【优质文档】初中数学竞赛常用解题方法(代数).pdf

学习必备欢迎下载 初中数学竞赛常用解题方法（代数） 一、配方法 例 1、化简122122xxxx. 练习：若 2 ()4()()0xzxyyz，试求 x+z 与 y 的关系。 二、非负数法 例 2、在实数范围内解方程 1 12() 2 xyzxyz. 三、构造法 （1）构造多项式 例 3、三个整数a、b、c 的和是 6 的倍数 .，那么它们的立方和被6 除，得到的余数是( ) (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 不确定的 （2）构造有理化因式 例 4、已知 22 (2002)(2002)2002xxyy. 则 22 346658xxyyxy_ _。 （3）构造对偶式 例 5、已知、是方程 2 10xx的两根，则 4 3的值是 _ _。 （4）构造递推式 例 6、实数 a、b、x、y 满足3axby, 22 7axby, 33 16axby, 44 42axby. 求 55 axby的值 _ _。 （5）构造几何图形 例 7、 （构造对称图形）已知a、b 是正数，且a + b = 2. 求 22 14uab的最小值 _ _。 练习： （构造矩形）若a，b 均为正数，且 22 ab， 22 4ab， 22 4ab是一个三角 形的三条边的长，那么这个三角形的面积等于_。 四、合成法 例 8、若 12345 ,x xxxx和满足方程组 学习必备欢迎下载 12345 12345 12345 12345 12345 20 212 224 248 296 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 确定 45 32xx的值。 五、比较法（差值比较法、比值比较法、恒等比较法） 例 9、71427 和 19 的积被 7 除，余数是几？ 练习：设0abc，求证： 222abcb cc aab a b cabc. 六、因式分解法（提取公因式法、公式法、十字相乘法） 1221 ()(.) nnnnnn abab aababb 1221 ()(.) nnnnnn abab aababb 例 10、设 n 是整数，证明数 32 31 22 Mnnn为整数，且它是3 的倍数。 练习：证明 993991 993991能被 1984 整除。 七、换元法（用新的变量代换原来的变量） 例 11、解方程 2 9 (87) (43)(1) 2 xxx 练习：解方程 11.1 11.1 x x. 八、过度参数法（常用于列方程解应用题） 例 12、一商人进货价便宜8%，售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的 %x增加到(10)%x，x 等于多少 ? 九、判别式法（ 2 4bac判定一元二次方程 2 0axbxc的根的性质） 例 13、求使 2 2 24 33 xx A xx 为整数的一切实数x. 练习：已知 , ,x y z是实数，且 22221 2 xyza xyza 学习必备欢迎下载 求证： 222 0,0,0 333 xayaza. 十、韦达法（韦达定理： 1212 , bc xxxx aa ） 例 14： 2 55yy 十一、共轭根式法 （设 A 使含有根式的表达式，若存在另一个不恒等于零的表达 式 B，使乘积AB 不含根式，则称B为 A 的共轭根式） 例 11、 设 a,b 分别表示 1 37 的整数部分与小数部分，求 2 (17)aab的值为 _ _。 练习：求不超过 6 (75)的值的最大整数为_ _。 十二、反证法 例 12、已知 a，b，c 为实数，设 222 2,2,2 236 AabBbcCca 证明： A， B，C中至少有一个大于零。 练习：命题“如果a，b 都是无理数，那么 b a也是无理数”是否正确，如果正确，试给予证 明；如果不正确，试说明理由. 代数常用的四种解题方法 数学离不开思维。学习效果的大小，取决于思维活动的发展与思维能力的发挥。而思维 方法是思维的钥匙，有了科学的思维就能从总体上把握事物的本质联系。从而， 有效地提高 发现问题和解决问题的能力。很多学生天天做练习，但成绩就是不理想。为什么呢？主要原 因就是没有吃透教材的基本原理，就是没有掌握解题的科学方法。掌握方法， 是攻克难题的 有力武器，只有掌握方法，才能触类旁通，举一反三。不管遇到什么难题，都能得心应手， 迎刃而解。那么在初中代数中有那些常用的解题思维方法呢？ 一、待定系数法 用一个或多个字母来表示与解答有关的未知数，这些字母就叫待定系数法。待定系数法 是一种最基本的数学方法,这个方法多用于多项式运算、方程和函数方面较多。例如： 例 1 试用关于（ x-1）的各次幂表示多项式 32 2435xxx。 