2014年全国高考山东省数学(文)试卷及答案【精校版】.pdf

2014 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 文科数学 本试卷分第卷和第II 卷两部分，共4 页。满分 150 分，考试用时120 分钟。考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： .答题前，考生务必用0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类 填写在答题卡和试卷规定的位置上。 .第 I 卷每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。 .第 II卷必须用0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用 涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。 .填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么()()()P ABP AP B 第卷（共50 分） 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 (1) 已知,a bR i是虚数单位 . 若a i2bi，则 2 ()abi (A) 34i(B) 34i(C) 43i(D) 43i (2) 设集合 2 |20,|14Ax xxBxx，则AB (A) (0, 2(B) (1,2)(C) 1,2)(D) (1,4) (3) 函数 2 1 ( ) log1 f x x 的定义域为 (A) (0, 2)(B) (0, 2(C) (2,)(D) 2,) (4) 用反证法证明命题： “设,a b为实数，则方程 3 0xaxb至少有一个实根”时，要做 的假设是 (A) 方程 3 0xaxb没有实根(B) 方程 3 0xaxb至多有一个实根 (C) 方程 3 0xaxb至多有两个实根(D) 方程 3 0xaxb恰好有两个实根 (5) 已知实数,x y满足(01) xy aaa，www.shulihua.net 则下列关系式恒成立的是 (A) 33 xy(B) sinsinxy (C) 22 ln(1)ln(1)xy(D) 22 11 11xy (6) 已知函数log ()( ,0,1) a yxc a caa为常数，其中的图象如右图， 则下列结论成 立的是 (A) 0,1ac(B) 1,01ac (C) 01,1ac(D) 01,01ac (7) 已知向量 (1, 3),(3,)abm . 若向量 ,a b的夹角为 6 ，则实数m (A) 2 3(B) 3(C) 0 (D) 3 (8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单 位： kPa）的分组区间为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17，将其按从左到右的顺序 分别编号为第一组，第二组，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。 已知第一组与第二组共有20 人，第三组中没有疗效的有6 人，则第三组中有疗效的人数为 x E O (A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 18 (9) 对于函数( )f x，若存在常数0a，www.shulihua.net 使得x取定义域内的每一个值， 都有( )(2)f xfax，则称( )f x为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 (A) ( )f xx(B) 3 ( )f xx (C) ( )tanf xx(D) ( )cos(1)f xx (10) 已知, x y满足约束条件 10, 230, xy xy 当目标函数zaxby (0,0)ab在该约 束条件下取到最小值2 5时， 22 ab的最小值为 (A)5 (B) 4 (C) 5(D) 2 第 II 卷（共 100 分） 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分. (11) 执行右面的程序框图，若输入的x的值为 1，则输出的n的值为. (12) 函数 23 sin 2cos 2 yxx的最小正周期为. 171615141312/ kPa舒张压 频率/ 组距 0.36 0.08 0.16 0.24 开始 输入 x 是 0n 3 43 0xx 结束 1xx 否 输入 x 1nn (13) 一个六棱锥的体积为2 3，其底面是边长为2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱 锥的侧面积为。 (14) 圆心在直线20xy上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为 2 3，则圆C的标准方程为。 (15) 已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦距为2c，右顶点为A，抛物线 2 2(0)xpy p的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FAc，则 双曲线的渐近线方程为。 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分. (16)（本小题满分12 分） 海关对同时从A，B，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商 品的数量（单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样 品进行检测 . 地区A B C 数量50 150 100 （）求这6 件样品中来自A，B，C 各地区商品的数量； （II ）若在这 6 件样品中随机抽取2 件送往甲机构进行进一步检测，求这2 件商品来自相同 地区的概率 . (17) （本小题满分12 分） ABC中，角 A，B， C 所对的边分别为, ,a b c. 已知 6 3,cos, 32 aABA. （）求b的值； （II ）求ABC的面积 . (18)（本小题满分12 分） 如图，四棱锥PABCD中， 1 , 2 APPCD ADBC ABBCAD E F平面分别为 线段,AD PC的中点 . （）求证：APBEF平面； （II ）求证：BEPAC平面. (19) （本小题满分12 分） 在等差数列 n a中，已知公差 1 2a， 2 a是 1 a与 4 a的等比中项 . （）求数列 n a的通项公式； （II ）设 (1) 2 nn n ba，记1234( 1) n nn Tbbbbb，求 n T. (20) （本小题满分13 分） 设函数 1 ( )ln 1 x f xax x ，其中a为常数 . （）若0a，求曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程； （II ）讨论函数( )f x的单调性 . (21)（本小题满分14 分） www.shulihua.net 在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，直线yx被椭圆C截得的线段长为 4 10 5 . （）求椭圆C的方程； A DD D D D D （II ）过原点的直线与椭圆C 交于 A，B 两点（ A，B 不是椭圆 C 的顶点） . 点 D 在椭圆 C 上，且ADAB，直线 BD 与x轴、y轴分别交于M，N 两点 . （i）设直线BD ，AM 的斜率分别为 12 ,k k，证明存在常数使得 12 kk，并求 出的值； （ii ）求OMN面积的最大值. 数学（文）（山东卷）参考答案 一、选择题 （1）A （2）C （3）C （4）A （5）A （6）D （7）B （8）C （9）D （10） B 二、填空题 （11）3 （ 12）（13）12 （14） 22 (2)(1)4xy（15）yx 三、解答题 （16）解： (I)因为样本容量与总体中的个数的比是 61 50 150 10050 ， 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是： 1 501 50 ， 1 1503 50 ， 1 1002 50 ， 所以 A，B，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2. （II ）设 6 件来自 A，B，C 三个地区的样品分别为 12312 ;,;,A BBBC C, 则抽取的这2 件商品构成的所有基本事件为： 123 ,A BA BA B， 12 ,A CA C, 1213111223 ,;,BBBBB CB CBB, 2122313212 ,BCB CBCB CC C,共 15 个. 每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的， 记事件 D： “抽取的这2 件商品来自相同地区” ， 则事件 D 包含的基本事件有： 12132312 ,BBBBBBC C共 4 个. 所有 4 () 15 P D，即这 2 件商品来自相同地区的概率为 4 15 . （17）解： （I）在ABC中， 由题意知 23 sin1cos 3 AA， 又因为 2 BA， 所有 6 sinsin()cos 23 BAA， 由正弦定理可得 6 3 sin 3 3 2 sin3 3 aB b A . （II ）由 2 BA得 3 coscos()sin 23 BAA， 由ABC,得()CAB. 所以sinsin()sin()CABAB sincoscossinABAB 3366 () 3333 1 3 . 