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精品资料欢迎下载 【包哥数学】抽象函数专题 抽象函数简介 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式, 只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系 式的函数， 所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识 灵活运用的能力。 抽象函数一些模型 根据抽象函数的一些性质，联想到所学的基本初等函数模型，将抽象具体化， 有助于分析问 题。 抽象函数f(x)具有的性质联想到的函数模型 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2); f(x1-x2)=f(x1)-f(x2) 正比例函数模型：f(x)=kx (k0) f(x1+x2)=f(x1) ·f(x2); f(x1-x2)=f(x1) ÷ f(x2) 指数函数模型：f(x)= (a0且a1) f(x1· x2)=f(x1)+f(x2); f(x1÷ x2)=f(x1)-f(x2); (x1,x2R +) 对数函数模型：f(x)=(a0且a1) 例题： 例 1：f (x) 在 R +上是增函数，且 f (x)=f ( y x )+f (y), 若 f (3)=1,f (x) f ( 5 1 x ) 2 ，求 x 的范 围 。 例 2：设函数f(x) 的定义域为R，对于任意实数m、n，总有 f(m+n)=f(m) · f(n) ，且 x0 时， 01; （2）证明： f(x) 在 R 上单调递减； （3）设 A=(x,y) f (x 2) · f(y 2)f(1),B= (x,y) f (ax-y+2)=1,a R ，若 A B=?，确定 a的范 围。 抽象函数的对称性（中心对称、轴对称）和周期性 先深刻理解奇函数，偶函数概念 方法：用哪个数代替x 一、 抽象函数的对称性 定理 1.若函数 y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)=f (b x)，则函数 y=f (x) 的图 精品资料欢迎下载 象关于直线x= 对称。 推论 1. 若函数 y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)=f (a x) （或 f (2ax)= f (x) ), 则函数 y=f (x) 的图像关于直线x= a 对称。 推论 2. 若函数 y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)=f (ax)， 又若方程f (x)=0 有 n 个根，则此n 个根的和为na 。 定理 2. 若函数 y=f (x) 定义域为 R，且满足条件： f (a+x)+f (b x)=c， （a,b,c为常数），则 函数 y=f (x) 的图象关于点对称。 推论 1.若函数 y=f (x) 定义域为R，且满足条件： f (a+x)+f (a x)=0， （ a为常数），则函数 y=f (x) 的图象关于点（a ，0）对称。 了解 定理 3.若函数 y=f (x) 定义域为R，则函数 y=f (a+x) 与 y=f (b x)两函数的图象关于直线 x=对称。 对任意 x0,令 a+x0=b-x1, 则 x0+x1=b-a 此时令 y=f(a+x0)=f(b-x1), 则(x0,y) 在第一个函数图像上,(x1,y) 在第二个函数图像上 因为 x0+x1=b-a,所以有 x0-(b-a)/2=(b-a)/2-x1,(x0,y) 和(x1,y) 关于直线x=(b-a)/2 对称 所以这两个函数的图像关于直线x=(b-a)/2 是对称的 定理 4.若函数 y=f (x) 定义域为R，则函数y=f (a+x) 与 y=c f (b x)两函数的图象关于 点对称。 二、抽象函数的周期性 命题 1：若 a是非零常数，对于函数 y=f(x) 定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数 y=f(x) 是周期函数 . 函数 y=f(x) 满足 f(x+a)= f(x) ，则 f(x) 是周期函数，且2a 是它的一个周期. 函数 y=f(x) 满足 f(x+a)= 1 ( )fx ，则 f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. 函数 y=f(x) 满足 f(x+a)+f(x)=1 ，则 f(x) 是周期函数，且2a 是它的一个周期. 2 ab (,) 22 ab c 2 ba (,) 22 ba c 精品资料欢迎下载 命题 2：若 a、 b(ab)是非零常数，对于函数y=f(x) 定义域的一切x，满足下列条件之 一，则函数y=f(x) 是周期函数 . (1) 函数 y=f(x) 满足 f(x+a)=f(x+b) ，则 f(x) 是周期函数，且|a-b|是它的一个周期. (2)函数图象关于两条直线x=a，x=b 对称， 则函数 y=f(x) 是周期函数， 且 2|a-b|是它的一个周 期. (3) 函数图象关于点M(a,0)和点 N(b,0)对称， 则函数 y=f(x) 是周期函数， 且 2|a-b|是它的一个 周期 . (4)函数图象关于直线x=a，及点 M(b,0) 对称，则函数y=f(x) 是周期函数，且4|a-b|是它的一 个周期 . 命题 3：若 a是非零常数，对于函数 y=f(x) 定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数 y=f(x) 是周期函数 . (1)若 f(x) 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=a 对称，则f(x) 是周期函数，且2a 是 它的一个周期 . (2)若 f(x) 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x=a 对称，则f(x) 是周期函数，且4a 是 它的一个周期 . 我们也可以把命题3 看成命题2 的特例 ,命题 3 中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中 的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1） ，其他命题的证明基本类似. 设条件 A: 定义在 R 上的函数 f(x) 是一个偶函数 . 条件 B: f(x) 关于 x=a 对称 条件 C: f(x) 是周期函数 ,且 2a 是其一个周期 . 结论 : 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明 : 已知 A、B C （20XX 年全国高考第22 题第二问） f(x) 是 R 上的偶函数f(-x)=f(x) 又 f(x) 关于 x=a 对称 f(-x)=f(x+2a) f(x)=f(x+2a) f(x) 是周期函数 ,且 2a 是它的一个周期 已知 A、CB 定义在 R 上的函数f(x) 是一个偶函数f(-x)=f(x) 又 2a 是 f(x) 一个周期 f(x)=f(x+2a) f(-x)=f(x+2a) f(x) 关于 x=a 对称 已知 C、BA f(x) 关于 x=a 对称 f(-x)=f(x+2a) 又 2a 是 f(x) 一个周期 f(x)=f(x+2a) f(-x)=f(x) f(x) 是 R 上的偶函数 由命题 3(2)，我们还可以得到结论:f(x) 是周期为T 的奇函数，则f( 2 T )=0 【f(x+T)=f(x) ，令 x=-T/2 ，f(T/2)=f(-T/2) ，f(x) 为奇函数 ,所以 f(T/2)=f(-T/2)=-f(T/2) 则 2f(T/2)=0,f(T/2)=0 】 基于上述命题阐述， 可以发现， 抽象函数具有某些关系。根据上述命题， 我们易得函数周期， 从而解决问题。 精品资料欢迎下载 习题： 1.若函数 f（x）=x 2 +bx+c 对于任意实数t 均有 f（ 3+t）= f（1t） ，那么（） A. f（2） t