【考前三个月】高考数学必考题型过关练：专题3第8练(含答案).pdf

第 8 练函数性质在运用中的巧思妙解 题型一直接考查函数的性质 例 1(2013· 安徽 )“a 0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间 (0， )内单调递增”的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 破题切入点首先找出f(x)在(0， )递增的等价条件，然后从集合的观点来研究充要条件 答案C 解析当 a0 时， f(x)|(ax1)x|x|在区间 (0， )上单调递增； 当 a0 时，结合函数f(x)|(ax1)x|ax2 x|的图象知函数在(0， )上先增后减再增，不符 合条件，如图(2)所示 所以，要使函数f(x)|(ax 1)x|在(0， )上单调递增只需a0. 即“a0”是 “函数 f(x)|(ax1)x|在区间 (0， )内单调递增 ”的充要条件 题型二函数性质与其他知识结合考查 例 2(2013· 安徽 )函数y f(x)的图象如图所示，在区间a，b上可找到 n(n2)个不同的数x1，x2，xn，使得 f x1 x1 f x2 x2 f xn xn ，则 n 的取 值范围为 () A2,3 B2,3,4 C3,4 D3,4,5 破题切入点从已知的比值相等这一数量关系出发，找图象上的表示形式，再找与原函数图 象的关系，进一步判断出结果 答案B 解析过原点作直线与函数yf(x)的图象可以有两个、三个、四个不同的交点，因此n 的取 值范围是 2,3,4 题型三对函数性质的综合考查 例 3已知函数f(x) loga(3 ax) (1)当 x0,2时，函数f(x)恒有意义，求实数a 的取值范围； (2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间 1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在， 试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由 破题切入点f(x)恒有意义转化为“恒成立 ”问题，分离参数a 来解决；探究a 是否存在，可 从单调性入手 解(1) a0 且 a1，设 t(x)3ax， 则 t(x)3 ax 为减函数， x0,2 时， t(x)最小值为 32a， 当 x0,2时， f(x)恒有意义， 即 x0,2时， 3ax0 恒成立 3 2a0.a0 且 a1，a(0,1) 1， 3 2 . (2)t(x)3 ax，a0，函数 t(x)为减函数， f(x)在区间 1,2上为减函数， y logat 为增函数， a1，x1,2 时， t(x)最小值为 32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)， 32a0 loga3a 1 ，即 a0 ? f x1f x2 x1x2 0 ? f(x)在a，b上递增 (x1x2)f(x1)f(x2)0，又 log1 2 alog2a 1 log 2a. f(x)是 R 上的偶函数， f(log2a) f(log2a)f( log1 2 a)， f(log2a) f( log1 2 a)2f(1)， 2f(log2a)2f(1)，即 f(log2a) f(1) 又f(x)在0， )上递增， |log2a|1， 1log2a1， a 1 2，2 ，选 C. 5函数 y f(x1)的图象关于直线x1 对称，且 xf(x)在(， 0)上递减，若a2 0.2· f(20.2)，b ln 2 ·f(ln 2)，c( log1 2 1 4) · f( log1 2 1 4)，则 a，b，c 的大小关系是 () AabcBbac CcabDacb 答案B 解析因为函数yf(x1)的图象关于直线x1 对称， 所以 yf(x)关于 y 轴对称 所以函数yxf(x)为奇函数 因函数 yxf(x)在(，0)上单调递减， 从而当 x(0， )时，函数yxf(x)单调递减 因为 1ac. 6已知定义在R 上的函数yf(x)满足以下三个条件： 对于任意的xR，都有 f(x4)f(x)； 对于任意的x1，x2R，且 0x1x22，都有 f(x1) f(x2)； 函数 yf(x 2)的图象关于y 轴对称 则下列结论中正确的是() Af(4.5)f(7)f(6.5) Bf(7)f(4.5)f(6.5) Cf(7)f(6.5)f(4.5) Df(4.5)f(6.5)f(7) 答案A 解析由已知得f(x)是以 4 为周期且关于直线x2 对称的函数 所以 f(4.5)f(4 1 2) f( 1 2)， f(7) f(43)f(3)， f(6.5)f(4 5 2)f( 5 2) 又 f(x)在0,2上为增函数 所以作出其在0,4上的图象知f(4.5) f(7)f(6.5) 7已知函数f(x)是 R 上的偶函数，若对于x0，都有 f(x2) f(x)，且当 x0,2)时， f(x) log8(x1)，则 f(2 013)f(2 014)的值为 _ 答案 1 3 解析当 x0 时，有 f(x2) f(x)， 故 f(x4) f(x2) 2) f(x2)f(x) 由函数 f(x)在 R 上为偶函数， 可得 f(2 013)f(2 013)， 故 f(2 013)f(4×5031)f(1)， f(2 014)f(4×5032)f(2) 而 f(1)log8(11)log82 1 3， f(2) f(02) f(0) log810. 所以 f(2 013)f(2 014)1 3. 8对于任意实数a，b，定义 min a，b a，ab， b，ab. 设函数 f(x) x3，g(x)log2x，则 函数 h(x)min f(x)，g(x)的最大值是 _ 答案1 解析依题意， h(x) log2x，02. 当 02 时， h(x)3x 是减函数， h(x)在 x2 时，取得最大值h(2)1. 9(2013 ·江苏 )已知 f(x)是定义在R 上的奇函数当x0 时， f(x)x 24x，则不等式 f(x)x 的 解集用区间表示为_ 答案(5,0)(5， ) 解析由已知得f(0)0，当 xx 等价于 x0 x 24xx， 或 xx ， 解得： x5 或 50 时， f(x)1. (1)求证： f(x)是 R 上的增函数； (2)若 f(4)5，解不等式f(3m 2m2)0， f( x)1， f(x2)f(x1 x) f(x1)f( x)1f(x1)， f(x)是 R 上的增函数 方法二f(00)f(0)f(0) 1， f(0)1， f(0)f(xx)f(x)f(x)11， f(x)2 f(x)设 x10， f(x2x1)f(x2)f(x1)1 f(x2)2f(x1)1 f(x2)f(x1)11， f(x2)f(x1)0， f(x2)f(x1)， f(x)是 R 上的增函数 (2)解f(4)f(2)f(2)1 5，f(2)3， f(3m2 m 2)f(0)， 又 f(x)在 R 上是单调函数， 所以 f(x)在 R 上是增函数， 因为 f(m· 3x)f(3x9x)0 对任意 xR 恒成立 令 t 3x，则 t0， 问题等价于：t2(1 m)t20 在(0， )上恒成立， 令 g(t)t 2(m1)t2，其对称轴方程为 tm1 2 ， 当 m1 2 0， 所以 m0， 所以 1m22 1. 综上所述，实数m 的取值范围为m221.