【考前三个月】高考数学必考题型过关练：专题8第35练(含答案).pdf

第 35 练函数的极值与最值 题型一函数极值与极值点的判断、求解问题 例 1(2013· 浙江 )已知 e 为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k 1,2)，则 ( ) A当 k1 时， f(x)在 x1 处取到极小值 B当 k1 时， f(x)在 x1 处取到极大值 C当 k2 时， f(x)在 x1 处取到极小值 D当 k2 时， f(x)在 x1 处取到极大值 破题切入点对函数 f(x)求导之后，将k1,2 分别代入讨论 答案C 解析当 k1 时， f(x)e x· x1，f(1)0. x 1 不是 f(x)的极值点 当 k2 时， f(x)(x1)(xe xex2) 显然 f(1)0，且 x 在 1 的左边附近f(x)0， f(x)在 x1 处取到极小值故选C. 题型二根据函数的极值来研究函数图象问题 例 2已知函数 yx33xc 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则c 等于 () A 2 或 2 B 9 或 3 C 1 或 1 D 3 或 1 破题切入点结合函数的极值点，作出函数大致图象来解决 答案A 解析y3x23， 当 y0 时， x ± 1. 则当 x 变化时， y， y 的变化情况如下表： x (， 1) 1(1,1)1(1， ) y y c2c2 当函数图象与x 轴恰有两个公共点时，必有c 20 或 c20，c 2或 c 2. 题型三函数的极值问题 例 3已知函数f(x) mx x 2 n(m，nR)在 x 1 处取得极值2. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)设函数 g(x)ln x a x，若对任意的 x1R，总存在 x21，e，使得 g(x2)f(x1)7 2，求实数 a 的取值范围 破题切入点(1)对函数进行求导，结合题中条件列出方程组，解出参数的值 (需验证 )，即可得 到函数的解析式 (2)利用导数讨论函数g(x)的最小值，通过求解不等式得出实数a 的取值范围 解(1)f(x)m x 2 n 2mx2 x 2 n2 mx2mn x 2n2， 由于 f(x)在 x1 处取得极值2，故 f (1)0，f(1)2， 即 mnm 1n 20， m 1 n2， 解得 m4，n1，经检验，此时f(x)在 x1 处取得极值 故 f(x) 4x x 21. (2)由(1)知 f(x)的定义域为R，且 f(x) f(x) 故 f(x)为奇函数， f(0)0. 当 x0 时， f(x)0， f(x) 4 x 1 x 2， 当且仅当x1 时取 “ ” 当 x3 2，不符合题意 综合所述， a 的取值范围为 (，e 题型四函数的最值问题 例 4已知函数f(x) 1 2x 2ln x. (1)求函数 f(x)在区间 1，e上的最大值、最小值； (2)求证：在区间 (1， )上，函数f(x)的图象在函数g(x)2 3x 3 的图象的下方 破题切入点(1)f(x)在闭区间 1，e上的最大值、最小值要么在端点处取得，要么在极值点处 取得所以首先要研究f(x)在1，e上的单调性 (2)f(x)的图象在函数g(x) 2 3x 3 的图象的下方，即g(x)f(x)在(1， )上恒大于0. (1)解当 x 1，e时， f(x)x 1 x 0， 所以 f(x)在区间 1， e上为增函数 所以当 x1 时， f(x)取得最小值 1 2； 当 xe 时， f(x)取得最大值 1 2e 21. (2)证明设 h(x)g(x)f(x)2 3x 31 2x 2ln x，x(1， )， 则 h(x)2x2x 1 x 2x 3x21 x x1 2x 2x 1 x . 当 x(1， )时， h(x)0，h(x)在区间 (1， )上为增函数，所以h(x)h(1) 1 60. 