一试，能发现什么规律？ 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法他把管道l 看成一条直线（图（2） ） ，问题就转化 为，要在直线l 上找一点P，使 AP 与 BP 的和最小他的做法是这样的： 作点 B 关于直线 l 的对称点 B 连接 AB交直线 l 于点 P，则点 P 为所求 请你参考小华的做法解决下列问题如图在ABC 中，点 D、E 分别是 AB 、AC 边的中点， BC=6， BC 边上的高 为 4，请你在BC 边上确定一点P，使 PDE 得周长最小 （1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法） （2）请直接写出PDE 周长的最小值：8 考点 ：轴对称 -最短路线问题 专题 ：压轴题 分析：（1）根据提供材料DE 不变， 只要求出DP+PE 的最小值即可，作D 点关于 BC 的对称点D ，连接 D E， 与 BC 交于点 P，P 点即为所求； （2）利用中位线性质以及勾股定理得出D E 的值，即可得出答案 解答：解： （1）作 D 点关于 BC 的对称点D ，连接 D E，与 BC 交于点 P， P点即为所求； （2）点 D、E 分别是 AB 、AC 边的中点， DE 为 ABC 中位线， BC=6 ，BC 边上的高为4， DE=3 ，DD =4， DE=5， PDE 周长的最小值为：DE+D E=3+5=8， 故答案为： 8 学习必备欢迎下载 点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求 PDE 周长的最小 值，求出 DP+PE 的最小值即可是解题关键 4 （2010?淮安） （ 1）观察发现： 如（ a）图，若点A，B 在直线 l 同侧，在直线l 上找一点P，使 AP+BP 的值最小 做法如下：作点B 关于直线l 的对称点B'，连接 AB' ，与直线 l 的交点就是所求的点P再如（ b）图，在等边三角 形 ABC 中， AB=2 ，点 E 是 AB 的中点， AD 是高，在AD 上找一点P，使 BP+PE 的值最小 做法如下： 作点 B 关于 AD 的对称点， 恰好与点 C 重合， 连接 CE 交 AD 于一点， 则这点就是所求的点P，故 BP+PE 的最小值为 （2）实践运用： 如（ c）图，已知 O 的直径 CD 为 4， AOD 的度数为60° ，点 B 是的中点，在直径CD 上找一点P，使 BP+AP 的值最小，并求BP+AP 的最小值 （3）拓展延伸： 如（ d）图，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点 P，使 APB= APD保留作图痕迹，不必写出作法 考点 ：轴对称 -最短路线问题 分析：（1）首先由等边三角形的性质知，CE AB，在直角 BCE 中， BEC=90° BC=2 ，BE=1，由勾股定 理可求出 CE 的长度，从而得出结果； （2）要在直径CD 上找一点 P，使 PA+PB 的值最小， 设 A是 A 关于 CD 的对称点， 连接 AB，与 CD 的交点即为点P此时 PA+PB=A B 是最小值，可证OA B 是等腰直角三角形，从而得出结果 （3）画点 B 关于 AC 的对称点B，延长 DB 交 AC 于点 P则点 P即为所求 解答： 解： （1）BP+PE 的最小值 = （2）作点 A 关于 CD 的对称点A ，连接 A B，交 CD 于点 P，连接 OA ，AA ，OB 点 A 与 A关于 CD 对称， AOD 的度数为60° ， A OD=AOD=60 ° ，PA=PA ， 点 B 是的中点， BOD=30 ° ， A OB=AOD+ BOD=90 ° ， 学习必备欢迎下载 O 的直径 CD 为 4， OA=OA =2， AB=2 PA+PB=PA +PB=A B=2 （3）如图 d：首先过点B 作 BB AC 于 O，且 OB=OB ， 连接 DB 并延长交AC 于 P （由 AC 是 BB的垂直平分线，可得APB= APD ） 点评：此题主要考查轴对称最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题 转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边 5 （2009?