因此，ABC的面积 1113 2 sin3 3 2 2232 SabC. （18）解： （I）设ACBEO，连结 OF，EC， 由于 E 为 AD 的中点， 1 ,/ / 2 ABBCAD ADBC， 所以/ /,AEBC AEABBC, 因此四边形ABCE 为菱形， 所以 O 为 AC 的中点， 又 F 为 PC 的中点， 因此在 PAC中，可得/ /APOF. 又OF平面 BEF，AP平面 BEF， 所以AP平面BEF. (I)由题意知，/ /,EDBC EDBC, 所以四边形BCDE为平行四边形， 因此 / /BECD. 又AP平面 PCD， 所以APCD，因此APBE. 因为四边形ABCE 为菱形， 所以BEAC. 又AP ACA，AP， AC 平面 PAC， 所以BE平面PAC. （19）解： （I）由题意知 2 111 ()(3 )ada ad， 即 2 111 (2)(6)aa a， 解得 1 2a， 所以数列 n a的通项公式为2 n an. （II ）由题意知 (1) 2 (1) nn n ban n. 所以12233 4( 1)(1) n n Tnn. 因为 1 2(1) nn bbn. 可得，当n 为偶数时， 12341 ()()() nnn Tbbbbbb 48 122n (42 ) 2 2 n n (2) 2 n n 当 n 为奇数时， 1 () nnn TTb (1)(1) (1) 2 nn n n 2 (1) 2 n 所以 2 (1) , 2 (2) 2 n n n T n n n 为奇数 ， 为偶数 . （20）解： （I）由题意知 0a 时， 1 ( ),(0,) 1 x f xx x ， 此时 ' 2 2 ( ) (1) fx x ， 可得 ' 1 (1) 2 f，又(1)0f， 所以曲线( )yfx在(1,(1)f处的切线方程为210xy. （II ）函数( )f x的定义域为(0,)， 2 ' 22 2(22) ( ) (1)(1) aaxaxa fx xxx x ， 当0a时， ' ( )0fx，函数( )f x在(0,)上单调递增， 当0a时，令 2 ( )(22)g xaxaxa， 由于 22 (22)44(21)aaa， 当 1 2 a时，0， 2 ' 2 1 (1) 2 ( )0 (1) x fx x x ，函数( )f x在(0,)上单调递减， 当 1 2 a时，0,( )0g x， ' ( )0fx，函数( )fx在(0,)上单调递减， 当 1 0 2 a时，0， 设 1212 ,()x xxx是函数( )g x的两个零点， 则 1 (1)21aa x a ， 2 (1)21aa x a ， 由 1 121aa x a 2 2121 0 aaa a ， 所以 1 (0,)xx时， ' ( )0,( )0g xfx，函数( )f x单调递减， 12 (,)xx x时， ' ( )0,( )0g xfx，函数( )f x单调递增， 2 (,)xx时， ' ( )0,( )0g xfx，函数( )f x单调递减， 综上可知，当0a时，函数( )f x在(0,)上单调递增； 当 1 2 a时，函数( )f x在(0,)上单调递减； 当 1 0 2 a时，( )f x在 (1)21 (0,) aa a ， (1)21 (,) aa a 上单调递减， 在 (1)21(1)21 (,) aaaa aa 上单调递增 . （21）解： （I）由题意知 22 3 2 ab a ，可得 22 4ab. 椭圆 C 的方程可化简为 222 4xya. 将yx代入可得 5 5 a x， 因此 2 54 10 2 55 a ，可得2a. 因此 1b ， 所以椭圆 C 的方程为 2 2 1 4 x y. （II ） （）设 111122 (,)(0),(,)A xyx yD xy，则 11 (,)Bxy， 因为直线 AB 的斜率 1 1 AB y k x ， 又ABAD，所以直线AD 的斜率 1 1 x k y ， 设直线 AD 的方程为ykxm， 由题意知0,0km， 由 2 2 1 4 ykxm x y ，可得 222 (14)8440kxmkxm. 所以 122 8 14 mk xx k ， 因此 1212 2 2 ()2 1 4 m yyk xxm k ， 由题意知， 12 xx 所以 121 1 121 1 44 yyy k xxkx ， 所以直线 BD 的方程为 1 11 1 () 4 y yyxx x ， 令0y，得 1 3xx，即 1 (3,0)Mx. 可得 1 2 1 2 y k x . 所以 12 1 2 kk，即 1 2 . 因此存在常数 1 2 使得结论成立 . （）直线BD 的方程 1 11 1 () 4 y yyxx x ， 令0x，得 1 3 4 yy，即 1 3 (0,) 4 Ny， 由（）知 1 (3,0)Mx， 可得 OMN的面积 1111 139 3| 248 Sxyxy， 因为 2 21 111 |1 4 x xyy，当且仅当 1 1 |2 | 22 x y时等号成立， 此时 S 取得最大值 9 8 ， 所以OMN的面积的最大值为 9 8 .