所以对于x(1， )，g(x)f(x)成立，即f(x)的图象在g(x)的图象的下方 总结提高(1)准确把握函数极值与最值的概念，极值是函数的局部性质，在所给的区间上极 大值和极小值不一定唯一，且极大值不一定大于极小值，而最值是函数的整体性质，在所给 的区间上最大值一定大于最小值，且最大值和最小值都是唯一的 (2)函数在 x0处取得极值，有 f(x0) 0，而 f(x0)0 不一定有 f(x)在 x0处取得极值 (3)两者之间的联系，求最值时先要求出极值然后和区间端点函数值相比较而得出最大值和最 小值 1(2014 ·课标全国 )函数 f(x)在 xx0处导数存在若 p：f(x0) 0；q：x x0是 f(x)的极值 点，则 () Ap 是 q 的充分必要条件 Bp 是 q 的充分条件，但不是q 的必要条件 Cp 是 q 的必要条件，但不是q 的充分条件 Dp 既不是 q 的充分条件，也不是q 的必要条件 答案C 解析当 f(x0)0 时， xx0不一定是f(x)的极值点， 比如， yx3在 x0 时， f (0)0， 但在 x0 的左右两侧f(x)的符号相同， 因而 x0 不是 yx 3的极值点 由极值的定义知，x x0是 f(x)的极值点必有f(x0)0. 综上知， p 是 q 的必要条件，但不是充分条件 2(2013 ·辽宁 )设函数 f(x)满足 x 2f (x)2xf(x)e x x ，f(2) e 2 8 ，则 x0 时， f(x)() A有极大值，无极小值 B有极小值，无极大值 C既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值 答案D 解析由 x2f(x)2xf(x) e x x ， 得 f (x)e x2x2f x x 3，令 g(x)e x2x2f(x)，x 0， 则 g(x)ex2x2f(x)4xf(x)ex 2· e x x x2 e x x .令 g(x)0，得 x2. 当 x2 时， g(x)0；当 0x2 时， g (x)0， g(x)在 x2 时有最小值g(2)e 28f(2)0， 从而当 x0 时， f(x)0， 则 f(x)在(0， )上是增函数， 函数 f(x)无极大值，也无极小值 3(2014 ·江西 )在同一直角坐标系中，函数yax 2 xa 2与 ya 2x32ax2xa(a R)的图象 不可能 的是 ( ) 答案B 解析分两种情况讨论 当 a0 时，函数为y x 与 yx，图象为D，故 D 有可能 当 a0 时，函数 yax2x a 2的对称轴为 x 1 2a，对函数 ya 2x32ax2xa，求导得 y 3a 2x24ax1(3ax1)(ax 1)，令 y0，则 x 1 1 3a， x2 1 a.所以对称轴 x 1 2a介于两个极 值点 x1 1 3a， x2 1 a之间， A、C 满足， B 不满足，所以 B 是不可能的故选B. 4设变量 a，b 满足约束条件 ba， a3b4， a 2. z|a3b|的最大值为m，则函数 f(x) 1 3x 3m 16x 2 2x2 的极小值等于() A 4 3 B 1 6 C2 D. 19 6 答案A 解析据线性规划可得(a3b)min 8， (a3b)max 2， 故 2|a3b|8，即 m 8， 此时 f(x)x2x2(x2)· (x1)， 可得当 x1 时 f(x)0， 当 10， 故当 x2 时函数取得极小值， 即 f(x)极小值f(2) 4 3. 5已知函数f(x)x 32bx2cx1 有两个极值点 x1，x2，且 x1 2，1，x21,2 ，则 f( 1)的取值范围是() A3 2，3 B 3 2，6 C3,12 D 3 2，12 答案C 解析方法一由于 f(x)3x24bxc， 据题意方程3x24bxc0 有两个根x1， x2， 且 x12， 1，x21,2， 令 g(x)3x24bx c， 结合二次函数图象可得只需 g 2 128bc0， g 1 34bc0， g 1 34b c0， g 2 128bc0， 此即为关于点(b，c)的线性约束条件，作出其对应平面区域，f(1)2b c，问题转化为在上 述线性约束条件下确定目标函数f(1)2bc 的最值问题，由线性规划易知3f(1)12， 故选 C. 