漳州）几何模型： 条件：如下图，A、B 是直线 l 同旁的两个定点 问题：在直线l 上确定一点P，使 PA+PB 的值最小 方法：作点A 关于直线 l 的对称点A ，连接 A B 交 l 于点 P，则 PA+PB=A B 的值最小（不必证明） 模型应用： （1）如图 1，正方形 ABCD 的边长为2，E 为 AB 的中点， P是 AC 上一动点连接BD，由正方形对称性可知，B 与 D 关于直线AC 对称连接ED 交 AC 于 P，则 PB+PE 的最小值是； （2）如图 2， O 的半径为2，点 A、B、C 在 O 上， OA OB， AOC=60 ° ，P 是 OB 上一动点，求PA+PC 的 最小值； （3）如图 3， AOB=45 ° ，P 是 AOB 内一点， PO=10，Q、R 分别是 OA 、OB 上的动点，求PQR 周长的最小 值 考点 ：轴对称 -最短路线问题 专题 ：压轴题；动点型 分析：（1）由题意易得PB+PE=PD+PE=DE ，在 ADE 中，根据勾股定理求得即可； （2）作 A 关于 OB 的对称点A，连接 AC，交 OB 于 P，求 A C 的长，即是PA+PC 的最小值； （3）作出点 P 关于直线OA 的对称点M，关于直线OB 的对称点N，连接 MN ，它分别与OA ，OB 的交点 Q、R，这时三角形PEF 的周长 =MN ，只要求MN 的长就行了 解答：解： （1）四边形ABCD 是正方形， AC 垂直平分BD ， PB=PD ， 由题意易得： PB+PE=PD+PE=DE ， 在 ADE 中，根据勾股定理得，DE=； 学习必备欢迎下载 （2）作 A 关于 OB 的对称点A，连接 AC，交 OB 于 P， PA+PC 的最小值即为A C 的长， AOC=60 ° A OC=120° 作 OD A C 于 D，则 AOD=60 ° OA =OA=2 AD= ； （3）分别作点P 关于 OA、OB 的对称点M、N，连接 OM、ON、MN ，MN 交 OA 、OB 于点 Q、 R，连接 PR、PQ，此时 PQR 周长的最小值等于MN 由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10 ， MOA= POA ， NOB= POB， MON=2 AOB=2 × 45° =90° ， 在 RtMON 中， MN=10 即 PQR 周长的最小值等于10 点评：此题综合性较强，主要考查有关轴对称最短路线的问题，综合应用了正方形、圆、等腰直角三 角形的有关知识 6 （2006?湖州）如图，已知平面直角坐标系，A、B 两点的坐标分别为A（2， 3） ，B（4， 1） （1）若 P（p，0）是 x 轴上的一个动点，则当p=时， PAB 的周长最短； （2）若 C（ a，0） ， D（a+3，0）是 x 轴上的两个动点，则当a=时，四边形ABDC 的周长最短； （3）设 M，N 分别为 x 轴和 y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0） 、N（0，n） ，使四边形ABMN 的 周长最短？若存在，请求出m=，n=（不必写解答过程） ；若不存在，请说明理由 考点 ：轴对称 -最短路线问题；坐标与图形性质 专题 ：压轴题 分析：（1）根据题意，设出并找到B（4， 1）关于 x 轴的对称点是B'，其坐标为（ 4，1） ，进而可得直 线 AB' 的解析式，进而可得答案； 学习必备欢迎下载 （2）过 A 点作 AEx 轴于点 E，且延长AE，取 A'E=AE 做点 F（1， 1） ，连接 A'F利用两点 间的线段最短，可知四边形ABDC 的周长最短等于A'F+CD+AB ，从而确定C 点的坐标值 （3）根据对称轴的性质，可得存在使四边形ABMN 周长最短的点M、N，当且仅当m=，n=； 时成立 解答：解： （1）设点 B（4， 1）关于 x 轴的对称点是B'，其坐标为（4，1） ， 设直线 AB' 的解析式为y=kx+b ， 把 A（2， 3） ，B'（4，1）代入得：， 解得， y=2x 7， 令 y=0 得 x=， 即 p= （2）过 A 点作 AEx 轴于点 E，且延长AE，取 A'E=AE 做点 F（ 1， 1） ，连接 A'F那么 A' （2，3） 直线 A'F 的解析式为，即 y=4x5， C 点的坐标为（ a，0） ，且在直线A'F 上， a= （3）存在使四边形ABMN周长最短的点M、N， 作 A 关于 y 轴的对称点A，作 B 关于 x 轴的对称点B ，连接 AB ，与 x 轴、 y 轴的交点即为点M、 N， A（ 2， 3） ，B （4，1） ， 直线 A B 的解析式为： y=x， M（， 0） ，N（0，） m=，n= 点评：考查图形的轴对称在实际中的运用，同时考查了根据两点坐标求直线解析式，运用解析式求直线与 坐标轴的交点等知识 学习必备欢迎下载 7 （2007?