解：设 3232 24352(1)(1)(1)xxxxa xb xc。因为上式是恒等式，所以不 学习必备欢迎下载 论x取什么数，两边都应相等，据此可设 1x，代入上式得4c， 0x，代入上式得522ab 2x，代入上式得16 16652.abc 联立上面三个式子解得2 ,1,4abc 3232 24352(1)2(1)(1)4xxxxxx。 这道例题在求待定系数时运用了特殊值法。要尽量减少待定系数的个数，比如可以断 定 3 (1)x的系数是2，就没有必要再将 3 (1)x 项的系数设为待定系数了。 例 2 根据二次函数的图象上（-1， 0） 、 （3，0） 、 （1，-5）三点的坐标，写出函数的解析式。 解：由题设知，当 1x 和 3x 时,函数y的值都等于0.故设二次函数的解析式为 (1)(3)ya xx, 把（ 1，-5）代入上式 ,得 5 4 a, 故所求的解析式为 2 55515 (1)(3). 4424 yxxxx 这道例题告诉我们用待定系数法确定函数式时要讲究一些解题技巧.此题若设所求二次 函数的解析式为 2 yaxbxc,用待定系数法,把已知的三点代入,得到一个三元一次方程 组,进而求出三个待定系数, ,a b c,这种解法运算量较大. 二、配方法 配方 ,一般是指在一个代数式中通过加减相同的项,把其中若干项变形为n次幂形式的项. 这是恒等变形的重要方法之一.因为它有广泛的迁移意义。举例如下： 例 3 分解因式 （1） 4 64x （2） 22 2341babaa 解： （1） 4 64x = 42222222 (1664)16(8)(4 )(48)(48)xxxxxxxxx （2） 22 2341babaa 学习必备欢迎下载 222 22 (2)(441) ()(21) (21)(21) (1)(31) babaaa baa baabaa baba 例 4 已知n为正整数，且 71998 444 n 是一个完全平方数，则n的一个值是。 （第九界“希望杯”赛试题） 解：设 719981423996 444222 nn 142399672 222(22 ) nx 将 72 (22 ) x 展开后得 721472 (22 )22 222 xxx 由、得 14239961482 222222 nxx 比较两边的指数，得 8+x=2n, 23996. x 或者 8 + x = 3 9 9 6 22 . xn 解之得1003n或者3988n。 此题有两解，所以任意填其中的一个都行。 三、换元法 把一个简单的含变元的式子替换一个较为复杂的含变元的式子，从而使问题得以简化。 这样的方法就叫做换元法。换元法是数学中重要的解题方法，根据问题的特点，进行巧妙的 换元，往往可以化繁为简，化难为易，收到事半功倍的功效，现举例说明。 例 5 化简 32 32 19961997199519971996 19961995199719951996 。 （第七界“希望杯”赛培训试题） 解：设 1996 为a，则 1997=(1)a，1995=(1)a， 所以，原式 32 32 3232 3232 (1)(1)(1) (1)(1)(1) 1 1 1 1 1 aaaaa aaaaa aaaa aaaa 例 6 解方程组 22 36, 330. xxy y x xyy 学习必备欢迎下载 解：令 , . x y u xy v 代入方程组中，得 2 336, 30. uv u v 解得 12, 36. u v 和 3, 9. u v 代入式中，得 12,3, 36.9. x yx y xyxy 分别解之，得 3 3 5, 6, 2 6. 3 3 5. 2 x x y y 显然，这些例题运用了换元法就变的简捷了。 四、同一法 同一法属于间接证法，它的理论依据分别是逻辑学中的同一律与矛盾律和排中律。同一 法就是应用 “同一法则” 进行证明的方法。同一法则是如果两个互逆的命题的条件和结论所 关联的事物是唯一存在的，那么两个命题同时为真，或同时为假。例如： 例 7 设a b g, ,都是锐角，它们的正切依次是 111 , 258 。 求证：a + b + g = o 45。 证明： + a +b a + b = -ab -? Q 11 tgtg7 25 tg() 111tgtg9 1 25 ，以及a b,都是锐角。 a + bQ ()是小于 o 45的锐角。 现在取锐角d，使a + b + d = o 45，于是 - 轾 d =-a + b=g 犏 臌 + o 7 1 1 9 tgtg 45()tg 78 1 9 d =g a + b + g = o 45 当然，以上的四种方法只是我们初中阶段较常见较重要解题的方法，愿同学们能从中得 到启发。 重视中学数学中的解题基本方法，它对同学们扩大知识领域，提高综合解题能力将 带来很多方便。