方法二方程 3x2 4bxc0 有两个根x1，x2，且 x12， 1，x21,2的条件也可以通 过二分法处理，即只需g( 2)g(1)0，g(2)g(1)0 即可，利用同样的方法也可解答 6设函数 yf(x)在(0， )内有定义， 对于给定的正数K，定义函数fK(x) f x ，f x K， K，f x K， 若函数 f(x) ln x1 e x，且恒有fK(x)f(x)，则 () AK 的最大值为 1 e BK 的最小值为 1 e CK 的最大值为2 DK 的最小值为2 答案B 解析由于 f(x)ln x1 e x ， 所以 f(x) 1 x ln x1 e x ， 令 g(x) 1 xln x1， 则 g(x) x 21 x0，此时 f(x)0， 当 x(1， )时， g(x)2 或 a0， 解得 a2 或 a0 时， (xk)f(x)x10，求 k 的最大值 解(1)f(x)的定义域为 (， )，f(x)exa. 若 a0，则 f (x)0， 所以 f(x)在( ， )上单调递增 若 a0，则当 x(，ln a)时， f(x)0. 所以， f(x)在( ，ln a)上单调递减，在(ln a， )上单调递增 (2)由于 a1 时， (x k)f(x)x1(xk)(e x1)x1. 故当 x0 时， (xk)f(x)x10 等价于 k0) 令 g(x) x1 e x1x， 则 g(x) xex1 e x121 e x e xx2 e x12. 由(1)知，函数h(x)exx2 在(0， )上单调递增， 又 h(1)e30. 所以 h(x)在(0， )上存在唯一零点 故 g(x)在(0， )上存在唯一零点 设此零点为 ，则 (1,2) 当 x(0， )时， g(x)0， 所以 g(x)在(0， )上的最小值为g( ) 又由 g( ) 0，得 e 2，所以 g( ) 1(2,3) 由于 式等价于k0，函数 f(x)ln(1ax) 2x x2. (1)讨论 f(x)在区间 (0， )上的单调性； (2)若 f(x)存在两个极值点x1，x2，且 f(x1)f(x2)0，求 a 的取值范围 解(1)f(x) a 1ax 2 x2 2x x2 2 ax 24 a1 1ax x 2 2.(*) 当 a1 时， f (x)0. 此时 f(x)在区间 (0， )上单调递增 当 00. 故 f(x)在区间 (0，x1)上单调递减，在区间 (x1， )上单调递增 综上所述，当a1 时， f(x)在区间 (0， )上单调递增； 当 0 1 a且 x 2， 所以 2 1a a 1 a， 2 1a a 2， 解得 a1 2. 此时，由 (*) 式易知， x1，x2分别是 f(x)的极小值点和极大值点 而 f(x1)f(x2) ln(1ax1) 2x1 x12ln(1 ax 2) 2x2 x22 ln1a(x1x2)a2x1x2 4x1x2 4 x1x2 x1x2 2 x1 x24 ln(2a1) 24 a 1 2a 1 ln(2a1)2 2 2a12. 令 2a1x，由 0g(1)0. 故当 1 20. 综上所述，满足条件的a 的取值范围为 (1 2，1) 12(2014 ·山东 )设函数 f(x) e x x 2k(2 xln x)(k 为常数， e2.718 28是自然对数的底数 ) (1)当 k0 时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围 解(1)函数 y f(x)的定义域为 (0， ) f(x)x 2 e x 2xex x 4 k( 2 x 2 1 x) xe x2ex x 3 k x 2 x 2 x2 e xkx x 3 . 由 k0 可得 e xkx0， 所以当 x(0,2)时， f(x)0，函数 yf(x)单调递增 所以 f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2， ) (2)由(1)知， k 0 时，函数f(x)在(0,2)内单调递减， 故 f(x)在(0,2)内不存在极值点； 当 k0 时，设函数g(x)exkx，x0， ) 因为 g(x) e xkexeln k， 当 00，yg(x)单调递增 故 f(x)在(0,2)内不存在两个极值点 当 k1 时， 当 x(0，ln k)时， g(x)0，函数 yg(x)单调递增 所以函数yg(x)的最小值为g(ln k)k(1ln k) 函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点， 当且仅当 g 0 0， g ln k 0， 0ln k2. 解得 eke 2 2 . 综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为 (e， e 2 2 )