庆阳）需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A，B 两个城市的距离之和最小，请作出机场 的位置 考点 ：轴对称 -最短路线问题 专题 ：作图题 分析：利用轴对称图形的性质可作点A 关于公路的对称点A ，连接 A B，与公路的交点就是点P 的位置 解答：解：点 P就是飞机场所在的位置（5 分） 点评：本题主要是利用轴对称图形来求最短的距离用到的知识：两点之间线段最短 8 （2006?贵港）如图所示，在一笔直的公路MN 的同一旁有两个新开发区A，B，已知 AB=10 千米，直线AB 与 公路 MN 的夹角 AON=30 ° ，新开发区B 到公路 MN 的距离 BC=3 千米 （1）新开发区A 到公路 MN 的距离为8； （2）现要在 MN 上某点 P处向新开发区A，B 修两条公路PA，PB，使点 P到新开发区A，B 的距离之和最短此 时 PA+PB=14（千米） 考点 ：轴对称 -最短路线问题 专题 ：计算题；压轴题 分析：（1）先求出OB 的长，从而得出OA 的长，再根据三角函数求得到公路的距离 （2）根据切线的性质得EF=CD=BC=3 ，AF=AE+EF=AE+BC=11，再根据余弦概念求解 解答：解： （1） BC=3 ， AOC=30 ° ， OB=6 过点 A 作 AEMN 于点 E， AO=AB+OB=16 ， AE=8 即新开发区A 到公路的距离为8 千米； （2）过 D 作 DFAE 的延长线（点D 是点 B 关于 MN 的对称点），垂足为F 则 EF=CD=BC=3 ，AF=AE+EF=AE+BC=11， 过 B 作 BGAE 于 G， BG=DF ， BG=AB ?cos30° =5， 学习必备欢迎下载 ， 连接 PB，则 PB=PD， PA+PB=PA+PD=AD=14 （千米） 点评：此题主要考查学生利用轴对称的性质来综合解三角形的能力 9 （2006?巴中）如图： （1）若把图中小人平移，使点A 平移到点B，请你在图中画出平移后的小人； （2）若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边l 上点 P处喝水后，再游到B，但要使游泳的路程最短，试 在图中画出点P 的位置 考点 ：轴对称 -最短路线问题；作图-轴对称变换；作图-平移变换 专题 ：作图题 分析：根据平移的规律找到点B，再利用轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，找到点A 的对称点， 连接 A1B 与 l 相交于点 P，即为所求 学习必备欢迎下载 解答： 解： 点评：本题考查的是平移变换与最短线路问题 最短线路问题一般是利用轴对称的性质解题，通过作轴对称图形，利用轴对称的性质和两点之间线 段最短可求出所求的点 作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距 离，先确定一组对应点； 确定图形中的关键点； 利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有 关键点的对应点； 按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形 10 （2003?泉州）如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABB1A1的对称轴为 y 轴 （1）请画出：点A、B 关于原点O 的对称点A2、 B2（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）； （2）连接 A1A2、 B1B2（其中 A2、B2为（ 1）中所画的点） ，试证明： x 轴垂直平分线段A1A2、B1B2； （3）设线段 AB 两端点的坐标分别为A（ 2，4） 、B（ 4，2） ，连接（ 1）中 A2B2，试问在 x 轴上是否存在点C， 使A1B1C 与 A2B2C 的周长之和最小？若存在，求出点 C 的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在， 请说明理由 考点 ：作图 -轴对称变换；线段垂直平分线的性质；轴对称-最短路线问题 专题 ：作图题；证明题；压轴题；探究型 分析：（1）根据中心对称的方法，找点A2， B2，连接即可 （2）设 A（ x1，y1） 、B（x2， y2）依题意与（ 1）可得 A1（ x1，y1） ，B1（ x2，y2） ， A2（ x1， y1） ，B2（ x2，y2） ，得到 A1、B1关于 x 轴的对称点是A2、B2，所以 x 轴垂直平分线段A1A2、 B1B2 （3）根据 A1与 A2，B1与 B2均关于 x 轴对称，连接A2B1交 x 轴于 C，点 C 为所求的点根据题 意得 B1（4，2） ，A2（ 2， 4） 学习必备欢迎下载 设直线 A2B1的解析式为y=kx+b 则利用待定系数法解得，所以可求直线A2B1的解析式 为 y=3x10令 y=0， 得 x=， 所以 C 的坐标为（，0） 即点 C （， 0） 能使 A1B1C 与 A2B2C 的周长之和最小 解答：解： （1）如图， A2、B2为所求的点 （2）设 A（ x1，y1） 、B（x2， y2） 依题意与（ 1）可得 A1（ x1，y1） ，B1（ x2，y2） ，A2（ x1， y1） ，B2（ x2， y2） A1、B1关于 x 轴的对称点是A2、B2， x 轴垂直平分线段A1A2、B1B2 （3）存在符合题意的C 点 由（ 2）知 A1与 A2，B1与 B2均关于 x 轴对称， 连接 A2B1交 x 轴于 C，点 C 为所求的点 A（ 2，4） ，B（ 4，2）依题意及（1）得： B1（ 4，2） ， A2（2， 4） 设直线 A2B1的解析式为y=kx+b 则有 解得 直线 A2B1的解析式为y=3x10， 令 y=0，得 x=， C 的坐标为（，0） 综上所述，点C（，0）能使 A1B1C 与A2B2C 的周长之和最小 点评：主要考查了轴对称的作图和性质，以及垂直平分线的性质要知道对称轴垂直平分对应点的连线会 根据此性质求得对应点利用待定系数法解一次函数的解析式是解题的关键 11 （2001?宜昌）某大型农场拟在公路L 旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地 A、B 的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益请你在图中标明加工厂所在的位置C，使 A、 B 两地到 加工厂 C 的运输路程之和最短 （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） 学习必备欢迎下载 考点 ：轴对称 -最短路线问题 专题 ：作图题 分析：作 A 关于直线L 的对称点E，连接 BE 交直线 L 于 C，则 C 为所求 解答： 答：如图： 点评：本题主要考查对轴对称最短路线的问题的理解和掌握，根据题意正确画出图形是解此题的关键， 12 （2012?淮安）阅读理解 如图 1，ABC 中，沿 BAC 的平分线 AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B1A1C 的平分线 A1B2折叠，剪 掉重复部分； ；将余下部分沿BnAnC 的平分线 AnBn+1折叠，点 Bn与点 C 重合，无论折叠多少次，只要最后一 次恰好重合，BAC 是ABC 的好角 小丽展示了确定BAC 是ABC 的好角的两种情形情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角 BAC 的平分线 AB1折叠，点 B 与点 C 重合；情形二： 如图 3，沿 BAC 的平分线 AB1折叠，剪掉重复部分； 将余下部分沿B1A1C 的平分线 A1B2折叠，此时点B1与点 C 重合 探究发现 （1）ABC 中， B=2 C，经过两次折叠，BAC 是不是 ABC 的好角？是（填 “ 是” 或“ 不是 ” ） （2）小丽经过三次折叠发现了BAC 是ABC 的好角， 请探究 B 与 C （不妨设 B C）之间的等量关系 根 据以上内容猜想：若经过n 次折叠 BAC 是 ABC 的好角，则 B 与 C（不妨设 B C）之间的等量关系为 B=nC 应用提升 （3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15